Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

4.2 Paralleltransport 97
dar, so ergibt sich mit den Axiomen (3) und (4) die Darstellung
[∇XY] k = � ∇ (X j e j)(Y i ei) � k = X j � ∇ j(Y i ei) � k
� k
= X j� Y i ∇ jei + e j(Y i )ei
= X j Y i Γ k i j + X j e j(Y i ) [ei] k
����
=δ k
i
= X j e j(Y k ) + Y i Γ k i jX j
(4.17)
Der erste Term in der letzten Zeile enthält den Basisvektor ei, der als Richtungsableitung interpretiert
werden kann, – dieser Term beschreibt also die Richtungsableitung der Vektorkomponente
Y k in der gegebenen Darstellung. Da man Ableitungen als Generatoren von Translationen
auffassen kann, beschreibt der erste Term eine Verschiebung des Vektors Y derart, dass er seine
Richtung in der gewählten Darstellung nicht ändert. Im zweiten Term können die Zusammenhangskoeffizienten
als eine von der Verschiebungsrichtung abhängige lineare Abbildung interpretiert
werden, welche den verschobenen Vektor der gewählten Darstellung gerade so korrigiert,
dass ‘in Wirklichkeit’ eine Parallelverschiebung stattfindet. Den gesamten Ausdruck bezeichnet
man, wie bereits erwähnt, als kovariante Ableitung des Vektorfeldes.
4.2.6 Darstellung des Zusammenhangs in der Koordinatenbasis
Die Resultate des letzten Abschnitts gelten für jede Basis. Wir betrachten jetzt den Spezialfall
einer Darstellung in der Koordinatenbasis {∂µ} eines gegebenen Koordinatensystems. Wie
bereits zuvor erwähnt, sind solche Basen dadurch ausgezeichnet, dass die Lie-Klammer der
Richtungsableitungen verschwindet. Um hervorzuheben, dass es sich um eine Koordinatendarstellung
handelt, benutzen wir griechische Indices.
In einer Koordinatenbasis ist eµ = ∂µ, so dass die Gl. (4.17) die Form
[∇XY] α = X ν ∂νY α +Y µ Γ α µνX ν
(4.18)
annimmt. Die Koeffizienten Γ α µν werden in der Koordinatendarstellung als Christoffelsymbole
bezeichnet. Man kann durch eine Auswertung der Lie-Klammer zeigen, dass die Christoffelsymbole
im Gegensatz zu Zusammenhangskoeffizienten in allgemeinen Basen symmetrisch in
den beiden unteren Indices sind:
Γ α µν = Γ α νµ . (4.19)
Man spricht hier auch von einem Levi-Civitá-Zusammenhang.
Genauer: Ein Levi-Civitá-Zusammenhang ist (a) winkeltreu, d.h. der relative Winkel zwischen zwei
Vektoren bezüglich der Metrik ändert sich unter Parallelverschiebung nicht, und (b) torsionsfrei, d.h.
die transportierten Vektoren rotieren nicht schraubenartig um die Transportrichtung. Die Raumzeit der
allgemeinen Relativitätstheorie erfüllt diese Eigenschaft, was sich in einer Koordinatendarstellung in
einer Symmetrie der beiden unteren Indices äußert.
In der Differentialgeometrie haben sich in der koordinatenbasierten Indexnotation folgende Schreibweisen
durchgesetzt:
Y α ,ν Komma: Richtungsableitung Y α ,ν = ∂ν(Y α )
Y α ;ν
Semikolon: kovariante Ableitung Y α ;ν = [∇eν Y]α = ∂ν(Y α ) +Y µ Γ α µν
Mit diesen Abkürzungen kann Gl. (4.17) kurz geschrieben werden als
Y α ;ν = Y α ,ν +Y µ Γ α µν (4.20)
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie