Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

104 Differentialgeometrie
Abbildung 4.8: Konstruktion des Riemannschen Krümmungstensors. Ein Vektor Z (orange) wird auf zwei verschiedenen
Wegen parallel transportiert, nämlich durch Anwendung von ∇X ◦ ∇Y entlang ADE
und durch Anwendung von ∇Y ◦∇X entlang ABC. Wenn die Zielorte nicht übereinstimmen, muss
der Vektor noch zusätzlich durch Anwendung der Lie-Klammer ∇ [X,Y] über die rot gestrichelte
Distanz von C nach E parallel verschoben werden. Am Zielort E werden beide Vektoren verglichen.
Die Differenz gibt Auskunft darüber, wie stark die Mannigfaltigkeit auf dem umrundeten
Gebiet gekrümmt ist.
4.3 Krümmung
Krümmung äußert sich dadurch, dass die Winkelsumme
eines Dreiecks ungleich 180 ◦ ist. Wie groß die Abweichung
ist, kann der Kapitän eines Schiffes mit Hilfe
der Parallelverschiebung feststellen. Wenn er wie in der
nebenstehenden Abbildung einen aus drei Viertelgroßkreisen
bestehenden geschlossenen Weg befährt (rot)
und dabei einen Tangentialvektor (grün) transportiert,
zeigt dieser Vektor am Zielort in eine um 90 ◦ verdrehte
Richtung. Dieser Drehwinkel entspricht genau der Abweichung
der Winkelsumme von 90 ◦ . Eine solche Messung
ist auch auf abstrakten (nicht eingebetteten) Mannigfaltigkeiten
möglich.
4.3.1 Riemannscher Krümmungstensor
Die oben beschriebene Prozedur ermöglicht es, die Krümmung der Mannigfaltigkeit auf dem
umrundeten Gebiet zu beschreiben. Mathematisch kann dieser Vorgang folgendermaßen beschrieben
werden: Man nehme zwei linear unabhängige Vektorfelder X,Y und bewege sich
zunächst entlang einer geodätischen Linie zuerst in Y-Richtung und dann entlang einer anderen
geodätischen Linie in X-Richtung. Danach wiederhole man den Vorgang in umgekehrter
Reihenfolge (siehe Abb. 4.3.1). Falls die Vektorfelder so beschaffen sind, dass die Zielorte un-
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie