Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

5 Elektrodynamik als Eichtheorie
Die allgemeine Relativitätstheorie gehört zur Gruppe der sogenannten Eichtheorien und basiert
auf der Lorentzgruppe als Eichgruppe. Eichtheorien folgen einem einheitlichen Konstruktionsprinzip.
Um uns an dieses Prinzip heranzutasten, betrachten wir zunächst die einfachste aller
Eichtheorien, nämlich die Elektrodynamik betrachten. Die Elektrodynamik ist eine Eichtheorie,
die auf der Symmetriegruppe U(1) beruht.
5.1 U(1)-Eichtheorie
5.1.1 Intrinsische Freiheitsgrade
Neben den raumzeitlichen Freiheitsgraden, in denen man sich fortbewegen kann, gibt es in der
Natur intrinsische Freiheitsgrade, die man sich als kleine ‘aufgerollte Dimensionen’ vorstellen
kann, die in jedem Punkt der Raumzeit ‘aufgehängt’ sind. Zwar kann man sich als Mensch in
diesen kompaktifizierten Dimensionen nicht konkret fortbewegen, wie man es in raumzeitlichen
Dimensionen gewohnt ist, doch treten die Effekte dieser aufgerollten Freiheitsgrade indirekt in
Form von physikalischen Kraftfeldern in Erscheinung.
Ähnlich wie die Raumzeit eine bestimmte Struktur besitzt, die sich durch ihre Symmetriegruppe
(Poincarégruppe) beschreiben lässt, werden auch die intrinsischen Freiheitsgrade durch
ihre Symmetriegruppe charakterisiert. Das einfachste Beispiel einer kompaktifizierten Dimension
ist ein Kreis S 1 . Dessen Symmetriegruppe ist die sogenannte Kreisgruppe (engl. circle group)
der Translationen entlang des Kreises. Anders als Translationen in R, mit denen man sich beliebig
weit entfernen kann, kommt man auf einem Kreis irgendwann wieder am Ausgangspunkt
an, d.h. die Kreisgruppe ist kompakt.
Bemerkung: Symmetrien sind der eigentliche Grund für die Existenz jeglicher Strukturen in der
Natur. Symmetrien geben keine Freiheit, sondern schränken ein. Ohne Symmetrien würde sich die
Quantenphysik in allen Zuständen ausbreiten und eine strukturlose Suppe erzeugen. Mit Symmetrien
kommen aber Spielregeln in Form von Erhaltungsgrößen ins Spiel. Alle makroskopisch beobachtbaren
Eigenschaften von Objekten sind an Symmetrien gekoppelt. Ohne Translationsinvarianz gäbe es
z.B. nicht die Begriffe von Ort und Impuls. Theoretische Physik beginnt deshalb immer damit, die
zugrundeliegenden Symmetriegruppen zu identifizieren.
Es gibt eine Vielzahl von Möglichkeiten zur Darstellung eines Kreises. Zum Beispiel bilden
die komplexen Zahlen z ∈ C mit konstantem Betrag |z| = const einen Kreis in der komplexen
Ebene. Translationen entlang dieses Kreises lassen sich durch Multiplikation mit einer komplexen
Phase z = e iφ ausdrücken, wobei φ ∈ [0,2π) ist. Weil es sich dabei formal um unitäre
(=normerhaltende) Transformationen eines einzelnen komplexen Freiheitsgrades handelt, verwendet
man für die Kreisgruppe in der Physik die Bezeichnung U(1).
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie