Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

94 Differentialgeometrie
Abbildung 4.6: Paralleltransport eines Tangentialvektors entlang einer Kurve c (siehe Text).
Wir wollen dieses Phänomen nun etwas genauer formulieren. Abb. 4.6 zeigt einen Teil der
Bahnkurve eines Schiffes dargestellt auf einer Karte. Dieses Schiff transportiert einen Tagentialvektor
Z vom Punkt c(λ) zum Punkt c(λ + δλ) gemäß des oben beschriebenen Protokolls. Das
Resultat dieser Verschiebung sei der Vektor Z ′ . Obwohl der Vektor in Wirklichkeit seine Richtung
beibehält, wird er in der Darstellung auf einer Karte im allgemeinen seine Richtung ändern,
d.h. Z ′ weist auf der Karte in eine andere Richtung als Z. Auf der Karte reicht es also nicht aus,
den Vektor Z lediglich zu verschieben (das ergäbe den gestrichelten Vektor), sondern es ist eine
zusätzliche Korrektur erforderlich, die in der Abbildung als roter Differenzvektor dargestellt ist.
Dieser rote Differenzvektor wird um so größer sein, je größer die Verschiebung δλ ist und je
länger der zu verschiebende Vektor ist. Für δλ ≪ 1 ist es deshalb vernünftig anzunehmen, dass
beide Abhängigkeiten linear sind. Wir erwarten also, dass
δZ = δλ Γ(X,Z) (4.10)
ist, wobei X = d
dλ c(λ) der Tangentialvektor entlang der Kurve und Γ(X,Z) eine in einem noch
zu präzisierenden Sinne bilineare Abbildung zweier Vektoren X und Y auf einen Vektor ist. Für
gegebenes X ist hat man damit also eine lineare Abbildung zur Verfügung, welche auf der Karte
die erforderliche Richtungskorrektur von Y generiert, damit dieser Vektor seine ‘wirkliche’
Richtung auf T M beibehält.
4.2.3 Ableitung von Vektorfeldern
Wir betrachten nun ein Tangentialvektorfeld Y auf der Mannigfaltigkeit. Ein Beispiel wäre die
Windgeschwindigkeit auf der Erdoberfläche, die wir uns als ortsabhängig jedoch zeitunabhängig
vorstellen. Von einer Richtungsableitung ∇XY dieses Vektorfeldes erwarten wir, dass sie darüber
Auskunft gibt, wie sich das Vektorfeld in niedrigster Ordnung ändert, wenn man sich ein kleines
Stück in die Richtung X geradeaus bewegt. Mit anderen Worten: Die Richtungsableitung liefert
die Änderungsrate von Y bei Bewegung in Richtung X und ist damit selbst vektorwertig.
Aus der Perspektive des Kapitäns ist diese Ableitung einfach zu bilden. Zunächst misst er
Windgeschwindigkeit, stellt also den aktuellen Wert des Vektorfeldes am Aufenthaltsort des
Schiffes fest. Der Kapitän segelt dann ein Stück in eine gegebene Richtung, wobei er den gemessenen
Vektor unverändert lässt, also gemäß dem oben beschriebenen Protokoll parallel transportiert.
Danach wird die Windrichtung erneut gemessen und mit der alten, d.h. mit dem parallel
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie