Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

4.2 Paralleltransport 101
Beispiel: Kugeloberfläche S 2
Die Oberfläche einer Kugel S 2 ∈ R 3 kann durch Kugelkoordinaten mit zwei Winkeln (x 1 ,x 2 ) =
(θ,φ) parametrisiert werden, wobei der Winkel θ von der z-Achse, also vom Nordpol aus ge-
zählt wird. Der metrische Tensor lautet
gµν =
�
1 0
0 sin 2 �
, g
θ
µν �
1 0
=
0 sin −2 �
θ
(4.37)
gegeben. Die einzige nicht-verschwindende partielle Ableitung der Tensorkomponenten ist also
wiederum g22,1. Die nicht-verschwindenden Christoffelsymbole lauten
Γ 1 22 = 1
2 g11 (g12,2 + g12,2 − g22,1) = − 1
2 g11 g22,1 = −sinθ cosθ (4.38)
Γ 2 12 = Γ 2 21 = 1
2 g2 2(g21,2 + g22,1 − g12,2) = 1
2 g22 g22,1 = cotθ . (4.39)
Die Gleichungen für eine geodätische Linie lauten in diesem Fall
¨x t + Γ 1 22 ˙x 2 ˙x 2 = ¨θ − ˙φ 2 sinθ cosθ = 0 (4.40)
¨x 2 + 2Γ 2 12 ˙x 1 ˙x 2 = ¨φ − 2 ˙φ ˙θ cotθ = 0 (4.41)
Sie beschreiben Großkreise auf der Kugeloberfläche, die allerdings gegenüber der Äquatorialebene
‘verkippt’ sein können und deshalb mit einer oszillierenden θ-Komponente dargestellt
werden.
4.2.10 Kovariante Ableitung beliebiger Tensorfelder
Die oben eingeführte kovariante Ableitung wirkt auf Vektorfelder und generiert den Paralleltransport
von Vektoren. Wir wollen die kovariante Ableitung nun auf Tensoren beliebiger Stufe
verallgemeinern.
Kovariante Ableitung von Funktionen
Der Paralleltransport eines Skalars beeinflusst den Wert eines Skalars nicht, deshalb ist die kovariante
Ableitung einer skalaren Funktion (0-Form) identisch mit der gewöhnlichen Richtungsableitung
eines Skalars:
∇X f = X( f ) (4.42)
In Komponenten ist also ∇µ f = ∂µ f bzw. f;µ = f,µ.
Kovariante Ableitung von 1-Formen
Wir betrachten nun ein Feld von 1-Formen α(x), das auf ein Vektorfeld Y(x) wirkt. An jedem
Punkt der Mannigfaltigkeit liefert α(Y) eine Zahl, also eine Funktion auf M . Bewegt man sich
von einem dieser Punkte in Richtung X, so wird sich der Funktionswert ändern, wobei die Rate
der Änderung durch die gewöhnliche Richtungsableitung X(α(Y)) = ∇X(α(Y)) gegeben ist.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie