Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

92 Differentialgeometrie
Die Lie-Klammer lautet
bzw.
wobei die Zahlen
[ei,ej] =
�
(∂νe µ
j )eνi − (∂νe µ
i )eν �
j ∂µ
(4.7)
[ei,ej] = c k i jek , (4.8)
c k i j = (∂νe µ
j )eν i e k µ − (∂νe µ
i )eν j e k µ
die sogenannten Strukturkoeffizienten der Basis sind. Eine einfache Rechnung zeigt sofort, dass
die Strukturkoeffizienten in der Koordinatenbasis verschwinden. Diese spezielle Eigenschaft
zeichnet Koordinatenbasen gegenüber allgemeinen Basen aus.
Dieses Ergebnis lässt sich anschaulich folgendermaßen interpretieren. Die Lie-Klammer [X,Y]
lässt sich als Kommutator zweier Verschiebungen auffassen. Sie beschreibt anschaulich, ob es
in niedrigster Ordnung einen Unterschied macht, sich zuerst in X- und dann in Y-Richtung zu
bewegen oder umgekehrt. Man kann leicht Beispiele finden, für die dieser Kommutator ungleich
Null ist. 1 Koordinatensysteme sind aber per Definition so gebaut, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge
man die Koordinaten abzählt, ob man also zuerst in x- und dann in y-Richtung wandert
oder umgekehrt, – man gelangt immer zu einem eindeutig durch die Koordinaten beschriebenen
Punkt.
4.2 Paralleltransport
4.2.1 Transport geometrischer Objekte
Obwohl die Erdoberfläche gekrümmt ist, wissen Kapitäne oder Piloten nach wie vor, wie man
sich ’geradeaus’ fortbewegt, nämlich indem man das Ruder in neutraler Position hält. Eine
solche Bahn, die eine Geradeausbewegung auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit beschreibt,
nennt man eine geodätische Linie oder kurz Geodäte. Wie wir sehen werden, sind geodätische
Linien dadurch charakterisiert, dass sie zwei Punkte auf kürzestem Wege verbinden. Flugzeuge
und Schiffe bewegen sich deshalb in der Regel auf geodätischen Linien, d.h. auf Großkreisen.
Obwohl geodätische Linien für ‘Geradeausbewegung’ stehen, erscheinen sie auf einer Karte im
Regelfall nicht als Geraden, sondern sind gekrümmt dargestellt (siehe Abb. 4.4).
Eine zentrales Problem in der Differentialgeometrie ist der Transport von Information von
einem Ort zum anderen, also die Frage, wie man ein mathematisches Objekt auf einem Schiff
transportieren kann. Bei Skalaren ist das sehr einfach: Der Skalar, also z.B. die Zahl 27, wird
an Bord genommen, transportiert und schließlich unverändert am Zielort ausgeladen. Wie aber
transportiert man Tangentialvektoren?
1 z.B. X = x∂x und Y = ∂y im R 2
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
(4.9)