Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

110 Elektrodynamik als Eichtheorie
Abbildung 5.1: Bausteine der Elektrodynamik. (a) In jedem Punkt der Raumzeit wird ein kompaktifizierter eindimensionaler
Raum in Form eines Kreises aufgehängt. (b,c) Die Kreise benachbarter Punkte der
Raumzeit werden durch Verbindungselemente verklebt. Diese können ‘gerade’ oder ‘verdreht’
sein. (d) Wäre die Raumzeit eindimensional, erhielte man durch die Verklebung einen Torus.
Bemerkung: Die Bezeichnung U(n) steht für “unitäre Transformation in n Dimensionen” und analog
SU(n) für “spezielle unitäre Transformationen in n Dimensionen”. Diese Gruppen sind die komplexen
Gegenstücke zu den orthogonalen Gruppen O(n) bzw. SO(n) der reellen Drehungen und Spiegelungen.
Die Gruppenelemente kann man sich als komplexwertige Drehungen auf C n vorstellen, die das
Standard-Skalarprodukt auf diesem Raum erhalten. Die Gruppe U(1) beschreibt dementsprechend
Drehungen einer komplexen Zahl in der komplexen Ebene, ist also isomorph zur Kreisgruppe. Sie ist
als einzige dieser Lie-Gruppen kommutativ und besitzt nur einen einzigen Generator.
Wir betrachten nun eine relativistische Theorie mit einer intrinschen U(1)-Symmetrie, wobei
wir Gravitationseffekte vernachlässigen wollen. In einer solchen Theorie ist die Raumzeit ein
ebener Minkowskiraum R 3+1 , in dem an jedem Punkt ein Kreis aufghängt ist. Um davon ein
anschauliches Verständnis zu entwickeln, stellen wir uns die Raumzeit zunächst eindimensional
vor, als ob es nur die x-Achse gäbe (siehe Abb. 5.1d). Ferner wollen wir uns diese Achse als diskrete
Folge von Punkten vorstellen. In jedem dieser Punkte wird nun ein Kreis aufgehängt. Ein
Teilchen wird nun nicht nur mehr allein durch seinen Aufenthaltsort auf der x-Achse, sondern
zusätzlich durch seine entsprechende Position auf dem Kreis charakterisiert.
Um sich entlang der x-Achse bewegen zu können, ist es notwendig, die Kreise miteinander
zu verbinden. Dies geschieht durch schlauchartige Verbindungselemente, mit denen Teilchen
von einem Kreis zum nächsten transportiert werden können. Die Verbindungsstücke können
entweder gerade (Abb. 5.1b) oder in sich verdreht sein (Abb. 5.1c), je nachdem ob sich bei
einem Transport des Teilchens die Lage auf dem Kreis ändert oder nicht. Wären alle Kreise mit
geraden Schläuchen verbunden, würden Teilchen, die z.B. am ‘tiefsten Punkt’ des Kreises ruhen,
bei Bewegung durch die Raumzeit auch dort verbleiben. Ein makroskopischer Beobachter würde
in diesem Fall die Existenz der kleinen Kreise gar nicht bemerken. Echte physikalische Effekte
kommen erst dadurch zustande, dass die Verbindungselemente verdreht sein können.
Bemerkung: Im Rahmen der klassischen Physik besteht der Raum natürlich nicht aus äquidistanten
Punkten, sondern aus einem Kontinuum von Punkten. Der in Abb. 5.1d dargestellte Raum ist also
in Wirklichkeit ein kontinuierlicher Torus R ⊕ S 1 . Die diskretisierte Version wird hier jedoch aus
folgenden Gründen benutzt:
1. Die Verbindungselemente veranschaulichen das mathematische Konzept eines Zusammenhangs.
2. Während man sich den tatsächlichen Raum R 3+1 ⊕S 1 ohnehin nicht vorstellen kann, vermittelt
die Diskretisierung zumindest eine teilweise Anschaulichkeit des Raumes R 2 ⊕ S 1 (s.u.).
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie