Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

96 Differentialgeometrie
Transformation benachbarte Tangentialräume miteinander ‘verklebt’ sind, wie also die Raumpunkte
zusammenhängen. Wie wir später sehen werden, kann man sich intrinsische Krümmung
vorstellen als eine Art Verdrehung in dieser Verklebung.
Zusammenhänge können auf unterschiedliche Weise eingeführt und darstellt werden. Wir beginnen
hier mit einer darstellungsfreien Formulierung, die von Koszul 1950 eingeführt wurde.
Demnach ist ein Zusammenhang definiert als Abbildung ∇, die auf zwei stetig differenzierbare
Vektorfelder X und Y wirkt. Die Wirkungsweise lässt sich anschaulich so beschreiben:
∇XY ist die Änderungsrate des VektorfeldesY bezüglich eines
parallel mitgeführten Vektors, wenn man sich in Richtung X bewegt.
Der Zusammenhang ∇ erfüllt folgende Axiome:
(1) ∇X1+X2Y = ∇X1Y + ∇X1Y (2) ∇X(Y1 + Y2) = ∇XY1 + ∇XY2
(3) ∇ f XY = f ∇XY
(4) ∇X(gY) = g∇XY + X(g)Y,
wobei f ,g stetig differenzierbare Funktionen auf der Mannigfaltigkeit sind. Die ersten drei Axiome
besagen, dass ∇ ein bilinearer Operator ist. Auch (4) ist eine Art Linearitätsgesetz, wobei es
aber wegen der möglichen Ortsabhängigkeit von g zu einer Art Produktregel kommt.
Stellt man sich das Vektorfeld X als Führungsfeld für Bahnen vieler Schiffe vor, die jeweils
einen Tangentialvektor Y richtungserhaltend mit sich führen, dann würde der im vorherigen
Abschnitt beschriebene Paralleltransport zu einem Vektorfeld Y führen, dessen Zusammenhang
gleich Null ist:
∇XY = 0. (4.13)
Das Vektorfeld X beschreibt geodätische Linien, wenn sich seine eigene Richtung bei Bewegung
entlang dieser Linien nicht ändert, wenn also gilt:
4.2.5 Darstellung des Zusammenhangs
∇XX = 0 (4.14)
Sei {ei} ein beliebiges Basisvektorfeld auf T M . Da die Abbildung ∇ bilinear ist, kann man
sie vollständig durch ihre Wirkungsweise auf die Basisvektoren charakterisieren, d.h. die Tangentialvektoren
∇ei e j =: ∇ie j legen den Zusammenhang ∇ vollständig fest. Diese durch i, j indizierten
Ergebnisvektoren kann man wiederum als Linearkombination über den Basisvektoren
darstellen, d.h.
∇ jei = Γ k i jek . (4.15)
Die Linearfaktoren Γk i j bezeichnet man als Zusammenhangskoeffizienten. Sie beschreiben, mit
welcher Rate sich die k-te Komponente des Basisvektorfeldes ei ändert, wenn man sich in Richtung
e j bewegt.
Stellt man die im letzten Abschnitt verwendeten Vektorfelder in dieser Basis durch
X = X j e j , Y = Y i ei , ∇XY = [∇XY] k ek (4.16)
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie