Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

112 Elektrodynamik als Eichtheorie
Abbildung 5.2: Eichfreiheit bei der Wahl des Koordinatensystems für die intrinsischen Freiheitsgrade. Die gelben
Punkte markieren die Positionen auf dem Kreis, wo ϕ = 0 bzw. z = 1 ist, markieren also sozusagen
den Ursprung des lokalen Koordinatensystems.
der identischen Abbildung unterscheidet, gilt in niedrigster Ordnung
g(x) = 1 + iA(x) dx. (5.3)
Dabei ist g(x) eine Darstellung von g und iA(x) ist eine Darstellung von ∆, also eine Abbildung
der Raumkoordinate auf die gewählte Darstellung der Lie-Algebra der Symmetriegruppe U(1).
Die Funktion A(x) bezeichnet man als Eichfeld.
Nehmen wir zunächst an, dass dieser Nullpunkt sich immer ‘an der gleichen Stelle’ befindet,
wie es im oberen Teil von Abb. 5.2 gezeigt ist. In diesem Fall werden ‘gerade’ Verbindungsstücke
durch ein verschwindendes Eichfeld A(x) = 0 beschrieben. Man könnte aber auch
die Nullpunkte unterschiedlich wählen, wie es im unteren Teil der Abbildung gezeigt ist. Ein
‘gerades’ Verbindungsstück würde dann trotzdem durch ein nichtverschwindendes Eichfeld beschrieben
werden. Ebenso wäre es möglich, die Koordinaten so zu wählen, dass die durch ein
verdrehte Verbindungsstücke hervorgerufene Transformationen durch die Koordinatendarstellung
kompensiert werden, so dass das Eichfeld trotz der tatsächlichen Verdrehung gleich Null
wäre. Die Darstellung eines Eichfelds resultiert also sowohl aus ‘echten’ Verdrehungen der Verbindungselemente
als auch aus ‘scheinbaren’ Verdrehungen, die durch die Wahl der Koordinaten
hervorgerufen werden.
Bemerkung: Um Raum und Zeit zu vermessen, benötigen wir Maßeinheiten wie Meter und Sekunde.
Benötigen wir nun auch neue Maßeinheiten für die intrinsischen Räume? Die Antwort ist: Nein. In
Raum und Zeit sind Maßeinheiten nur deshalb notwendig, weil sie unendlich ausgedehnt sind und
damit weder im Kleinen noch im Großen eine natürlich Längenskala auszeichnen. Im Gegensatz dazu
sind die intrinsischen Freiheitsgrade kompaktifiziert und stellen damit ein natürliches Maßsystem zur
Verfügung, z.B. im Fall des Kreises ein Umlauf 2π.
5.1.3 Eichtransformationen
Eine Eichtransformation ist eine Koordinatentransformation in den intrinsischen Räumen, also
ein Darstellungswechsel, der keinen Einfluss auf die Physik hat. Dabei dürfen die Koordinatensysteme
in jedem intrinsischen Raum unterschiedlich, also ortsabhängig transformiert werden.
Im Fall der U(1)-Theorie kann man sich also eine Eichtransformation als eine ortsabhängige
Nullpunktsverschiebung des Koordinatnesystems auf den Kreisen vorstellen, also z.B. als einen
Wechsel von der oberen zur unteren in Abb. 5.2 gezeigten Situation. Eine solche Transformation
lässt sich schreiben als
z(x) → ˜z(x) = e i f (x) z(x). (5.4)
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie