Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

5.1 U(1)-Eichtheorie 113
Dabei ist e i f (x) die (ortsabhängige) komplexe Phase, mit der der Nullpunkt des Koordinatensystems
auf den Kreisen (nicht jedoch die Kreise selbst) verschoben werden. Man kann leicht
zeigen, dass sich unter dieser Koordinatentransformation das Eichfeld gemäß
A(x) → Ã(x) = A(x) + d
f (x) (5.5)
dx
transformieren muss. Eichfelder, die auf diese Weise auseinander hervorgehen, unterscheiden
sich also nur durch ihre Darstellung, sind aber physikalisch äquivalent.
Beweis: Wegen (5.2) und (5.3) gilt
also
z �(x + dx) = (1 + iA(x)dx)z(x), ˜z �(x + dx) = (1 + iÃ(x)dx) ˜z(x),
e i f (x+dx) z �(x + dx) = (1 + iÃ(x)dx)e i f (x) z(x)
⇒ e i f (x) (1 + i f ′ (x)dx + ...)(1 + iA(x)dx)z(x) = (1 + iÃ(x)dx)e i f (x) z(x)
Vergleich der ausmultiplizierten Terme 1. Ordnung führt auf die Behauptung.
In einer Dimension kann man natürlich für jedes Paar von Funktionen A(x),Ã(x) durch simple
Integration ein passendes f (x) finden, so dass beide Eichfelder physikalisch äquivalent sind.
Demzufolge sind alle Eichfelder physikalisch äquivalent und haben deshalb keinerlei physikalische
Bedeutung. Das ist auch plausibel, denn ein Käfer, der im Tunnel R ⊕ S 1 lebt und dem der
Blick aus einem äußeren Einbettungsraum verwehrt ist, hat keine Möglichkeit, eine Verdrehung
der Verbindungselemente festzustellen.
5.1.4 Zweidimensionale U(1)-Eichtheorie
In höheren Dimensionen ist die Situation anders. Als Beispiel wollen wir eine Ebene R 2 mit
einer intrinsischen U(1)-Symmetrie betrachten. Zwar kann man den Raum R 2 ⊕ S 1 nicht in den
R 3 einbetten und sich ihn deshalb auch nicht anschaulich vorstellen, doch kann man mit einer
diskretisierten Variante zumindest eine Intuition gewinnen. Abb. 5.3 skizziert einen solchen
zweidimensionalen Raum, in dem die intrinsischen Räume durch planare Kreise symbolisiert
sind, die wiederum mit Verbindungselementen in beiden Raumrichtungen verbunden sind. Auch
hier handelt es sich ‘in Wirklichkeit’ um ein Kontinuum von Zusammenhängen ohne Quadratgitterstruktur.
Anders als in dem zuvor diskutierten Tunnel ist es nun möglich, sich im R 2 in beliebige
Richtungen zu bewegen. Ein Käfer, der in diesem zweidimensionalen Tunnelsystem lebt, hat
jetzt nämlich die Möglichkeit, Verdrehungen zu messen, auch ohne diese von außen sehen zu
können. Dazu wandert er auf einem geschlossenen Weg (engl. loop) und stellt am Ziel durch
Vergleich fest, ob sich seine Position auf dem Kreis geändert hat. Wandert er z.B. in Abb. 5.3
entlang des Weges A-B-E-D-A, wird er auf diese Weise eine Verdrehung feststellen. Bei einer
Wanderung entlang B-C-F-E-B wird er dagegen keine Verdrehung feststellen, weil sich die
Effekte der Verbindungen E-B und B-C gegenseitig kompensieren.
Die vom Käfer festgestellte Verdrehung entlang eines geschlossenen Weges ist unabhängig
von der gewählten Darstellung und beschreibt deshalb einen physikalischen Sachverhalt, nämlich
– wie wir sehen werden – elektrische bzw. magnetische Felder. Anders als in einer Dimension,
wo alle Eichfelder weggeicht werden können und deshalb physikalisch bedeutungslos sind,
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie