Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

4.2 Paralleltransport 95
Abbildung 4.7: Heuristische Motivation der kovarianten Ableitung eines Vektorfeldes (siehe Text).
transportierten Vektor, verglichen. Die Differenz dividiert durch die zurückgelegte Distanz ergibt
die Richtungsableitung.
Weil diese Prozedur die Parallelverschiebung eines Vektors erfordert, muss die Darstellung
einer solchen Richtungsableitung auf einer Karte die zuvor beschriebene Richtungskorrektur
berücksichtigen. Dieser Mechanismus ist in Abb. 4.7 skizziert. Im Vergleich zur vorherigen
Abbildung ist hier zusätzlich ein Vektorfeld Y gezeigt, dessen Verlauf durch orange Feldlinien
angedeutet wird. Im Startpunkt c(λ) hat dieses Vektorfeld den Wert Y = Y(λ). Das Schiff nimmt
diesen Vektor an Bord und transportiert ihn parallel bis zum Zielort c(λ + δλ). Die Richtung
des transportierten Vektors Y ′ ist am Zielort in Wirklichkeit unverändert, erscheint aber auf der
Karte gegenüber dem ursprünglichen Vektor Y verdreht mit einer Korrektur δY ≈ δλ Γ(X,Y).
Das Vektorfeld am Zielort Y(λ + δλ) wird mit dem parallel transportierten Vektor verglichen
und durch die Distanz dividiert, d.h. die Richtungsableitung entlang der Kurve ist gegeben durch
Folglich ist
Y(λ + δλ) − Y
∇XY = lim
δλ→0
′
. (4.11)
δλ
(Y(λ + δλ) − Y) + (Y − Y
∇XY = lim
δλ→0
′ )
δλ
= ∂XY + Γ(X,Y) (4.12)
Die ‘wirkliche’ Richtungsableitung, die als kovariante Ableitung bezeichnet wird, unterscheidet
sich also von der gewohnten Richtungsableitung auf der Karte durch eine Korrektur in Form
einer bilinearen Abbildung Γ(X,Y).
4.2.4 Zusammenhänge
In der Differentialgeometrie wird der oben anschaulich beschriebene Vorgang der Richtungskorrektur
durch sogenannte Zusammenhänge (engl. connections) realisiert. Ein Zusammenhang
ist eine mathematische Vorschrift, wie man bei einer Bewegung auf der Mannigfaltigkeit vom
einen zum nächsten Tangentialraum gelangt (allgemeiner: wie man in einem Faserbündel von
einer Faser zur nächsten gelangt). Vereinfacht ausgedrückt gibt diese Vorschrift an, durch welche
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie