Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

102 Differentialgeometrie
Diese Änderung des Ergebnisses der 1-Form kann zweierlei Ursache haben, nämlich (a) auf
einer Änderung des Vektorfeldes Y und (b) auf einer Änderung der 1-Form α beruhen, d.h.
∇X(α(Y)) = α(∇XY) + (∇xα)(Y). (4.43)
Diese Identität definiert die kovariante Ableitung ∇Xα einer 1-Form auf darstellungsunabhängige
Weise:
(∇Xα)(Y) = ∇X(α(Y)) − α(∇XY). (4.44)
In einer Darstellung über einem beliebigen Basisvektorfeld {ei} von T M und dem dazugehörigen
dualen Basisvektorfeld {e j } von T ∗M folgt aus der obigen Gleichung
(∇ je k �
)(ei) = ∇ j e k (ei)
� �� �
=δ k
�
− e
i
k (∇ jei) = −Γ k i j , (4.45)
wobei ∇ j = ∇e j ist und der erste Term auf der rechten Seite (Ableitung einer Konstanten) verschwindet.
Daraus folgt ∇ jek = −Γk i jei , so dass die kovariante Ableitung einer beliebigen 1-
Form α in dieser Darstellung durch
bzw.
oder in einer Koordinatenbasis
∇ jα = e j(αk)e k − αkΓ k i je i
αi; j = e j(αi) − αkΓ k i j
Kovariante Ableitung beliebiger Tensorfelder
(4.46)
(4.47)
αµ;ν = αµ,ν − αρΓ ρ µν (4.48)
Für Tensorfelder höhere Stufe, die sich als Tensorprodukt T = A ⊗ B schreiben lassen, gilt für
die kovariante Ableitung die Produktregel
∇X(A ⊗ B) = (∇XA) ⊗ B + A ⊗ (∇XB). (4.49)
Als Beispiel betrachten wir einen kovarianten Tensorfeld 2. Stufe T dargestellt in einer gegebenen
Basis {ei} durch T = Ti je i ⊗ e j . Mit der Produktregel lässt sich die kovariante Ableitung
leicht ausrechnen. Dabei ist zu beachten, dass die Komponenten Ti j eines Tensorfeldes vom Ort
auf der Mannigfaltigkeit abhängen, also wie Funktionen abgeleitet werden müssen. Man erhält
also drei Terme:
∇kT = ∇k(Ti je i ⊗ e j ) = (∇kTi j)e i ⊗ e j + Ti j(∇ke i ) ⊗ e j + Ti je i ⊗ (∇ke j ) (4.50)
bzw. in Komponenten
Ti j;k = ek(Ti j) − Tm jΓ m ik − TimΓ m jk
(4.51)
Wie man sehen kann, wird jeder Index des Tensors durch einen eigenen additiven Term korrigiert,
d.h. jeder Index wird durch Christoffelsymbole transformiert. Man kann auch gemischte
Tensoren auf diese Weise ableiten:
T i1...iq
j1... jp ;k
= ek(T i1...iq
j1... jp
) +
q
∑
n=1
T i1...m...iq
j1...... jp Γin
mk −
p
∑
n=1
T i1......iq
j1...m... jp Γm jnk
(4.52)
Dabei ist der ganz rechts stehende Index der Christoffelsymbole immer der Index, nach dem
abgeleitet wird. Kontravariante Indices haben positive, kovariante Indices negative Korrekturterme.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie