Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

114 Elektrodynamik als Eichtheorie
Abbildung 5.3: Zweidimensionaler diskretisierter Raum mit intrinsischen U(1)-Kreisen (siehe Text).
gibt es in höheren Dimensionen ‘echte’ Verdrehungen im Verbindungssystem, die sich nicht
durch Umeichung beseitigen lassen.
Bemerkung: Die ‘echten’ durch Eichtransformation nicht entfernbaren Verdrehungen in der Textur
dieses Gewebes treten physikalisch als Kraftfelder (Wechselwirkungen) in Erscheinung. Diese Kraftfelder
sind vollständig durch die Symmetriegruppe ihrer intrinsischen Freiheitsgrade bestimmt:
U(1) elektromagnetische Wechselwirkung
SU(2) schwache Wechselwirkung
SU(3) starke Wechselwirkung
Verdrehungen der Raumzeit selbst äußern sich als Gravitation, wobei an die Stelle der inneren Freiheitsgrade
der Tangentialraum tritt und das Eichfeld A(x) durch die Christoffelsymbole ersetzt wird.
Alle vier grundlegenden Kräfte lassen sich also in einem einheitlichen Rahmen durch Eichtheorien
beschreiben.
5.1.5 Kovariante Ableitung
In höheren Dimensionen muss die Gleichung z �(x+ dx) = (1+iA(x)dx)z(x), mit der die Änderung
der Koordinate z bei Parallelverschiebung beschrieben wird, für vektorielle Verschiebungen
dx verallgemeinert werden zu
z �(x + dx) = (1 + iAµ(x)dx µ )z(x). (5.6)
Wir betrachten jetzt ein gegebenes Phasenfeld z(x) und stellen die Frage, wie sich dieses Phasenfeld
bei Bewegung in Richtung des Basisvektors eµ = ∂µ bezüglich dieses Paralleltransports
ändert. Diese Änderung wird durch die kovariante Ableitung
z(x + λeµ) − z�(x + λeµ)
∇µz = lim
λ→0 λ
= � ∂µ − iAµ)z(x) (5.7)
beschrieben, die eine Darstellung des abstrakten Zusammenhangs ∇ ist. Dieser Zusammenhang
bildet einen Richtungsvektor auf ein Element der Lie-Gruppe ab, beschreibt also die tatsächliche
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie