Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

5.1 U(1)-Eichtheorie 111
3. Bei Computersimulationen von Quantenfeldtheorien, sogenannten Gittereichtheorien, wird das
Kontinuum tatsächlich auf die beschriebene Weise diskretisiert.
4. Es wird erwartet, dass die Raumzeit auf der Planck-Skala von 10 −35 m eine noch unbekannte
Mikrostruktur besitzt, die auf eine effektive Diskretisierung hinauslaufen könnte. Ein möglicher
Ansatz ist die Quantenschleifengravitation (engl. quantum loop gravity), wie sie z.B. von
Carlo Rovelli beschrieben wird [14]. Die hier gewählte Präsentation soll auf diese neuen Ansätze
hinführen und deren Verständnis erleichtern.
Ein gerades Verbindungselement ist eine identische Abbildung von einem Kreis auf den
nächsten, ein verdrehtes Verbindungselement bewirkt dagegen eine zusätzliche Translation auf
dem Kreises. Die Verbindungselemente sind also selbst nichts anderes als Symmetrietransformationen
und damit Gruppenelemente der Symmetriegruppe U(1). Hier erkennen wir bereits
ein grundlegendes Konstruktionsprinzip von Eichtheorien:
Die intrinsischen Freiheitsgrade sind räumlich durch Gruppenelemente der
entsprechenden Symmetriegruppe miteinander verbunden.
Da wir es in Wirklichkeit nicht mit einer diskreten Punktmenge sondern mit einem Kontinuum
von Punkten mit daran aufgehängten Kreisen zu tun haben, können wir annehmen, dass die
Verbindungselemente sehr klein sind und deshalb zwischen Kreisen im Abstand dx im Limes
dx → 0 nur infinitesimale Verdrehungen bewirken. Die Verbindungslemente g ∈ U(1) sind also
infinitesimale Transformationen, die sich also nur geringfügig von der identischen Abbildung
unterscheiden und sich deshalb in erster Ordnung Taylor-entwickeln lassen:
g = � + ∆ dx (5.1)
Die Größe ∆ ist der Generator dieser infinitesimalen Transformation und ist als solcher ein Element
der Lie-Algebra der Symmetriegruppe.
Genauer: Die Lie-Algebra u(1) der Lie-Gruppe U(1) ist sehr einfach, da sie kommutativ ist und
nur einen einzigen Generator a besitzt. Dieser Generator erfüllt die Relation a 2 = −1 und lässt sich
deshalb am einfachsten in der komplexen Ebene mit a = i darstellen.
5.1.2 Darstellung der intrinsischen Freiheitsgrade
Um mit intrischen Freiheitsgraden rechnen zu können, ist es wie immer notwendig, eine geeignete
Darstellung zu wählen. Es ist üblich, den Kreis als einen Einheitskreis in der komplexen
Ebene z ∈ C, |z| = 1 darzustellen. Der hier betrachtete Raum R ⊕ S 1 wird also durch zwei Koordinaten
x,z beschrieben. Bei der Definition des Koordinatensystems hat man allerdings die
Freiheit, den Ursprung des Koordinatensystems z = 1 auf dem jedem der Kreise willkürlich
festzulegen. Diese Freiheit wird als Eichfreiheit bezeichnet, – eine Eichung ist also nicht anderes
eine spezielle Wahl des Koordinatensystems in einem intrinsischen Raum. Wir werden im
folgenden Abschnitt darauf zurückkommen.
Sobald ein bestimmtes Koordinatensystem gewählt ist, lässt sich ein Punkt auf dem Kreis an
der Stelle x, der dort die Koordinate z(x) besitzt, über die Verbindungsstücke ‘parallel verschieben’
zum benachbarten Kreis an der Stelle x + dx, wo er dann die Koordinate
z �(x + dx) = g(x)z(x) (5.2)
besitzt. Das Gruppenelement g ∈ U(1) wird dabei ebenfalls als komplexe Zahl auf dem Einheitskreis
dargestellt. Da sich diese Transformation gemäß Gl. (5.1) für kleine dx nur wenig von
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie