Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

1 Mathematische Grundlagen
1.1 Elemente der Gruppentheorie
1.1.1 Gruppe
Eine Gruppe ist eine Menge G mit einer inneren binären Verknüpfung ∗ : G × G → G, die folgende
Eigenschaften besitzt:
(i) Die Klammerung spielt keine Rolle, d.h. die Verknüpfung ist assoziativ:
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) ∀a,b,c ∈ G.
(ii) Es existiert ein neutrales Element e ∈ G so dass e∗g = g∗e = g für alle g ∈ G.
(iii) Zu jedem g ∈ G gibt es ein inverses Element g −1 so dass g ∗ g −1 = e ist.
(iv) Wenn die Verknüpfung außerdem symmetrisch ist, wenn also a∗b = b∗a gilt,
spricht man von einer kommutativen oder auch Abelschen Gruppe.
Eine Teilmenge U ⊂ G heißt Untergruppe von G, wenn U selbst eine Gruppe ist. Für alle u,v ∈U
ist auch u ∗ v ∈ U, d.h. die Verknüpfung führt nicht aus der Untergruppe heraus.
Eine Gruppe heißt
- endlich, wenn sie eine endliche Anzahl von Elementen besitzt.
- diskret, wenn die Elemente abzählbar sind.
- kontinuierlich, wenn die Elemente kontinuierlich parametrisiert werden können.
- Lie-Gruppe, wenn sie kontinuierlich und in einem noch zu präzisierenden Sinne um das
neutrale Element Taylor-entwickelbar ist.
In der Physik stellen wir uns die Gruppenelemente in der Regel als Transformationen vor, die
durch Hintereinanderausführung ’◦’ miteinander verknüpft sind. Wenn diese Transformationen
das betrachtete physikalische System invariant lassen, spricht man von einer Symmetriegruppe.
Typische Beispiele sind Translationen und Rotationen.
Beispiel: Ein einfaches Beispiel für eine endliche Gruppe ist die Spiegelungsgruppe Z2. Sie besteht
aus zwei Elementen {e,s}, wobei das neutrale Element e nichts tut und s spiegelt. Die Spiegelung ist
eine Involution, d.h. sie ist zu sich selbst invers: s ◦ s = e. Ein weiteres Beispiel ist die Gruppe Pn der
Permutationen von n Objekten, die n! Elemente besitzt.
Eine endliche Gruppe ist immer diskret, der Umkehrschluss trifft allerdings nicht zu. Die Addition
ganzer Zahlen Z ist beispielsweise eine diskrete, jedoch unendliche Gruppe. Das neutrale Element ist
0, das zu n inverse Element ist −n.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie