Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

4.2 Paralleltransport 103
Kovariante Ableitung der Metrik
Gl. (4.51) lässt sich natürlich auch auf den metrischen Tensor anwenden. In einer gegebenen
Koordinatenbasis erhält man
gµν;τ = gµν,τ − gρνΓ ρ µτ − gµρΓ ρ ντ . (4.53)
In der ART hat der metrische Tensor eine besondere Bedeutung. Um das zu verstehen, kehren
wir nochmal zum Beispiel des Schiffes zurück. Wenn der Kapitän zwei Vektoren X,Y an
Bord nimmt und transportiert, erwarten wir, dass sich der Winkel zwischen den beiden Vektoren
während der Fahrt nicht ändert, dass also g(X,Y) während der Reise erhalten bleibt. Man
kann zeigen, dass es genau einen Zusammenhang gibt, der diese Eigenschaft erfüllt, und der
deshalb als metrischer Zusammenhang bezeichnet wird. Ein solcher Zusammenhang erfüllt die
Eigenschaft
∇Xg = 0 ∀X bzw. gµν;τ = 0. (4.54)
Der Zusammenhang der raumzeitlichen Mannigfaltigkeit in der ART ist metrisch. Man kann
zeigen, dass ein metrischer Zusammenhang stets torsionsfrei ist.
4.2.11 Äußere Ableitung tensorieller Formen *
In Abschnitt 2.4.2 auf S. 57 wurde die äußere Ableitung von Differentialformen eingeführt. Sie
unterscheidet sich von einer normalen Ableitung durch eine nachgeschaltete Antisymmetrisierung,
wodurch die Operation die äußere Algebra nicht verlässt.
Die äußere Ableitung auf reinen p-Formen funktioniert genau so wie in Abschnitt 2.4.2 auf
S. 57 besprochen. Hier ändert sich also nichts. Anders ist es bei tensorwertigen Formen, die
wir in Abschnitt 2.6 auf S. 62 kurz angesprochen haben. Diese besitzen p Eingänge, die antisymmetrisiert
werden und den Rechenregeln der äußeren Algebra genügen, sowie eine gewisse
Anzahl von vektoriellen Ausgängen, die nicht antisymmetrisiert sein müssen. Ein Vektorfeld
ist z.B. eine vektorielle Null-Form. Die nicht antisymmetrisierten Komponenten werden mit Indices
versehen, die p antisymmetrisierten Eingänge dagegen wie bei Differentialformen ohne
Indices behandelt.
Auf gekrümmten Mannigfaltigkeiten muss man spezifizieren, wie sich die indizierten Komponenten
bei einer äußeren Ableitung transformieren. Als Beispiel betrachten wir ein beliebiges
Basisvektorfeld ei.
... wird fortgesetzt ...
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie