Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

4.3 Krümmung 105
terschiedlich sind, ist die verbleibende Differenz zurückzulegen, um einen geschlossenen Weg
herzustellen. Diese Differenz ist in niedrigster Ordnung durch die Lie-Klammer [X,Y] gegeben,
siehe Abschnitt 2.4.6 auf S. 59. Auf diesen beiden Wegen ist nun ein Tangentialvektor Z mitzunehmen
und nach dem üblichen Protokoll parallel zu verschieben und die Ergebnisse am Zielort
zu vergleichen.
Mathematisch wird diese Prozedur durch alternierende Anwendung der entsprechenden kovarianten
Ableitungen ausgedrückt 2 . Die Krümmung wird also beschrieben durch die Abbildung
R(X,Y)Z = ∇X∇YZ − ∇Y∇XZ − ∇ [X,Y]Z, (4.55)
die als Riemannscher Krümmungstensor bezeichnet wird. Es handelt sich um einen Tensor der
Stufe (1,3), der drei Vektoren als Argumente besitzt und einen Vektor ausgibt.
4.3.2 Darstellung des Riemannschen Krümmungstensor
In einer gegebenen Basis kann der Krümmungstensor als vierkomponentige Größe R µ
ναβ dargestellt
werden. Diese Komponenten sind gegeben durch
eµR µ
ναβ = � �
[∇α,∇ β ] − ∇ [eα,eβ ] eν = � ∇α∇β − ∇β ∇α − c ρ
αβ ∇ρ
�
eν , (4.56)
wobei c ρ
αβ die Strukturkoeffizienten sind. Durch Einsetzen der kovarianten Ableitung und Koeffizientenvergleich
gelangt man zu
R µ
ναβ
= Γµ
νβ,α − Γµ
να,β + Γρ
νβ Γµ ρα − Γ ρ ναΓ µ
ρβ − cρ
αβ Γµ νρ . (4.57)
In Koordinatenbasen entfällt der letzte Term. Da die Christoffelsymbole über Gl. (4.31) von
der Metrik abhängen, kann der Riemannsche Krümmungstensor bei gegebener Metrik durch
geduldiges Differenzieren berechnet werden. Allerdings sind, wie wir sehen werden, nicht alle
seiner 4 4 = 256 Komponenten unabhängig.
4.3.3 Symmetrien des Krümmungstensors
Der Krümmungstensor dargestellt in Komponenten erfüllt folgende Symmetrien. Dabei benutzen
wir die Kompaktschreibweise mit eckigen Klammern, die eine Summe über die zyklischen
Permutationen der darin enthaltenen Indices symbolisieren soll.
• Erste Bianchi-Identität:
• Zweite Bianchi-Identität:
R µ
[ναβ]
R µ
ν[αβ;γ]
= Rµ
ναβ + Rµ
βνα + Rµ
αβν
= Rµ
ναβ;γ + Rµ
νγα;β + Rµ
νβγ;α
= 0 (4.58)
= 0 (4.59)
2 Bei einem Koordinantenbasisvektorfeld entfällt der letzte Term, da die Lie-Klammer verschwindet.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie