Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

4 Mathematische Grundlagen
Ein Beispiel für eine kontinuierliche Gruppe sind die Drehungen in n Dimensionen, SO(n), die über
kontinuierliche Drehwinkel parametrisiert wird. Wie wir weiter unten besprechen werden, kann man
infinitesimale Drehungen betrachten, die SO(n) ist also eine Lie-Gruppe.
1.1.2 Nebenklassen
Verknüpft man alle Elemente einer Untergruppe U ⊂ G mit einem anderen Gruppenelement
a ∈ G, das nicht zu dieser Untergruppe gehört, so wird man aus der Untergruppe herausgeführt.
Die Bildmenge wird als Nebenklasse (engl. coset) bezeichnet. Je nachdem, ob die Elemente der
Untergruppe von links oder rechts mit a verknüpft werden, unterscheidet man
Linksnebenklasse: aU = {a ∗ u | u ∈ U}
Rechtsnebenklasse: Ua = {u ∗ a | u ∈ U}
Verschiedene Gruppenelemente a,b ∈ G können die gleiche Nebenklasse aU = bU bzw. Ua =
Ub erzeugen, in diesem Fall gilt a ∗ b −1 ∈ U. Nebenklassen (mit Ausnahme von eU = Ue = U)
sind keine Untergruppen, da sie kein neutrales Element besitzen.
Beispiel: Wir betrachten die Gruppe der Translationen in zwei Dimensionen, repräsentiert durch
einen Verschiebungsvektor (∆x,∆y). Die Menge aller Translationen in x-Richtung u = (∆x,0) bilden
eine Untergruppe U. Das Gruppenelement a = (0,3), das drei Einheiten in y-Richtung verschiebt,
induziert die Nebenklasse aU aller Verschiebungen von der Form (∆x,3), die sich als Parallele
zur x-Achse auffassen lässt. Da die Gruppe kommutativ ist, sind Rechts- und Linksnebenklassen
identisch. Verschiedene Gruppenelemente können die gleiche Nebenklasse erzeugen, z.B. induziert
das Gruppenelement b = (5,3) die gleiche Nebenklasse wie a, d.h. aU = bU. In diesem Fall gilt
a ∗ b −1 = a − b = (−5,0) ∈ U.
1.1.3 Normalteiler
Eine Untergruppe N ⊂ G heißt Normalteiler (engl. normal subgroup), wenn ihre Links- und
Rechtsnebenklassen identisch sind, wenn also gN = Ng für alle g ∈ G gilt. Man schreibt in
diesem Fall N ⊳ G bzw. N � G. Normalteiler sind invariant unter Konjugation, d.h. N = gNg −1
für alle g ∈ G. In einer kommutativen Gruppe sind alle Untergruppen automatisch Normalteiler.
Beispiel: Als Beispiel betrachten wir die nichtkommutative Gruppe der orthogonalen Transformation
in drei Dimensionen O(3), die bekanntlich Drehungen und Achsenspiegelungen umfasst. Wie man
sich leicht überzeugen kann, bilden die Drehungen um die z-Achse zwar eine Untergruppe, aber keinen
Normalteiler, weil Drehungen um verschiedene Achsen nicht kommutieren. Die zu Z2 isomorphe
Untergruppe der Achsenspiegelung ist dagegen ein Normalteiler, weil Spiegelungen mit Drehungen
kommutieren.
1.1.4 Quotientengruppen
Die Menge aller Nebenklassen eines Normalteilers N � G bildet wiederum eine Gruppe mit der
Verknüpfung aN ∗bN = (a∗b)N und dem neutralen Element eN = N, die als Quotientengruppe
bzw. Faktorgruppe G/N bezeichnet wird. Bei endlichen Gruppen gilt für die Anzahl der Elemente
|G/N| = |G|/|N|.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie