Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

100 Differentialgeometrie
Beweis: Wir beschränken uns auf zeitartige Kurven mit ds ≥ 0, so dass wir die Betragstriche weglassen
können, d.h. L = � gµν(x) ˙x µ ˙x ν . Wir bilden zunächst
∂L 1 ∂gµν
=
∂xρ 2L ∂xρ ˙xµ ˙x ν ∂L 1
,
=
∂ ˙x ρ 2L (gρν ˙x ν + gµρ ˙x µ ) = 1
L gρκ ˙x κ
Vom zweiten Term ist die totale Ableitung nach λ zu bilden, die wir mit der Kettenregel durch
d
�
∂L
dλ ∂ ˙x ρ
�
= ∂
∂xτ �
∂L
∂ ˙x ρ
�
dxτ ∂
+
dλ ∂ ˙x τ
�
∂L
∂ ˙x ρ
�
d ˙x τ
dλ = ∂ 2L ∂xτ ∂ ˙x ρ ˙xτ + ∂ 2L ∂ ˙x τ ¨xτ
∂ ˙x ρ
ausdrücken. Die beiden Summanden enthalten die Ableitungen
∂ 2L ∂xτ ∂ ˙x ρ =
1
−
2L3 ∂gµν
∂xτ ˙x µ ˙x ν gρκ ˙x κ + 1 ∂gρκ
L ∂xτ ˙x κ
∂ 2L ∂ ˙x τ∂ ˙x ρ =
1
−
L3 gρν ˙x ν gτµ ˙x µ + 1
L gρτ
so dass die auf beiden Seiten mit 2L multiplizierten Lagrange’schen Gleichungen lauten:
∂gµν
∂xρ ˙xµ ˙x ν = − 1
L2 ∂gµν
∂xτ ˙x µ ˙x ν gρκ ˙x κ ˙x τ + 2 ∂gρκ
∂xτ ˙x κ ˙x τ − 2
L2 gρν ˙x ν gτµ ˙x µ ¨x τ + 2gρα ¨x α
Diese recht komplizierten Gleichungen beschreiben den kürzesten Weg für eine beliebige Parametrisierung
der Kurve. Man kann jetzt eine spezielle Parametrisierung wählen, so dass die Gleichungen
einfach werden (ähnlich wie man in der Elektrodynamik eine spezielle Eichung für die Wellengleichung
wählt). Wir wollen die Parametrisierung so wählen, dass die Kurve mit einer konstanten Geschwindigkeit
durchlaufen wird, dass also ds/dλ = const bzw. L = const ist. Diese Eichung ist natürlich
erst nach erfolgter Variationsrechnung zulässig und führt dazu, dass in der obigen Gleichung
der erste und dritte Term auf der rechten Seite verschwinden. Die Gleichungen lauten nun
gρα ¨x α + 1
�
2
2
∂gρκ
∂xτ ˙x κ ˙x τ − ∂gµν
∂xρ ˙xµ ˙x ν�
= 0
bzw.
¨x α + 1
2 gαρ�
�
2gρµ,ν − gµν,ρ ˙x µ ˙x ν = 0
was sich in die gewünschte Form bringen lässt. Wir sehen daran, dass die geodätischen Differentialgleichungen
geodätische Linien mit einer speziellen Parametrisierung erzeugen, die so beschaffen ist,
dass die Kurve bezüglich ihres Parameters mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufen wird.
Beispiel: R 2 in Polarkoordinaten
Eine Ebene kann durch Polarkoordinaten (x1 ,x2 ) = (r,φ) dargestellt werden. In dieser Darstellung
ist der metrische Tensor durch
�
1 0
gµν =
0 r2 �
, g µν �
1 0
=
0 r−2 �
(4.32)
gegeben. Die einzige nicht-verschwindende partielle Ableitung der Tensorkomponenten ist g22,1.
Die nicht-verschwindenden Christoffelsymbole sind
Γ 1 22 = 1
2 g11 (g12,2 + g12,2 − g22,1) = − 1
2 g11g22,1 = −r (4.33)
Γ 2 12 = Γ 2 21 = 1
2 g22(g21,2 + g22,1 − g12,2) = 1
2 g22g22,1 = 1
.
r
(4.34)
Die Gleichungen für eine geodätische Linie lauten in diesem Fall
¨x t + Γ 1 22 ˙x 2 ˙x 2 = ¨r − r ˙φ 2 = 0 (4.35)
¨x 2 + 2Γ 2 12 ˙x 1 ˙x 2 = ¨φ + 2
r ˙r ˙φ = 0 (4.36)
Damit haben wir zwei relativ komplizierte Differentialgleichungen für eine Gerade im R 2 erhalten.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie