Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

4.2 Paralleltransport 99
4.2.9 Berechnung des Zusammenhangs
Die obige Formel ermöglicht die Berechnung einer Teilchentrajektorie, sofern der Zusammenhang
∇ bzw. in einer Koordinatendarstellung die Christoffelsymbole bekannt sind. Im Prinzip
könnten diese beliebig gewählt werden und beschreiben dann eine bestimmte Art und Weise, wie
die Tangentialräume der Mannigfaltigkeit miteinander verklebt sind. Streng genommen muss die
Mannigfaltigkeit dazu nicht einmal eine Metrik besitzen. Wenn jedoch eine Metrik gegeben ist,
gibt es einen speziellen Zusammenhang, für den folgendes Prinzip gilt:
Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist eine geodätische Linie.
Dabei bezieht sich der Begriff der Länge der Kurve auf die gewählte Metrik. Die gekrümmte
Raumzeit der allgemeinen Relativitätstheorie erfüllt dieses Prinzip.
Für eine Mannigfaltigkeit, die dieses Extremalprinzip erfüllt, können die Christoffelsymbole
explizit als Funktion der Metrik berechnet werden. Dazu benutzt man die aus der Lagrange’schen
Mechanik bekannte Variationsrechnung. Demnach ist die Länge �
c ds der Kurve extremal, wenn
sie sich bei infinitesimaler Variation der Kurve mit festgehaltenen Endpunkten in niedrigster
Ordnung nicht ändert, wenn also
�
δ ds = 0 (4.26)
ist. Dabei ist das Wegelement durch ds 2 = gµν dx µ dx ν gegeben, d.h.
ds =
� ���� gµν
dx µ
dλ
c
dxν �
�
�
dλ � dλ 2 �
= |gµν ˙x µ ˙x ν |dλ (4.27)
und spielt die Rolle eine Lagrangefunktion L(x, ˙x) = � |gµν(x) ˙x µ ˙x ν | mit
δ
� λ2
Die Lösung ist bekanntlich durch die Lagrange’schen Gleichungen
λ1
L(x, ˙x)dλ = 0 (4.28)
d ∂L ∂L
− = 0 (4.29)
dλ ∂ ˙x µ ∂x µ
gegeben. Dabei ist zu beachten, dass die Metrik g in der ART ortsabhängig ist, denn die spezifische
Ortsabhängigkeit codiert das Gravitationsfeld. Mit etwas Geduld (siehe unten) erhält man
die Differentialgleichung
¨x α + 1
2 gαβ (g β µ,ν + g βν,µ − g µν,β ) ˙x µ ˙x ν = 0 (4.30)
Ein Vergleich mit Gl. (4.25) ergibt sofort, dass die Christoffelsymbole durch
Γ α µν = 1
2 gαβ (g β µ,ν + g βν,µ − g µν,β ) (4.31)
gegeben sind. Wir sind also nun in der Lage, bei gegebener Metrik die Trajektorien von Teilchen
auszurechnen.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie