Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

98 Differentialgeometrie
4.2.7 Kovariantes Transformationsverhalten
Warum heißt die kovariante Ableitung kovariant? Um das zu verstehen, untersuchen wir das
Transformationsverhalten bei einem Kartenwechsel, d.h. bei einem Wechsel des Koordinatensystems
{x µ } ⇔ {x µ ′ }. Wir betrachten zunächst die gewöhnliche partielle Ableitung ∂ν auf der
Karte. Wenn diese partielle Ableitung auf eine Funktion wirkt, erhält man
f,ν = ∂
∂xν f (x) → f,ν ′ = ∂
∂xν ′ f (x′ ) = ∂xρ ∂
ρ
∂xν ′ f (x) = Λ
∂xρ ν f,ρ . (4.21)
Mit anderen Worten, die partielle Ableitung ∂/∂x ν transformiert sich, sofern sie auf eine Funktion
wirkt, wie die Komponenten einer 1-Form, also kovariant. Ganz anders sieht die Situation
allerdings aus, wenn dieselbe partielle Ableitung auf ein Vektorfeld Y(x) wirkt
Y µ ,ν = ∂
∂x ν Y µ (x) →
�
Y µ � ′
,ν
= ∂xρ ∂
∂xν ′ ∂xρ �
∂x µ ′
= ∂xρ ∂x µ ′
∂xν ′ ∂xτ Y τ ,ρ + ∂xρ
∂xν ′
∂xτ Y τ (x ′ �
)
∂ 2x µ ′
τ
Y τ
∂xρ ∂x
= Λ ρ
ν Λ µ τ Y τ ,ρ + Λ ρ ∂
ν
2x µ ′
∂xρ τ
Y
∂xτ (4.22)
Wäre nur der erste Term vorhanden, würde sich Y µ ,ν wie ein Tensor der Stufe (1,1) transformieren.
Der zweite Term allerdings verletzt dieses Transformationsverhalten, so dass die partielle
Ableitung eines Vektorfeldes kein Tensor ist. Die Mathematik gibt an dieser Stelle gewissermaßen
einen Hinweis darauf, dass die partielle Ableitung auf gekrümmten Mannigfaltigkeiten
nicht die korrekte Richtungsableitung ist.
Die kovariante Ableitung Y α ;ν transformiert sich dagegen auf korrekte Weise als Tensor vom
Rang (1,1). Ein Beweis erübrigt sich, da der Zusammenhang ∇ auf darstellungsfreie Weise definiert
ist und Y α ;ν lediglich aus den Komponenten von ∇eν Y besteht. Wegen Gl. (4.20) folgt
daraus sofort, dass die Christoffelsymbole Γα µν keine Tensoreigenschaft besitzen, weshalb man
sie als ‘Symbole’ bezeichnet.
4.2.8 Geodätische Linien
Sei c(λ) eine Kurve und u(λ) = d
dλ x(λ) das Tangentialvektorfeld entlang der Kurve. Wie bereits
besprochen heißt eine Kurve geodätische Linie oder kurz Geodäte, wenn ihr Tangentialvektor
seine Richtung beibehält, wenn es sich also um eine Geradeausbewegung handelt:
∇uu = 0. (4.23)
In einer Koordinatenbasis u = X µ ∂µ dargestellt lautet diese Bedingung
bzw.
[∇ u µ ∂µ u]α = u µ [∇µu] α = u µ u α ;µ = 0 (4.24)
¨x α + Γ α µν ˙x µ ˙x ν = 0, (4.25)
wobei ˙x µ = u µ ist. Diese sogenannte geodätische Gleichung beschreibt die Trajektorie von Teilchen
in der Allgemeinen Relativitätstheorie.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie