Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

4.3 Krümmung 107
ein lokales Koordinatensystem mit euklidischen Koordinaten auf der Meeresoberfläche definieren
kann). In der allgemeinen Relativitätstheorie entspricht ein solches Koordinatensystem den
natürlichen Minkowski-Koordinaten, also einem lokal gravitationsfreien Bezugssystem, das ein
frei fallender Astronaut in seinem Raumschiff benutzen würde.
Wenn man nun eine Darstellung gewählt hat, in deren Koordinatenursprung x µ = 0 der metrische
Tensor gleich der Minkowskimetrik ist, kann man sich fragen, wie sich die Komponenten
dieses Tensors in der unmittelbaren Umgebung des Ursprungs in niedrigster Ordnung verändern.
Eine Rechnung (hier ohne Beweis) zeigt, dass die niedrigsten Korrekturen quadratischer
Ordnung sind und gerade durch den Riemannschen Krümmungstensor beschrieben werden:
gµν(x) = ηµν + 1
3 R µανβ x α x β + O(|x| 3 ) (4.66)
Der Riemannsche Krümmungstensor beschreibt also, wie sich die Metrik in niedrigster Ordnung
verändert, wenn man in eine bestimmte Richtung geht.
Um den Ricci-Tensor zu interpretieren, stellen
wir uns nun einen schmalen Konus
(Schultüte) von geodätischen Linien vor, die
vom Ursprung aus in diese bestimmte Richtung
führen. In einer Minkowski-Metrik wird
sich dieser Konus mit zunehmender Entfernung
auf eine bestimmte Weise aufweiten und
ein Volumenelement Vη(x) aufspannen. In einer
gekrümmten erhält man dagegen ein Volumenelement
Vg(x), das sich in der Umgebung
vom Ursprung nur geringfügig unterscheidet.
Hier tritt der Ricci-Tensor in den
Korrekturen auf:
Vg(x) = � 1 − 1
6 Rµνx µ x ν + O(x 3 ) � Vη(x) (4.67)
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie