Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

106 Differentialgeometrie
• Antisymmetrie in den ersten beiden Indices:
R µναβ = −R νµαβ
• Symmetrie bei Vertauschung beider Indexpaare:
Dabei ist R µναβ = gµρR ρ
dritten und vierten Index:
ναβ
R µναβ = R αβ µν
(4.60)
(4.61)
. Aus den letzten beiden Symmetrien folgt die Antisymmetrie im
R µναβ = −R µνβα . (4.62)
Wegen dieser Symmetrien reduziert sich die Anzahl der unabhängigen Komponenten des Riemannschen
Krümmungstensors wie folgt:
4.3.4 Ricci-Tensor
Dimension 1 2 3 4
Komponenten 1 16 81 256
davon unabhängig 0 1 6 20
Welche physikalisch relevanten Tensoren lassen sich durch Kontraktion aus dem Krümmungstensor
erzeugen? Kontrahiert man die ersten beiden Indices, erhält man wegen der Antisymmetrie
Null. Gleiches gilt für eine Kontraktion der Indices 3-4. Die einzigen Kontraktionen, die
nicht verschwinden, sind 1-3, 1-4, 2-3 und 2-4, die wegen der Antisymmetrie bis auf Vorzeichen
identisch sind. Üblich ist es, die Indices 1-3 zu kontrahieren. Das Resultat ist der sogenannte
Ricci-Tensor
Rµν = R ρ µρν. (4.63)
Dieser Tensor ist die einzig mögliche nichttriviale Kontraktion des Krümmungstensors. Damit
man ihn in der darstellungsfreien Schreibweise vom Riemannschen Krümmungstensor R unterscheiden
kann, bezeichnet man ihn auch als ‘Ric’, d.h.
Ric = Rµν dx µ ⊗ dx ν . (4.64)
Der Ricci-Tensor lässt sich weiter kontrahieren zu einem Krümmungsskalar
R = R µ µ . (4.65)
Dieser Skalar spielt eine zentrale Rolle für die Wirkung des Gravitationsfeldes.
4.3.5 Interpretation des Krümmungstensors
Man kann Koordinaten immer so legen, dass der metrische Tensor in einem bestimmten Punkt
der Mannigfaltigkeit eine bestimmte Matrixdarstellung annimmt. Insbesondere kann man die
Koordinaten so wählen, dass gµν = ηµν ist, dass der metrische Tensor also die Gestalt einer
flachen Minkowskimetrik annimmt (ähnlich wie der Kapitän immer an seinem Aufenthaltsort
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie