Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...
Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ... Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...
Allgemeine Relativitätstheorie — Skript zur Vorlesung — β-Version 12. Juli 2012 Prof. Dr. Haye Hinrichsen Lehrstuhl für Theoretische Physik III Fakultät für Physik und Astronomie Universität Würzburg Sommersemster 2012
- Seite 3 und 4: Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische
- Seite 5 und 6: Inhaltsverzeichnis 2.5 Integration
- Seite 7: Inhaltsverzeichnis 7.3.6 Schwarze L
- Seite 11 und 12: 1 Mathematische Grundlagen 1.1 Elem
- Seite 13 und 14: 1.1 Elemente der Gruppentheorie 5 B
- Seite 15 und 16: 1.2 Vektorräume 7 Beispiele sind d
- Seite 17 und 18: 1.3 Lineare Abbildungen 9 1.2.4 Aff
- Seite 19 und 20: 1.3 Lineare Abbildungen 11 1.3.3 Ba
- Seite 21 und 22: 1.4 Zusammengesetzte Vektorräume 1
- Seite 23 und 24: 1.4 Zusammengesetzte Vektorräume 1
- Seite 25 und 26: 1.5 Multilinearformen 17 Abbildung
- Seite 27 und 28: 1.5 Multilinearformen 19 Im Gegensa
- Seite 29 und 30: 1.5 Multilinearformen 21 1.5.6 Tens
- Seite 31 und 32: 1.5 Multilinearformen 23 Beweisskiz
- Seite 33 und 34: 1.6 Metrik 25 Ein (positiv definite
- Seite 35 und 36: 1.6 Metrik 27 Beweis: v ♭ (u ♭
- Seite 37 und 38: 1.6 Metrik 29 Eine besondere Rolle
- Seite 39 und 40: 2 Differentialformen ∧ ι ⋆ d d
- Seite 41 und 42: 2.1 Äußere Algebra 33 2.1.3 p-For
- Seite 43 und 44: 2.1 Äußere Algebra 35 Abbildung 2
- Seite 45 und 46: 2.1 Äußere Algebra 37 In der gest
- Seite 47 und 48: 2.2 Hodge-Dualität 39 Man kann zei
- Seite 49 und 50: 2.2 Hodge-Dualität 41 Im letzten A
- Seite 51 und 52: 2.2 Hodge-Dualität 43 2.2.5 Hodge-
Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
— Skript zur Vorlesung —<br />
β-Version<br />
12. Juli 2012<br />
Prof. Dr. Haye Hinrichsen<br />
Lehrstuhl <strong>für</strong> Theoretische <strong>Physik</strong> III<br />
<strong>Fakultät</strong> <strong>für</strong> <strong>Physik</strong> <strong>und</strong> <strong>Astronomie</strong><br />
<strong>Universität</strong> Würzburg<br />
Sommersemster 2012
Inhaltsverzeichnis<br />
1 Mathematische Gr<strong>und</strong>lagen 3<br />
1.1 Elemente der Gruppentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.1.1 Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.1.2 Nebenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.1.3 Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.1.4 Quotientengruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.1.5 Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
1.1.6 Kern, Bild <strong>und</strong> dazugehörige Quotientengruppen . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.2 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.2.1 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.2.2 Vektorraumaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
1.2.3 Darstellung von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
1.2.4 Affine Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
1.3 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
1.3.1 Definition <strong>und</strong> Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
1.3.2 Darstellung linearer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
1.3.3 Basistransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
1.4 Zusammengesetzte Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
1.4.1 Direkte Summe ⊕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
1.4.2 Darstellung direkter Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
1.4.3 Tensorprodukt ⊗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
1.4.4 Rechenregeln <strong>für</strong> Tensorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
1.4.5 Darstellung des Tensorprodukts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
1.5 Multilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
1.5.1 1-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
1.5.2 Darstellung von 1-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
1.5.3 Basistransformation von 1-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
1.5.4 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
1.5.5 Darstellung von Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
1.5.6 Tensoren versus Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
1.5.7 Tensorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
1.5.8 Darstellung des Tensorprodukts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
1.5.9 Kontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
1.5.10 Darstellung einer Kontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
1.5.11 Tensoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
Inhaltsverzeichnis<br />
1.6 Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
1.6.1 Metrischer Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
1.6.2 Darstellung des metrischen Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
1.6.3 Musikalischer Isomorphismus V ↔ V ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
1.6.4 Darstellung von ♭ <strong>und</strong> ♯: Heben <strong>und</strong> Senken von Indices . . . . . . . . 27<br />
1.6.5 Anwendung der musikalischen Operatoren auf Tensoren . . . . . . . . 28<br />
1.6.6 Transformationsverhalten der Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
1.6.7 Nützliche Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
2 Differentialformen 31<br />
2.1 Äußere Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
2.1.1 Äußeres Produkt (Keilprodukt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
2.1.2 q-Multivektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
2.1.3 p-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
2.1.4 Äußere Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
2.1.5 Darstellung von p-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
2.1.6 Interpretation von p-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br />
2.1.7 Volumenform ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
2.1.8 Darstellung der Volumenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
2.1.9 Kontraktion ι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
2.1.10 Darstellung der Kontraktion ι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />
2.2 Hodge-Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />
2.2.1 Anschauliche Beschreibung der Hodge-Dualität . . . . . . . . . . . . . 39<br />
2.2.2 Verallgemeinertes Skalarprodukt auf p-Formen . . . . . . . . . . . . . 40<br />
2.2.3 Darstellung des verallgemeinerten Skalarprodukts . . . . . . . . . . . 41<br />
2.2.4 Hodge-Dualität auf der Basis des verallgemeinerten Skalarprodukts . . 41<br />
2.2.5 Hodge-Stern-Operator ⋆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
2.2.6 Darstellung des Hodge-Stern-Operators ⋆ . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
2.2.7 Eigenschaften des Hodge-Stern-Operators ⋆ . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />
2.2.8 Hodge-Stern-Operator in orthonormalen Basen . . . . . . . . . . . . . 44<br />
2.2.9 Selbstdualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
2.3 Funktionen, Koordinatensysteme <strong>und</strong> Differentialformen . . . . . . . . . . . . 46<br />
2.3.1 Skalare Funktionen, Kurven <strong>und</strong> Richtungsableitung . . . . . . . . . . 46<br />
2.3.2 Differentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
2.3.3 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
2.3.4 Koordinatenbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
2.3.5 Darstellung von Feldern in Koordinatensystemen . . . . . . . . . . . . 52<br />
2.3.6 Wechsel zwischen verschiedenen Koordinatensystemen . . . . . . . . . 53<br />
2.3.7 Entartete Differentialformen <strong>und</strong> Nullvektorfelder . . . . . . . . . . . 55<br />
2.4 Differenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55<br />
2.4.1 Verallgemeinertes Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br />
2.4.2 Äußere Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
2.4.3 Darstellung der äußeren Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
2.4.4 Lemma von Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58<br />
2.4.5 Zusammenhang mit der gewöhnlichen Vektoranalysis . . . . . . . . . . 59<br />
2.4.6 Lie-Klammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />
2.4.7 Kodifferentialoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
iv
Inhaltsverzeichnis<br />
2.5 Integration von Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
2.5.1 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<br />
2.5.2 Volumenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<br />
2.5.3 Integrale über p-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<br />
2.5.4 Theorem von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
2.6 Tensorwertige Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
3 Spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong> 65<br />
3.1 Nichtrelativistische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
3.1.1 Raum <strong>und</strong> Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
3.1.2 Klassische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66<br />
3.1.3 Symplektischer Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
3.1.4 Vorsymplektische Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70<br />
3.1.5 Raumzeitliche Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
3.1.6 Beispiel: Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br />
3.2 Spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong> – Minkowski-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . 73<br />
3.2.1 Postulate der speziellen <strong>Relativitätstheorie</strong> . . . . . . . . . . . . . . . 73<br />
3.2.2 Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74<br />
3.2.3 Minkowskiraum <strong>und</strong> Lorentz-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77<br />
3.2.4 Lorentz-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78<br />
3.3 Relativistische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />
3.3.1 Hamiltonsche Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />
3.3.2 Hamiltonsche Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />
3.3.3 Relativistisches freies Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82<br />
4 Differentialgeometrie 85<br />
4.1 Elementare Konzepte der Differentialgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<br />
4.1.1 Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<br />
4.1.2 Karten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86<br />
4.1.3 Kartenwechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87<br />
4.1.4 Funktionen auf Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88<br />
4.1.5 Tangentialraum <strong>und</strong> Kotangentialraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88<br />
4.2 Paralleltransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92<br />
4.2.1 Transport geometrischer Objekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92<br />
4.2.2 Paralleltransport von Tangentialvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . 93<br />
4.2.3 Ableitung von Vektorfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94<br />
4.2.4 Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95<br />
4.2.5 Darstellung des Zusammenhangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96<br />
4.2.6 Darstellung des Zusammenhangs in der Koordinatenbasis . . . . . . . 97<br />
4.2.7 Kovariantes Transformationsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98<br />
4.2.8 Geodätische Linien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98<br />
4.2.9 Berechnung des Zusammenhangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99<br />
4.2.10 Kovariante Ableitung beliebiger Tensorfelder . . . . . . . . . . . . . . 101<br />
4.2.11 Äußere Ableitung tensorieller Formen * . . . . . . . . . . . . . . . . . 103<br />
4.3 Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br />
4.3.1 Riemannscher Krümmungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br />
4.3.2 Darstellung des Riemannschen Krümmungstensor . . . . . . . . . . . 105<br />
4.3.3 Symmetrien des Krümmungstensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105<br />
v
Inhaltsverzeichnis<br />
4.3.4 Ricci-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106<br />
4.3.5 Interpretation des Krümmungstensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106<br />
5 Elektrodynamik als Eichtheorie 109<br />
5.1 U(1)-Eichtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109<br />
5.1.1 Intrinsische Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109<br />
5.1.2 Darstellung der intrinsischen Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
5.1.3 Eichtransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112<br />
5.1.4 Zweidimensionale U(1)-Eichtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113<br />
5.1.5 Kovariante Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />
5.1.6 Intrinsische Krümmung: Das elektromagnetische Feld . . . . . . . . . 115<br />
5.1.7 Das elektromagnetische Feld als Differentialform . . . . . . . . . . . . 116<br />
5.2 Elektrodynamik im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116<br />
5.2.1 Wirkungsfunktional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116<br />
5.3 Elektrodynamik in Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118<br />
5.3.1 U(1)-Eichsymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118<br />
5.3.2 Wirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118<br />
5.3.3 Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119<br />
5.3.4 Darstellung der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119<br />
5.3.5 Ladungserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119<br />
6 Feldgleichen der Allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong> 121<br />
6.1 Konzept der Allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121<br />
6.1.1 Historische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121<br />
6.1.2 Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126<br />
6.1.3 Invarianz unter Diffeomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128<br />
6.1.4 Die physikalische Bedeutung der Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . 129<br />
6.2 Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130<br />
6.2.1 Konzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130<br />
6.2.2 Wirkung SG des Gravitationsfeldes <strong>und</strong> Feldgleichungen im Vakuum . 131<br />
6.2.3 Wirkung SM der Materiefeldes <strong>und</strong> Form der Feldgleichungen . . . . . 132<br />
6.2.4 Form des Energie-Impuls-Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133<br />
6.2.5 Schwachfeldnäherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138<br />
6.2.6 Newtonscher Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140<br />
7 Sternmodelle 143<br />
7.1 Schwarzschild-Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143<br />
7.1.1 Schwarzschildmetrik im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143<br />
7.2 Radialsymmetrische Himmelskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147<br />
7.2.1 Sterngleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147<br />
7.2.2 Weiße Zwerge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150<br />
7.2.3 Neutronensterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153<br />
7.3 Dynamische Lösungen der Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154<br />
7.3.1 Innere Schwarzschildmetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154<br />
7.3.2 Absolute Stabilitätsgrenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155<br />
7.3.3 Flug durch den Schwarzschildradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156<br />
7.3.4 Gravitationskollaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157<br />
7.3.5 Supernovae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160<br />
vi
Inhaltsverzeichnis<br />
7.3.6 Schwarze Löcher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162<br />
8 Kosmologie 165<br />
8.1 Die Friedmann-Robertson-Walker-Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165<br />
8.1.1 Das Kosmologische Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165<br />
8.1.2 Herleitung der FRW-Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166<br />
8.1.3 Entfernungen in der FRW-Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167<br />
8.2 Die Friedmann-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168<br />
8.2.1 Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168<br />
8.2.2 Friedmannsche Weltmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170<br />
8.3 Unser Universum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175<br />
8.3.1 Das Hubble-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175<br />
8.3.2 Abstandsmsessungen im Weltraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177<br />
8.3.3 Modellierung unseres Universums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179<br />
8.3.4 Die Dunkle Energie <strong>und</strong> die Kosmologische Konstante . . . . . . . . . 183<br />
9 Hamiltonsche Formulierung 185<br />
9.1 Alternative Formulierungen der ART . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185<br />
9.1.1 Vierbeinfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185<br />
9.1.2 ART im Vierbeinformalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188<br />
vii
Vorwort<br />
Die absolute, wahre <strong>und</strong> mathematische Zeit verfliesst an sich <strong>und</strong> vermöge ihrer<br />
Natur gleichförmig, <strong>und</strong> ohne Beziehung auf irgendeinen äußeren Gegenstand.<br />
Genau wie diese Behauptung ist auch dieses Skript bestimmt nicht ganz fehlerfrei. Bitte helfen<br />
Sie mit <strong>und</strong> benachrichtigen Sie mich bei Fehlern in den bereits vollständigen Kapiteln per<br />
Email.<br />
(hinrichsen at physik uni-wuerzburg de).<br />
Vielen Dank<br />
H. Hinrichsen<br />
Würzburg, SS 2012<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
1 Mathematische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
1.1 Elemente der Gruppentheorie<br />
1.1.1 Gruppe<br />
Eine Gruppe ist eine Menge G mit einer inneren binären Verknüpfung ∗ : G × G → G, die folgende<br />
Eigenschaften besitzt:<br />
(i) Die Klammerung spielt keine Rolle, d.h. die Verknüpfung ist assoziativ:<br />
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) ∀a,b,c ∈ G.<br />
(ii) Es existiert ein neutrales Element e ∈ G so dass e∗g = g∗e = g <strong>für</strong> alle g ∈ G.<br />
(iii) Zu jedem g ∈ G gibt es ein inverses Element g −1 so dass g ∗ g −1 = e ist.<br />
(iv) Wenn die Verknüpfung außerdem symmetrisch ist, wenn also a∗b = b∗a gilt,<br />
spricht man von einer kommutativen oder auch Abelschen Gruppe.<br />
Eine Teilmenge U ⊂ G heißt Untergruppe von G, wenn U selbst eine Gruppe ist. Für alle u,v ∈U<br />
ist auch u ∗ v ∈ U, d.h. die Verknüpfung führt nicht aus der Untergruppe heraus.<br />
Eine Gruppe heißt<br />
- endlich, wenn sie eine endliche Anzahl von Elementen besitzt.<br />
- diskret, wenn die Elemente abzählbar sind.<br />
- kontinuierlich, wenn die Elemente kontinuierlich parametrisiert werden können.<br />
- Lie-Gruppe, wenn sie kontinuierlich <strong>und</strong> in einem noch zu präzisierenden Sinne um das<br />
neutrale Element Taylor-entwickelbar ist.<br />
In der <strong>Physik</strong> stellen wir uns die Gruppenelemente in der Regel als Transformationen vor, die<br />
durch Hintereinanderausführung ’◦’ miteinander verknüpft sind. Wenn diese Transformationen<br />
das betrachtete physikalische System invariant lassen, spricht man von einer Symmetriegruppe.<br />
Typische Beispiele sind Translationen <strong>und</strong> Rotationen.<br />
Beispiel: Ein einfaches Beispiel <strong>für</strong> eine endliche Gruppe ist die Spiegelungsgruppe Z2. Sie besteht<br />
aus zwei Elementen {e,s}, wobei das neutrale Element e nichts tut <strong>und</strong> s spiegelt. Die Spiegelung ist<br />
eine Involution, d.h. sie ist zu sich selbst invers: s ◦ s = e. Ein weiteres Beispiel ist die Gruppe Pn der<br />
Permutationen von n Objekten, die n! Elemente besitzt.<br />
Eine endliche Gruppe ist immer diskret, der Umkehrschluss trifft allerdings nicht zu. Die Addition<br />
ganzer Zahlen Z ist beispielsweise eine diskrete, jedoch unendliche Gruppe. Das neutrale Element ist<br />
0, das zu n inverse Element ist −n.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
4 Mathematische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
Ein Beispiel <strong>für</strong> eine kontinuierliche Gruppe sind die Drehungen in n Dimensionen, SO(n), die über<br />
kontinuierliche Drehwinkel parametrisiert wird. Wie wir weiter unten besprechen werden, kann man<br />
infinitesimale Drehungen betrachten, die SO(n) ist also eine Lie-Gruppe.<br />
1.1.2 Nebenklassen<br />
Verknüpft man alle Elemente einer Untergruppe U ⊂ G mit einem anderen Gruppenelement<br />
a ∈ G, das nicht zu dieser Untergruppe gehört, so wird man aus der Untergruppe herausgeführt.<br />
Die Bildmenge wird als Nebenklasse (engl. coset) bezeichnet. Je nachdem, ob die Elemente der<br />
Untergruppe von links oder rechts mit a verknüpft werden, unterscheidet man<br />
Linksnebenklasse: aU = {a ∗ u | u ∈ U}<br />
Rechtsnebenklasse: Ua = {u ∗ a | u ∈ U}<br />
Verschiedene Gruppenelemente a,b ∈ G können die gleiche Nebenklasse aU = bU bzw. Ua =<br />
Ub erzeugen, in diesem Fall gilt a ∗ b −1 ∈ U. Nebenklassen (mit Ausnahme von eU = Ue = U)<br />
sind keine Untergruppen, da sie kein neutrales Element besitzen.<br />
Beispiel: Wir betrachten die Gruppe der Translationen in zwei Dimensionen, repräsentiert durch<br />
einen Verschiebungsvektor (∆x,∆y). Die Menge aller Translationen in x-Richtung u = (∆x,0) bilden<br />
eine Untergruppe U. Das Gruppenelement a = (0,3), das drei Einheiten in y-Richtung verschiebt,<br />
induziert die Nebenklasse aU aller Verschiebungen von der Form (∆x,3), die sich als Parallele<br />
zur x-Achse auffassen lässt. Da die Gruppe kommutativ ist, sind Rechts- <strong>und</strong> Linksnebenklassen<br />
identisch. Verschiedene Gruppenelemente können die gleiche Nebenklasse erzeugen, z.B. induziert<br />
das Gruppenelement b = (5,3) die gleiche Nebenklasse wie a, d.h. aU = bU. In diesem Fall gilt<br />
a ∗ b −1 = a − b = (−5,0) ∈ U.<br />
1.1.3 Normalteiler<br />
Eine Untergruppe N ⊂ G heißt Normalteiler (engl. normal subgroup), wenn ihre Links- <strong>und</strong><br />
Rechtsnebenklassen identisch sind, wenn also gN = Ng <strong>für</strong> alle g ∈ G gilt. Man schreibt in<br />
diesem Fall N ⊳ G bzw. N � G. Normalteiler sind invariant unter Konjugation, d.h. N = gNg −1<br />
<strong>für</strong> alle g ∈ G. In einer kommutativen Gruppe sind alle Untergruppen automatisch Normalteiler.<br />
Beispiel: Als Beispiel betrachten wir die nichtkommutative Gruppe der orthogonalen Transformation<br />
in drei Dimensionen O(3), die bekanntlich Drehungen <strong>und</strong> Achsenspiegelungen umfasst. Wie man<br />
sich leicht überzeugen kann, bilden die Drehungen um die z-Achse zwar eine Untergruppe, aber keinen<br />
Normalteiler, weil Drehungen um verschiedene Achsen nicht kommutieren. Die zu Z2 isomorphe<br />
Untergruppe der Achsenspiegelung ist dagegen ein Normalteiler, weil Spiegelungen mit Drehungen<br />
kommutieren.<br />
1.1.4 Quotientengruppen<br />
Die Menge aller Nebenklassen eines Normalteilers N � G bildet wiederum eine Gruppe mit der<br />
Verknüpfung aN ∗bN = (a∗b)N <strong>und</strong> dem neutralen Element eN = N, die als Quotientengruppe<br />
bzw. Faktorgruppe G/N bezeichnet wird. Bei endlichen Gruppen gilt <strong>für</strong> die Anzahl der Elemente<br />
|G/N| = |G|/|N|.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
1.1 Elemente der Gruppentheorie 5<br />
Beispiel: Auf das vorhergehende Beispiel bezogen ist O(3)/Z2 = SO(3) die Gruppe der orthogonalen<br />
Transformationen ohne Spiegelungen. Ein weiteres Beispiel ist die Permutationsgruppe Pn mit der<br />
Untergruppe der zyklischen Verschiebungen Zn, z.B.<br />
P3 = {123,132,213,231,312,321}, Z3 = {123,231,312} ⇒ P3/Z3 = {〈123〉,〈132〉}.<br />
Da Zn ⊳ Pn ein Normalteiler ist, existiert die Quotientengruppe Pn/Zn, bestehend aus allen Umordnungen<br />
bis auf zyklische Verschiebung. Offenbar ist Pn/Zn ∼ = Pn−1.<br />
1.1.5 Homomorphismen<br />
Ein Homomorphismus (von homomorph = ähnlich geformt) ist eine Abbildung, welche im weitesten<br />
Sinne die Struktur des abzubildenden Objekts erhält. 1 Je nach Art der Abbildung wird der<br />
Begriff des Homomorphismus weiter präzisiert:<br />
- Ein Isomorphismus ist ein bijektiver, also invertierbarer Homomorphismus.<br />
- Ein Endomorphismus ist ein Homomorphismus eines Objekts auf sich selbst.<br />
- Ein Automorphismus ist ein Isomorphismus eines Objekts auf sich selbst.<br />
Iso- bzw. Automorphismen erhalten also die Struktur ohne Informationsverlust, während Homobzw.<br />
Endomorphismus die Struktur nur teilweise erhalten, vergleichbar mit einer Projektion. Je<br />
nach Art der abgebildeten Objekte unterscheidet man verschiedene Arten von Homomorphismen.<br />
Ein Gruppenhomomorphismus ist eine Abbildung h : G → H von einer Gruppe G in eine<br />
Gruppe H, so dass <strong>für</strong> alle a,b ∈ G gilt<br />
h(a ∗ b) = h(a) ∗ h(b). (1.1)<br />
Dabei bezeichnen die Sterne auf der linken <strong>und</strong> rechten Seite die Gruppenverknüpfung in G<br />
bzw. H. Die Definition besagt, dass die Gruppenverknüpfung von G durch h strukturerhaltend<br />
auf die Gruppenverknüpfung von H abgebildet wird. Aus dieser Gleichung folgt ebenfalls, dass<br />
ein Gruppenhomomorphismus das Inverse durchschleift, also h(a −1 ) = h(a) −1 ist.<br />
Zwei Gruppen heißen isomorph (gleich gebaut), wenn zwischen ihnen ein Isomorphismus<br />
existiert. Üblich ist die Notation G ∼ = H. Im Gegensatz zum Isomorphismus, der die Gruppenstruktur<br />
ohne Informationsverlust abbildet, kann ein Homomorphismus die Gruppenstruktur<br />
von G teilweise oder ganz ‘wegprojezieren’. Ein extremer Fall ist die triviale Abbildung<br />
h : G → H : a → e ∈ H, die jedes Element von G auf das neutrale Element von H abbildet, jede<br />
Gruppe ist also homomorph zur Identität.<br />
Beispiel:<br />
(a) Die Gruppe der reellen Zahlen mit der Verknüpfung + ist homomorph zur Gruppe SO(2) der<br />
Drehungen um den Ursprung in einer Ebene, wobei die reelle Zahl auf den Drehwinkel abgebildet<br />
wird. Diese Abbildung ist nicht invertierbar, da Drehwinkel modulo 2π nicht unterscheidbar sind.<br />
(b) Die Gruppe der reellen Zahlen mit der Verknüpfung + ist isomorph zur Gruppe der positiven reellen<br />
Zahlen mit der Verknüpfung ·, wobei die Exponentialfunktion der (invertierbare) Isomorphismus<br />
zwischen den beiden Gruppen ist. Wir schreiben (R,+) ∼ = (R + ,·).<br />
(c) Sei Pn die Gruppe der Permutationen von n Objekten, die identische Permutation e ∈ Pn das<br />
entsprechende neutrale Element <strong>und</strong> s ∈ Pn mit s �= e eine willkürlich gewählte Transposition, d.h.<br />
1 Davon zu unterscheiden ist der Begriff des Homeomorphismus, der die Topologie eines Objektes erhält.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
6 Mathematische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
s ◦ s = e. Die Abbildung h : Pn → Pn mit<br />
h(p) =<br />
�<br />
e falls sign(p) = 1<br />
s falls sign(p) = −1<br />
ist ein Endomorphismus von Pn auf sich selbst. Dieser Endomorphismus erhält lediglich das Signum<br />
der Permutation <strong>und</strong> bildet es auf eine bestimmte Transposition ab.<br />
(d) Die Gruppe der reellen Zahlen ohne Null R\0 mit der Verknüpfung der Multiplikation wird durch<br />
Kehrwertbildung auf sich selbst abgebildet. Da die Kehrwertbildung invertierbar ist, handelt es sich<br />
um einen Automorphismus.<br />
1.1.6 Kern, Bild <strong>und</strong> dazugehörige Quotientengruppen<br />
Um den Informationsverlust eines Homomorphismus auszudrücken, betrachtet man<br />
- den Kern ker(h) = {a ∈ G|h(a) = e ∈ H}, also die Teilmenge von G, die vom<br />
Homomorphismus ‘wegprojeziert’ wird, <strong>und</strong><br />
- das Bild img(h) = {h(a) ∈ H |a ∈ G}, also die Teilmenge von H, die vom<br />
Homomorphismus erreicht wird.<br />
Der Kern eines Homomorphismus ist ein Normalteiler, denn <strong>für</strong> alle b ∈ G gilt<br />
b ∗ ker(h) = ker(h) ∗ b = {a ∈ G|h(a) = h(b)} ⇒ ker(h) � G<br />
Damit induziert jeder Homomorphismus automatisch eine Quotentiengruppe G/ker(h). Umgekehrt<br />
existiert zu jedem gegebenen Normalteiler einer Gruppe ein entsprechender Homomorphismus,<br />
dessen Kern gerade dieser Normalteiler ist.<br />
Beispiel: In den vorangegangenen Beispielen sind die entsprechenden Quotientengruppen<br />
(a) (R,+)/SO(2) ∼ = 2πZ (Verschiebungen um Vielfache von 2π)<br />
(b) (R,+)/{0} = (R,+) (Isomorphismen dividieren nichts heraus)<br />
(c) Pn/{e,s} ∼ = Pn/Z2 (Menge aller positiven Permutationen)<br />
(d) (R\{0},·)/{1} = (R\{0},·) (Automorphismen dividieren nichts heraus)<br />
1.2 Vektorräume<br />
1.2.1 Körper<br />
Ein Körper K (engl. field) ist eine Menge von Elementen, die man sowohl addieren (+) als auch<br />
multiplizieren (·) kann. Ein Körper (K,+,·) erfüllt die folgenden Axiome:<br />
(i) (K,+) ist eine kommutative Gruppe.<br />
(ii) (K\{0},·) ist eine kommutative Gruppe.<br />
(iii) Addition <strong>und</strong> Multiplikation sind miteinander verträglich, so dass man Ausdrücke nach<br />
der Regel “Punkt vor Strichrechnung” ausmultiplizieren kann, d.h. es gilt das Distributivgesetz<br />
a · (b + c) = a · b + a · c <strong>und</strong> (a + b) · c = a · c + b · c.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
1.2 Vektorräume 7<br />
Beispiele sind die rationalen Zahlen Q, die reellen Zahlen R <strong>und</strong> die komplexen Zahlen C,<br />
nicht jedoch die ganzen Zahlen Z. Beachten Sie, dass beide Verknüpfungen unterschiedliche<br />
neutrale Elemente besitzen (Addition 0, Multiplikation 1) <strong>und</strong> dass im zweiten Axiom die Null<br />
ausgeschlossen werden muss, da man nicht durch Null teilen darf, die Null also bezüglich der<br />
Multiplikation kein Inverses besitzt.<br />
Bemerkung: Zahlenwertige Größen werden oft auch als Skalare <strong>und</strong> K als Skalarkörper bezeichnet.<br />
Unter Skalaren versteht man Größen, die unabhängig vom gewählten Koordinatensystem sind, die<br />
also invariant unter Koordinatentransformationen sind. Der Betrag der Geschwindigkeit ist beispiels-<br />
weise ein Skalar, die Komponenten der Geschwindigkeit dagegen nicht.<br />
1.2.2 Vektorraumaxiome<br />
Ein linearer Vektorraum V über einem Skalarkörper K ist eine Menge von Elementen, genannt<br />
Vektoren, die skaliert (also in ihrer Länge geändert) <strong>und</strong> linear kombiniert (also addiert) werden<br />
können. Die Axiome lauten:<br />
(i) Vektoren bilden bezüglich der Addition eine kommutative Gruppe (V,+).<br />
(ii) Vektoren u,v ∈ V können mit Skalaren λ,µ ∈ K von links multipliziert werden. Die Skalarmultiplikation<br />
hat folgende Eigenschaften:<br />
- Homogenität: λ(µv) = (λ µ)v<br />
- Linearität in V : λ(u + v) = λu + λv<br />
- Linearität in K: (λ + µ)v = λv + µv<br />
- Neutrales Element 1 ∈ K: 1v = v.<br />
Folgendes ist dabei zu beachten:<br />
a) Da (V,+) eine kommutative Gruppe ist, besitzt ein Vektorraum ein ausgezeichnetes neutrales<br />
Element, nämlich den Nullvektor. Der physikalische Ortsraum besitzt aber keinen<br />
ausgezeichneten Vektor <strong>und</strong> ist deshalb streng genommen kein Vektorraum.<br />
b) Die Vektorraumaxiome sagen nichts über die Länge eines Vektors aus. Dazu benötigt man<br />
eine Norm oder eine Metrik.<br />
c) In einem Vektorraum ist weder der Abstand noch der Winkel zwischen Vektoren erklärt.<br />
Um Winkel zu definieren, benötigt man ein Skalarprodukt.<br />
Beispiel: Die komplexen 3 ×3-Matrizen können addiert <strong>und</strong> skalar multipliziert werden, bilden<br />
also einen Vektorraum über C. Allerdings gibt es keinen natürlichen von der Alltagserfahrung<br />
motivierten ‘Abstand’ oder ‘Winkel’ zwischen zwei Matrizen. Solche Begriffe müssten erst zu-<br />
sätzlich definiert werden.<br />
1.2.3 Darstellung von Vektoren<br />
Die Skalarmultiplikation ermöglicht die Bildung von Linearkombinationen v = ∑i λ i vi von Vektoren<br />
vi ∈ V mit Linearfaktoren λ i ∈ K. Dabei ist es üblich, obere <strong>und</strong> untere Indices zu verwen-<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
8 Mathematische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
Abbildung 1.1: Vektorraum R 2 : (a) In einem Vektorraum ist der Nullvektor (blauer Punkt) ein ausgezeichnetes<br />
Element. (b) Der Vektor v kann hier in diesem Beispiel mit Hilfe der Basis {e1,e2} durch v =<br />
2e1 + e2 dargestellt werden. (c) Ein affiner Raum besteht aus Punkten (von denen hier einige rot<br />
eingezeichnet sind), die durch Vektoren eines Vektorraums verb<strong>und</strong>en sind. Der affine Raum hat<br />
im wesentlichen die gleiche Struktur wie der Vektorraum, aber er besitzt kein ausgezeichnetes<br />
neutrales Element – alle Punkte sind gleichberechtigt.<br />
den, worauf wir im folgenden noch genauer eingehen werden.<br />
Eine Menge {vi} von Vektoren v1,v2,... heißt linear abhängig, wenn es eine nichttriviale<br />
Linearkombination gibt, die den Nullvektor ergibt. Eine linear unabhängige Menge {ei} von<br />
Vektoren e1,e2,...‘ heißt Basis von V , wenn jeder Vektor v ∈ V durch eine Linearkombination<br />
v = ∑ i<br />
dargestellt werden kann. Die Anzahl der Basisvektoren ist die Dimension d = dim(V ) des Vektorraums.<br />
Die Linearfaktoren vi ∈ K, die üblicherweise einen oberen Index tragen, werden als<br />
Koordinaten oder Komponenten des Vektors bezeichnet. Oftmals werden sie zu einem Spaltenvektor<br />
zusammengefasst, z.B:<br />
⎛ ⎞<br />
v i ei<br />
v 1<br />
(1.2)<br />
v = ⎝v2<br />
v3 ⎠ (1.3)<br />
Die Komponenten beziehen sich auf die willkürlich gewählte Basis <strong>und</strong> ermöglichen eine Darstellung<br />
des Vektors (siehe Abb. 1.1b). Da die Wahl der Basis nicht eindeutig ist, gibt es <strong>für</strong><br />
einen gegebenen Vektor im allgemeinen unendlich viele mögliche Darstellungen.<br />
Hinweis: Es ist wichtig, den Unterschied zwischen (a) der physikalischen Realität, (b) dem zur Mo-<br />
dellierung eingesetzten abstrakten mathematischen Objekt <strong>und</strong> (c) seiner Darstellung zu verstehen.<br />
Der physikalische Ortsraum wird beispielsweise im Rahmen der Newtonschen Mechanik durch den<br />
Vektorraum R 3 modelliert. Dieser Vektorraum ist ein abstraktes mathematisches Objekt. Um damit<br />
zu rechnen, benötigt man eine Darstellung, z.B. kartesische Koordinaten oder Polarkoordinaten. Für<br />
ein gegebenes abstraktes mathematisches Objekt gibt es in der Regel eine Vielzahl möglicher Darstel-<br />
lungen. Deren Klassifizierung ist Gegenstand eines eigenständigen Teilgebiets der Mathematik, der<br />
sogenannten Darstellungstheorie.<br />
Die mathematische Struktur eines Problems wird besonders transparent, wenn es darstellungsfrei<br />
formuliert wird. Um etwas jedoch konkret auszurechnen, ist in der Regel die Wahl einer Darstellung<br />
erforderlich.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
1.3 Lineare Abbildungen 9<br />
1.2.4 Affine Räume<br />
Ein affiner Raum ist eine Menge von Punkten, die durch Vektoren verb<strong>und</strong>en sind.<br />
Genauer: Ein affiner Raum A über einem Vektorraum V ist ausgestattet mit einer Abbildung A×A →<br />
V : p,q → −→ pq so dass gilt:<br />
- Die Abstände sind additiv, d.h. <strong>für</strong> alle p,q,r ∈ A gilt: −→ pq + −→ qr = −→ pr.<br />
- Unbegrenztheit, d.h. <strong>für</strong> alle p ∈ A <strong>und</strong> v ∈ V gibt es ein q ∈ A so dass v = −→ pq.<br />
Ein affiner Raum hat also im wesentlichen die gleiche Struktur wie der darunter liegende Vektorraum,<br />
besitzt aber im Gegensatz zu diesem kein ausgezeichnetes Element, d.h. keinen Ursprung<br />
oder Nullpunkt (siehe Abb. 1.1c). Der Übergang vom Vektorraum zum dazugehörigen<br />
affinen Raum wird oft so beschrieben, als würde man “den Ursprung (Nullpunkt) vergessen.”<br />
<strong>Physik</strong>alische Räume wie der Ortsraum der Newtonschen Mechanik sind affin, da sie keinen<br />
ausgezeichneten Ursprung besitzen.<br />
1.3 Lineare Abbildungen<br />
Im Abschnitt 1.1.5 haben wir den Begriff des Homomorphismus als strukturverträgliche Abbildung<br />
kennen gelernt <strong>und</strong> am Beispiel von Gruppenhomomorphismen diskutiert. Analog dazu<br />
sind Vektorraumhomomorphismen Abbildungen, die mit einer Vektorraumstruktur, also der<br />
Addition von Vektoren <strong>und</strong> der Multiplikation mit Skalaren, verträglich sind. Man kann leicht<br />
zeigen, dass die Vektorraumhomomorphismen lineare Abbildungen sind, die wir im folgenden<br />
einführen wollen.<br />
1.3.1 Definition <strong>und</strong> Eigenschaften<br />
Seien V,W zwei Vektorräume. Eine Abbildung A : V → W heißt linear, wenn <strong>für</strong> alle u,v ∈ V<br />
<strong>und</strong> λ,µ ∈ K gilt<br />
A(λu + µv) = λA(u) + µA(v). (1.4)<br />
In komplexen Vektorräumen gibt es darüber hinaus eine weitere Klasse von Vektorraumhomomorphismen,<br />
nämlich die antilinearen Abbildungen, auch konjugiert-linear oder semilinear genannt.<br />
Antilineare Abbildungen haben die Eigenschaft, dass Skalare konjugiert komplex durchgeschleift<br />
werden, d.h.<br />
A(λu + µv) = λ ∗ A(u) + µ ∗ A(v), (1.5)<br />
wobei der Stern <strong>für</strong> Komplexkonjugation steht. Während antilineare Abbildungen in der Quantentheorie<br />
häufig anzutreffen sind, spielen sie in der <strong>Relativitätstheorie</strong> eine eher untergeordnete<br />
Rolle.<br />
Ähnlich wie bei Gruppenhomomorphismen besitzen Vektorraumhomomorphismen einen Kern<br />
(Vektoren, die auf Null abgebildet werden) <strong>und</strong> ein Bild (Bildvektoren, die von der Abbildung<br />
erreicht werden):<br />
ker(A) = {v ∈ V |A(v) = 0} ⊆ V (1.6)<br />
img(A) = {A(v)|v ∈ V } ⊆ W (1.7)<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
10 Mathematische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
Kern <strong>und</strong> Bild sind Teilräume von V bzw. W, die den sogenannten Dimensionssatz erfüllen:<br />
dim � ker(A) � + dim � img(A) � = dim(V ). (1.8)<br />
Die Dimension des Bildraums wird als Rang der Abbildung bezeichnet:<br />
Außerdem gilt die Ungleichung<br />
rank(A) = dim � img(A) �<br />
(1.9)<br />
rank(A) ≤ min(dimV,dimW). (1.10)<br />
Eine lineare Abbildung kann nur dann vollen Rang rank(A) = dimV haben, wenn der Bildraum<br />
genug Platz bietet, wenn also dimW ≥ dimV ist.<br />
1.3.2 Darstellung linearer Abbildungen<br />
Sei A : V → W eine lineare Abbildung <strong>und</strong> seien {ei}, {f j} Basen von V bzw. W. Ein Vektor<br />
v ∈ V <strong>und</strong> dessen Bild w = A(v) ∈ W kann in diesen Basen durch<br />
v = v i ei <strong>und</strong> w = w j f j (1.11)<br />
dargestellt werden, wobei die Komponenten durch v i = e i (v) <strong>und</strong> w j = f j (w) gegeben sind.<br />
Wegen der Linearität von A ist<br />
A(v) = A(v i ei) = A(ei)v i , (1.12)<br />
wobei A(ei) ∈ W ist. Dieser Vektor lässt sich über der Basis {f j} in Komponenten<br />
A(ei) = A j (ei)<br />
� �� �<br />
=: A j<br />
f j<br />
i<br />
(1.13)<br />
darstellen, also ist A(v) = A j<br />
i vi f j. Ein Vergleich mit A(v) = w = w j f j ergibt, dass die Komponenten<br />
der Vektoren durch<br />
w j = A j<br />
i vi<br />
(1.14)<br />
aufeinander abgebildet werden. Diese Abbildungsvorschrift wird mit Hilfe einer Matrix wie z.B.<br />
�<br />
w1 w2 � �<br />
A1 = 1 A1 2 A13 A2 1 A22 A2 �⎛<br />
v<br />
⎝<br />
3<br />
1<br />
v2 v3 ⎞<br />
⎠<br />
(1.15)<br />
mit der Rechenregel “Zeile mal Spalte” schematisiert. Lineare Abbildungen sind also <strong>für</strong> vorgegebene<br />
Basen als Matrix darstellbar.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
1.3 Lineare Abbildungen 11<br />
1.3.3 Basistransformationen<br />
Unter einer Transformation versteht man einen Isomorphismus, der das zu beschreibende Objekt<br />
umformt. Gr<strong>und</strong>sätzlich gibt es zwei verschiedene Arten von Transformationen:<br />
• Aktive Transformationen, mit denen das zu beschreibende Objekt manipuliert, also beispielsweise<br />
gedreht oder verschoben wird.<br />
• Passive Transformationen, die zwischen verschiedenen Darstellungen vermitteln, wobei<br />
das zu beschreibende Objekt unverändert bleibt.<br />
In der linearen Algebra interessieren uns vor allem lineare Transformationen. Vektorraumautomorphismen,<br />
also lineare Abbildungen, die durch quadratische Matrizen beschrieben werden,<br />
sind aktive Transformationen, da sie gegebene Vektoren auf neue Vektoren abbilden. Davon zu<br />
unterscheiden sind passive lineare Transformationen, die zwischen verschiedenen Darstellungen<br />
vermitteln. Da eine Darstellung durch die Wahl der Basis festgelegt ist, handelt es sich also um<br />
Basistransformationen.<br />
Im folgenden betrachten wir eine Basistransformation, mit der eine Basis ei auf eine andere<br />
gestrichene Basis {e ′ i} abgebildet wird. Die neuen Basisvektoren müssen sich als Linearkombination<br />
über den alten Basisvektoren darstellen lassen, d.h.<br />
ei → e ′ i = ek ˜M k i<br />
(1.16)<br />
wobei ˜M die entsprechende Transformationsmatrix ist, deren Determinante ungleich Null sein<br />
muss. Während ein Vektor v ∈ V unter solch einer (passiven) Basistransformation unverändert<br />
bleibt, ändern sich jedoch seine Komponenten. Wegen v = vkek = v ′i<br />
e ′<br />
i = v ′i<br />
ek ˜M k i erhält man<br />
durch Koeffizientenvergleich vk = v ′i ˜M k i . Daraus folgt das Transformationsgesetz <strong>für</strong> die Komponenten<br />
wobei M = ˜M −1 ist.<br />
v i → v ′i = M i jv j<br />
Merke: Wenn die Vektorkomponenten v i sich mit der Matrix M transformieren, müssen sich die<br />
Basisvektoren mit der Matrix M −1 transformieren <strong>und</strong> umgekehrt.<br />
(1.17)<br />
Basistransformation linearer Abbildungen:<br />
Ebenso transformiert sich die Darstellung einer linearen Abbildung A : V → V . Wenn w = Av<br />
ist, lautet die entsprechenden Darstellungen gemäß Gl. (1.14) in der ungestrichenen <strong>und</strong> der<br />
gestrichenen Basis<br />
w j = A j<br />
ivi , w ′ j ′ j<br />
= A iv′i (1.18)<br />
wobei A j<br />
i <strong>und</strong> A′ j<br />
i quadratische Matrizen sind. Wegen v′i = Mi jv j <strong>und</strong> w ′i<br />
= Mi jw j ergibt sich<br />
das Transformationsgesetz<br />
A ′ j<br />
i<br />
= M j<br />
k Ak ℓ ˜M ℓ i<br />
(1.19)<br />
oder kurz A ′ = MAM −1 . Nochmals sei darauf hingewiesen, dass die Basistransformation die<br />
lineare Abbildung als solche nicht verändert, sondern lediglich ihre Darstellung.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
12 Mathematische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
1.4 Zusammengesetzte Vektorräume<br />
Zwei Vektorräume U <strong>und</strong> V über dem gleichen Skalarkörper K lassen sich auf unterschiedliche<br />
Weise zu einem neuen Vektorraum kombinieren. Dabei ist es wichtig, den Unterschied zwischen<br />
einer direkten Summe <strong>und</strong> einem Tensorprodukt zu verstehen. Darüber hinaus gibt es verschiedene<br />
Varianten von Tensorprodukten mit unterschiedlichen Symmetrieeigenschaften.<br />
1.4.1 Direkte Summe ⊕<br />
Die direkte Summe U ⊕V (auch äußere direkte Summe genannt) ist die Menge aller geordneten<br />
Paare (u,v) von Vektoren u ∈ U <strong>und</strong> v ∈ V , ausgestattet mit der Addition (u1,v1) + (u2,v2) =<br />
(u1 + u2,v1 + v2) bzw. 2<br />
(u1 ⊕ v1) + (u2 ⊕ v2) = (u1 + u2) ⊕ (v1 + v2) (1.20)<br />
<strong>und</strong> der Skalarmultiplikation λ(u,v) = (λu,λv) bzw.<br />
λ(u ⊕ v) = (λu) ⊕ (λv). (1.21)<br />
Man kann leicht überprüfen, dass die so definierte direkte Summe ebenfalls ein Vektorraum ist.<br />
Die Dimension des Summenraums ist dabei die Summe der Einzeldimensionen:<br />
dim(U ⊕V ) = dim(U) + dim(V ). (1.22)<br />
Wenn A : U → U <strong>und</strong> B : V → V lineare Abbildungen sind, dann ist auf U ⊕ V eine lineare<br />
Abbildung A ⊕ B durch<br />
(A ⊕ B)(u ⊕ v) = (Au) ⊕ (Bv) (1.23)<br />
erklärt. Die Bildung der direkten Summe ist anschaulich leicht vorstellbar, z.B. ist der R 3 die<br />
direkte Summe aus R 2 (z.B. xy-Ebene) <strong>und</strong> R (z-Achse).<br />
1.4.2 Darstellung direkter Summen<br />
Ist {ei} eine Basis von U <strong>und</strong> {f j} eine Basis von V , so sind die kanonischen Basisvektoren des<br />
Summenraums U ⊕ V durch Kombination der Basisvektoren des einen Summanden mit dem<br />
neutralen Element des jeweils anderen Summanden gegeben, d.h.<br />
{(e1,0), (e2,0),..., (0,f1), (0,f2), ,...} (1.24)<br />
wobei ’0’ die jeweiligen Nullvektoren bezeichnet.Mit dieser Konstruktion bestätigt sich, dass<br />
sich bei der Bildung der direkten Summe die Dimensionen der Einzelräume addieren.<br />
Seien nun u ∈ U <strong>und</strong> v ∈ V über diesen Basen dargestellt, d.h. u = uiei <strong>und</strong> v = vifi. Üblicherweise<br />
werden die Komponenten von Vektoren als Spaltenvektoren notiert, z.B.<br />
⎛<br />
u<br />
u = ⎝<br />
1<br />
u2 u3 ⎞<br />
�<br />
⎠,<br />
v1 v =<br />
v2 �<br />
. (1.25)<br />
2 Formal ist die direkte Summe U ⊕V einem kartesischem Produkt U ×V ähnlich, geht aber insofern darüber hinaus,<br />
als dass sie die Vektorräume nicht nur nebeneinander stellt, sondern zu einem neuen Vektorraum kombiniert.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
1.4 Zusammengesetzte Vektorräume 13<br />
Bei der Bildung der direkten Summe werden die Komponenten der Einzelvektoren einfach aneinandergehängt:<br />
⎛<br />
u<br />
u ⊕ v = ⎝<br />
1<br />
u2 u3 ⎞<br />
�<br />
⎠<br />
v1 ⊕<br />
v2 ⎛<br />
u<br />
� ⎜<br />
= ⎜<br />
⎝<br />
1<br />
u2 u3 v1 v2 ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(1.26)<br />
Die direkte Summe zweier linearer Abbildungen A : U → U <strong>und</strong> B : V → V besitzt im Summenraum<br />
eine Matrixdarstellung mit einer Blockdiagonalstruktur:<br />
⎛<br />
A<br />
A ⊕ B = ⎝<br />
1 1 A12 A13 A2 1 A22 A23 A3 1 A3 2 A3 ⎞<br />
�<br />
⎠<br />
B1 ⊕ 1 B<br />
3<br />
1 2<br />
B2 1 B2 ⎛<br />
A<br />
� ⎜<br />
= ⎜<br />
2 ⎝<br />
1 1 A12 A13 0 0<br />
A2 1 A22 A2 3 0 0<br />
A3 1 A3 2 A3 3 0 0<br />
0 0 0 B1 1 B12 0 0 0 B2 1 B2 ⎞<br />
⎟ (1.27)<br />
⎠<br />
2<br />
Hier sieht man sofort, dass nicht jede lineare Abbildung U ⊕V → U ⊕V in die Form A ⊕ B gebracht<br />
werden kann, sondern nur solche Abbildungen, die eine Blockdiagonalstruktur besitzen.<br />
1.4.3 Tensorprodukt ⊗<br />
Die Tensorprodukt U ⊗V (auch äußeres Produkt genannt) wird ebenfalls von der Menge aller<br />
geordneten Paare (u,v) von Vektoren u ∈U <strong>und</strong> v ∈V erzeugt, jedoch ist die Vektorraumstruktur<br />
hier so implementiert, dass sich eine multiplikative Struktur ergibt. Insbesondere lässt sich das<br />
Tensorprodukt wie ein gewöhnliches Produkt gemäß der Regel<br />
(u1 + u2) ⊗ (v1 + v2) = (u1 ⊗ v1) + (u1 ⊗ v2) + (u2 ⊗ v1) + (u2 ⊗ v2) (1.28)<br />
ausmultiplizieren <strong>und</strong> ist bei Skalarmultiplikation bilinear in beiden Argumenten:<br />
(λu) ⊗ (µv) = λ µ(u ⊗ v). (1.29)<br />
Anmerkung: Diese Definitionseigenschaften unterscheiden sich erheblich von denen <strong>für</strong> die direkte<br />
Summe in Gl. (1.20)-(1.21). Bei der direkten Summe wird paarweise, beim Tensorprodukt dagegen<br />
‘jeder mit jedem’ verknüpft, wodurch gemischte Terme entstehen.<br />
Mit dem so definierten Tensorprodukt lässt sich die Menge der Produktvektoren<br />
PUV := {u ⊗ v|u ∈ U,v ∈ V } (1.30)<br />
definieren. Diese Menge bildet allerdings noch keinen Vektorraum, weil sich nicht jede Linearkombination<br />
aus zwei Produktvektoren u1 ⊗v1 <strong>und</strong> u2 ⊗v2 wiederum als Produktvektor u3 ⊗v3<br />
schreiben lässt. Der Tensorproduktraum U ⊗V ist deshalb als der Aufspann von P definiert, also<br />
der Menge aller möglichen Linearkombinationen von Produktvektoren: 3<br />
U ⊗V := 〈PUV 〉. (1.31)<br />
3 Sowohl die direkte Summe U ⊕V als auch das Tensorprodukt U ⊗V basieren auf geordneten Paaren von Vektoren<br />
aus U <strong>und</strong> V . Neben der unterschiedlichen Additionsregel besteht ein wesentlicher Unterschied darin, dass die<br />
geordneten Paare bereits den gesamten Summenraum umfassen, während sie im Tensorproduktraum nur eine<br />
spezielle Teilmenge (die der Produktvektoren) darstellen <strong>und</strong> der gesamte Vektorraum erst unter Hinzunahme<br />
aller Linearkombinationen aufspannt wird.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
14 Mathematische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
In diesem Aufspann sind die Vektorraumaxiome erfüllt <strong>und</strong> man kann sich leicht überzeugen,<br />
dass die Dimension dieses Raumes gleich dem Produkt der Einzeldimensionen ist:<br />
dim(U ⊗V ) = dim(U)dim(V ). (1.32)<br />
U <strong>und</strong> V bezeichnet man als die Tensorkomponenten des Tensorprodukts U ⊗V . Eine anschauliche<br />
Deutung des Tensorprodukts ist schwierig, da der erste nichttriviale Fall R 2 ⊗ R 2 bereits<br />
auf einen vierdimensionalen Raum führt.<br />
Da ein Tensorprodukt auf geordneten Paaren basiert, ist im allgemeinen U ⊗V �= V ⊗U, d.h.<br />
das Tensorprodukt ist nicht kommutativ <strong>und</strong> die Tensorkomponenten haben somit eine individuelle<br />
voneinander unterscheidbare Identität.<br />
Bemerkung: Sie kennen Tensorprodukte wahrscheinlich bereits aus der Quantentheorie. Für Zen-<br />
tralpotentiale faktorisieren beispielsweise die Eigenfunktionen in ψn(r) in einen Radialanteil u(r)<br />
<strong>und</strong> eine Kugelflächenfunktion Ylm(θ,φ). Statt |ψn〉 = |u〉 ⊗ |Ylm〉 schreibt man allerdings oft nur<br />
|ψn〉 = |u〉|Ylm〉. In ganz ähnlicher Weise benutzt man <strong>für</strong> Systeme mit mehreren Spins die Notation<br />
| ↑↑〉 = | ↑〉| ↑〉 statt | ↑〉 ⊗ | ↑〉.<br />
1.4.4 Rechenregeln <strong>für</strong> Tensorprodukte<br />
Das Tensorprodukt zweier linearer Abbildungen ist dadurch definiert, dass die Einzelabbildungen<br />
auf jeder Tensorkomponente separat wirken, d.h.<br />
(A ⊗ B)(u ⊗ v) = (Au) ⊗ (Bv). (1.33)<br />
Eine lineare Abbildung C : U ⊗V → U ⊗V , die sich in der Form C = A ⊗ B schreiben lässt,<br />
heißt faktorisierbar. Solche Abbildungen wirken auf die beiden Tensorfaktoren separat, ohne<br />
sie miteinander zu mischen oder in Beziehung zu bringen. Das Transponieren bzw. Adjungieren<br />
faktorisierbarer linearer Abbildungen wird in allen Tensorkomponenten einzeln durchgeführt,<br />
d.h.<br />
(A ⊗ B) T = A T ⊗ B T , (A ⊗ B) † = A † ⊗ B † . (1.34)<br />
Bemerkung: Im Gegensatz zu verketteten linearen Abbildungen (Matrixprodukten), bei denen sich<br />
die Reihenfolge der Faktoren unter Transposition gemäß (A1A2) T = AT 2 AT 1 umkehrt, bleibt die Reihenfolge<br />
der Tensorfaktoren erhalten. Bei einer Mischung dieser beiden Produktarten gilt deshalb<br />
z.B.[(A1A2) ⊗ (B1B2B3)] T = (A T 2 AT 1 ) ⊗ (BT 3 BT 2 BT 1 ).<br />
Das Tensorprodukt zweier Skalare λ,µ ∈ C wird formal als Multiplikation in C aufgefasst:<br />
λ ⊗ µ ≡ λ µ . (1.35)<br />
Die Determinante eines Tensorprodukts ist das Produkt der Determinanten der Faktoren:<br />
det(A ⊗ B) = detA detB. (1.36)<br />
Tensorprodukte können ohne weiteres mehrfach durchgeführt werden, z.B. kann ein Hilbertraum<br />
V als dreifaches Tensorprodukt V = V1 ⊗V2 ⊗V3 von Einzelräumen V1,V2,V3 definiert werden.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
1.4 Zusammengesetzte Vektorräume 15<br />
1.4.5 Darstellung des Tensorprodukts<br />
Ist {ei} wie gehabt eine Basis von U <strong>und</strong> {f j} eine Basis von V , so erhält man eine Basis des<br />
Produktraums durch Bildung aller möglichen Produkte der Basisvektoren:<br />
{e1 ⊗ f1, e1 ⊗ f2, e1 ⊗ f3,...<br />
e2 ⊗ f1, e2 ⊗ f2, e2 ⊗ f3,...<br />
e3 ⊗ f1, e3 ⊗ f2, e3 ⊗ f3,...<br />
...,}<br />
(1.37)<br />
Als übliche Konvention werden die Basisvektoren dabei lexikographisch geordnet. Wie man<br />
leicht sehen kann, ist dim(U ⊗V ) = dim(U)dim(V ).<br />
In der so konstruierten Darstellung kann das Tensorprodukt von Vektoren auf folgende Weise<br />
gebildet werden. Sei dazu wiederum u = u i ei <strong>und</strong> v = v i fi. Dann ist u ⊗ v = ∑i, j u i v j (ei ⊗ f j), in<br />
der Spaltenvektornotation hat man also beispielsweise<br />
⎛<br />
u<br />
u ⊗ v = ⎝<br />
1<br />
u2 u3 ⎞<br />
�<br />
⎠<br />
v1 ⊗<br />
v2 ⎛<br />
u<br />
⎜<br />
� ⎜<br />
= ⎜<br />
⎝<br />
1v1 u1v2 u2v1 u2v2 u3v1 u3v2 ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(1.38)<br />
Im Gegensatz zur direkten Summe, bei der man die beiden Spaltenvektoren einfach aneinander<br />
hängt, werden Tensorprodukte von Vektoren gemäß der Regel „jeder mit jedem” durch Multiplikation<br />
der Komponenten gebildet. Auch hier ist es üblich, die Komponenten entsprechend ihrer<br />
Mehrfachindices lexikographisch zu ordnen.<br />
Im obigen Beispiel erhält man einen sechskomponentigen Vektor, der aber nur aus fünf unabhängigen<br />
Komponenten gebildet wird. Hier bestätigt sich anschaulich, dass die Produktvektoren<br />
in der Tat nur eine Teilmenge des gesamten sechsdimensionalen Raums darstellen.<br />
Bemerkung: Man beachte, dass bei der Bildung des Tensorprodukts auch die entsprechenden physikalischen<br />
Einheiten miteinander multipliziert werden. Repräsentieren beispielsweise u <strong>und</strong> v Abstände<br />
mit der Einheit einer Länge, so besitzt das Tensorprodukt die Dimension einer Fläche. Mit dem<br />
Tensorprodukt können auch Vektoren mit unterschiedlichen physikalischen Einheiten multipliziert<br />
werden.<br />
Das Tensorprodukt zweier linearer Abbildungen sieht folgendermaßen aus:<br />
A ⊗ B =<br />
=<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎛<br />
A1 1 A12 A13 A2 1 A22 A23 A3 1 A3 2 A3 3<br />
⎞<br />
�<br />
⎠<br />
B1 ⊗ 1 B1 �<br />
2<br />
B 2 1 B2 2<br />
A 1 1 B1 1 A1 1 B1 2 A1 2 B1 1 A1 2 B1 2 A1 3 B1 1 A1 3 B1 2<br />
⎜<br />
A<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 1B21 A11 B22 A12 B21 A12 B22 A13 B21 A13 B22 A2 1B11 A21 B12 A22 B11 A22 B12 A2 3B11 A2 3B1 2<br />
A2 1B21 A21 B22 A22 B2 1 A22 B22 A23 B21 A23 B22 A3 1B11 A3 1B12 A3 2B11 A3 2B12 A3 3B11 A3 3B12 A3 1B21 A3 1B22 A3 2B21 A3 2B22 A3 3B21 A3 3B2 ⎟<br />
⎠<br />
2<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
⎞<br />
(1.39)
16 Mathematische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
Bemerkung: Beitrag von Martin Paulig: In der Praxis ist es hilfreich, die Tensorproduktbildung zu<br />
automatisieren. Eine einfache Mathematica R○ -Funktion, die sowohl Vektoren als auch Matrizen mit<br />
beliebiger Dimensionalität in dem üblichen Listenformat nach den obigen Regeln multipliziert, nimmt<br />
nur zwei Zeilen in Anspruch:<br />
Attributes[CircleTimes] = {Flat, OneIdentity};<br />
CircleTimes[a_List, b_List] := KroneckerProduct[a, b];<br />
Für das Tensorprodukt |c〉 = |a〉 ⊗ |b〉 schreibt man dann einfach<br />
cvec = {a1,a2,a3} ⊗ {b1,b2}<br />
wobei man das Symbol ⊗ durch die Tastenfolge ESC c * ESC eingibt. Das oben definierte Tensor-<br />
produkt funktioniert auch <strong>für</strong> Matrizen.<br />
1.5 Multilinearformen<br />
1.5.1 1-Formen<br />
Sei V ein Vektorraum über dem Körper K. Eine Linearform oder auch 1-Form ist eine Abbilung<br />
α : V → K mit den Eigenschaften<br />
• Additivität: α(u + v) = α(u) + α(v) <strong>für</strong> alle u,v ∈ V .<br />
• Homogenität: α(λv) = λα(v) <strong>für</strong> alle v ∈ V <strong>und</strong> λ ∈ K.<br />
Eine 1-Form ist also vereinfacht gesagt eine lineare black box, die Vektoren auf Zahlen abbildet.<br />
Man kann zwei 1-Formen α,τ addieren, indem man einfach ihre Ergebnisse addiert. Ebenso<br />
kann man eine 1-Form mit einem Skalar λ ∈ K multiplizieren, indem man ihr Ergebnis mit<br />
einem Skalar multipliziert. In Formeln ausgedrückt:<br />
(α + τ)(v) := α(v) + τ(v), (λα)(v) := λα(v). (1.40)<br />
Man kann leicht zeigen, dass α + τ <strong>und</strong> λα wiederum additive homogene Abbildungen, also<br />
wiederum 1-Formen sind. Die Menge aller 1-Formen besitzt deshalb ebenfalls eine Vektorraumstruktur.<br />
Der Vektorraum der 1-Formen wird dualer Vektorraum bzw. Dualraum, manchmal auch<br />
Kovektorraum genannt <strong>und</strong> mit dem Symbol V ∗ bezeichnet.<br />
Merke: Eine 1-Form ist vereinfacht ausgedrückt eine lineare Maschine, die Vektoren eines Vektor-<br />
raums V auf Zahlen abbildet. Die Menge aller 1-Formen ist ebenfalls ein Vektorraum <strong>und</strong> wird als<br />
Dualraum V ∗ bezeichnet.<br />
Man beachte, dass sich 1-Formen nicht zur Definition der Länge eines Vektors eignen. Die Länge<br />
eines Vektors sollte nämlich stets positiv sein, während eine 1-Form wegen α(−v) = −α(v)<br />
auch negative Ergebnisse liefern kann.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
1.5 Multilinearformen 17<br />
Abbildung 1.2: 1-Form im R 2 . Eine 1-Form α lässt sich anschaulich als eine Art Feld auf dem Vektorraum vorstellen,<br />
das in der Abbildung durch die Intensität der Blaufärbung visualisiert wird. Da die 1-Form<br />
linear ist, müssen die “Äquipotentiallinien” dieses Feldes parallele Geraden sein. Wendet man eine<br />
1-Form auf einen Vektor v an, dann ist das Ergebnis gerade der Wert des Feldes an dieser<br />
Stelle, hier also α(v) = 1.<br />
1.5.2 Darstellung von 1-Formen<br />
Sei α ∈ V ∗ eine 1-Form <strong>und</strong> {ei} eine Basis von V . Da sich jeder Vektor v ∈ V als Linearkombination<br />
v = ∑i v i ei schreiben lässt <strong>und</strong> α linear ist, gilt<br />
α(v) = α<br />
�<br />
∑ i<br />
v i ei<br />
�<br />
= ∑ i<br />
v i α(ei). (1.41)<br />
Um eine 1-Form zu definieren, muss man also lediglich angeben, wie sie auf die Basisvektoren<br />
wirkt, eine 1-Form wird also vollständig durch die Zahlen α(ei) ∈ K charakterisiert.<br />
Diese Beobachtung ermöglicht es uns, eine spezielle Menge {e j } von 1-Formen mit der Eigenschaft<br />
e j (ei) = δ j<br />
i<br />
zu definieren, wobei j <strong>und</strong> i aus der gleichen Indexmenge kommen <strong>und</strong><br />
δ j<br />
i =<br />
� 1 i = j<br />
0 i �= j<br />
(1.42)<br />
(1.43)<br />
die Kronecker-Symbole sind (hier dürfen die Indices ausnahmsweise übereinander stehen). Die<br />
Menge der 1-Formen {e j } ist eine Basis des Dualraums V ∗ , denn man kann jede 1-Form α ∈ V ∗<br />
schreiben als Linearkombination<br />
α = ∑ j<br />
α je j<br />
mit α j = α(e j). (1.44)<br />
Beweis: Um dies zu zeigen, untersuchen wir, wie die 1-Form α auf die Basisvektoren wirkt. Man<br />
erhält α(ei) = ∑ j α je j (ei) = ∑ j α jδ j<br />
i = αi ; die Linearfaktoren sind also eindeutig bestimmt <strong>und</strong> so<br />
ist klar, dass sich jede 1-Form auf diese Weise darstellen lässt.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
18 Mathematische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
Zu jeder Basis {ei} von V gehört also eine zugeordnete Basis {e j } von V ∗ , die als duale Basis<br />
bezeichnet wird. In einem endlichen Vektorraum besitzen V <strong>und</strong> V ∗ die gleiche Anzahl von<br />
Basisvektoren <strong>und</strong> haben damit die gleiche Dimension. Es ist üblich, die ‘normalen’ Basisvektoren<br />
mit unteren Indices <strong>und</strong> die 1-Formen der dualen Basis mit oberen Indices zu schreiben.<br />
Die Linearfaktoren von Vektoren schreibt man dagegen mit oberen, die Linearfaktoren der 1-<br />
Formen mit unteren Indices, also genau entgegengesetzt. Summiert wird stets über Paare hoch<strong>und</strong><br />
tiefstehender Indices. Gemäß der Einsteinschen Summenkonvention ist es üblich, das Summenzeichen<br />
wegzulassen.<br />
Merke:<br />
Einen Vektor v kann man durch v = v i ei mit Komponenten v i = e i (v) darstellen.<br />
Eine 1-Form α kann man durch α = αie i mit Komponenten αi = α(ei) darstellen.<br />
Die Anwendung einer 1-Form α auf einen Vektor v nimmt also in einer gegebenen Darstellung<br />
die Form<br />
α(v) = αiv i<br />
(1.45)<br />
an. Das Resultat α(v) wird Verjüngung oder Kontraktion von α <strong>und</strong> v genannt <strong>und</strong> wird in der<br />
Mathematik auch mit ιvα bezeichnet. Das Paar entgegengesetzt stehender Indices, über das kontrahiert<br />
wird, sieht auf den ersten Blick einem Skalarprodukt ähnlich, doch handelt es sich hier<br />
nicht um ein Skalarprodukt, denn Längen <strong>und</strong> Winkel sind an dieser Stelle noch nicht erklärt.<br />
Wir werden auf den Begriff der Kontraktion im Abschnitt 1.5.9 auf S. 22 noch genauer eingehen.<br />
Bemerkung: Darstellungen von 1-Formen werden bereits in der Schulmathematik durch die Hintertür<br />
in der Gestalt von Zeilenvektoren eingeführt. Hier schreibt man beispielsweise<br />
�<br />
α1,α2,...<br />
α(v) =<br />
�⎛<br />
v<br />
⎝<br />
1<br />
v2 ⎞<br />
⎠<br />
...<br />
<strong>und</strong> führt die Kontraktion nach der Regel „Zeile mal Spalte“ durch. Auch in der Quantenmechanik<br />
sind Ihnen bereits 1-Formen begegnet, <strong>und</strong> zwar in der Dirac-Notation als bra-Vektoren 〈φ| ∈ H ∗ ,<br />
die mit den Zustandsvektoren |ψ〉 ∈ H zu einem Skalar 〈φ|ψ〉 ∈ C kontrahiert werden können. In<br />
Lehrbüchern werden solche Kontraktionen als Skalarprodukte bezeichnet, was aber streng genommen<br />
nicht korrekt ist. Wir werden auf diesen Punkt später zurückkommen (siehe Abschnitt 1.6.1 auf S. 24).<br />
Wir haben 1-Formen als lineare Maschinen eingeführt, die auf Vektoren angewandt werden <strong>und</strong><br />
eine Zahl als Ergebnis liefern. Da aber die 1-Formen ihrerseits einen dualen Vektorraum bilden,<br />
kann man auch umgekehrt Vektoren als lineare Maschinen auffassen, die angewandt auf eine<br />
1-Form eine Zahl liefern.<br />
1.5.3 Basistransformation von 1-Formen<br />
Unter einer Basistransformation ei → e ′ i = ek ˜M k i (siehe Abschnitt 1.3.3 auf S. 11) müssen sich<br />
die Basisvektoren des Dualraums auf entgegengesetzte Weise gemäß<br />
e j → e ′ j = M j<br />
ℓ eℓ<br />
(1.46)<br />
transformieren, wobei M = ( ˜M) −1 ist, denn nur dann erfüllt die gestrichene duale Basis die<br />
Definitionseigenschaft e ′ j<br />
(e ′<br />
i) = δ j<br />
i (vgl. Abschnitt 1.5.2 auf S. 17).<br />
Beweis: Es ist e ′ j<br />
(e ′<br />
i) = M j<br />
ℓ ˜M k ieℓ (ek) = M j<br />
k ˜M k j<br />
i = δi Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
1.5 Multilinearformen 19<br />
Im Gegensatz zu den Komponenten eines Vektors, <strong>für</strong> die das Transformationsgesetz<br />
v i → v ′i = M i jv j<br />
gilt, transformieren sich die Komponenten einer 1-Form α = α je j also gemäß<br />
(1.47)<br />
α j → α ′ j = αk ˜M k j . (1.48)<br />
Dabei ist die Ordnung der Indices zu beachten, d.h. man hat es hier sozusagen mit der transponierten<br />
Transformationsmatrix α ′ j = αk ˜M T k<br />
j zu tun.<br />
Beweis: In der Tat ist α ′ je′ j<br />
= ˜M k j<br />
jM ℓαkeℓ = αℓeℓ = α<br />
1.5.4 Tensoren<br />
Sei V ein Vektorraum über dem Körper K <strong>und</strong> V ∗ der<br />
dazugehörige duale Vektorraum der 1-Formen. Ein<br />
Tensor ist eine multilineare (d.h. in jedem Argument<br />
lineare) Abbildung<br />
T : (V ∗ ) ⊗q ⊗ (V ) ⊗p → K,<br />
also eine lineare black box, die q 1-Formen <strong>und</strong> p Vektoren auf eine Zahl abbildet. Die beiden<br />
Zahlen (q, p) werden als Rang oder Stufe des Tensors bezeichnet. 4 Einige Spezialfälle kennen<br />
wir bereits:<br />
- Ein Tensor vom Rang (0,0), der nichts auf eine Zahl abbildet, ist ein Skalar.<br />
- Ein Tensor vom Rang (1,0), der eine 1-Form auf eine Zahl abbildet, ist ein Vektor.<br />
- Ein Tensor vom Rang (0,1), der einen Vektor auf eine Zahl abbildet, ist eine 1-Form.<br />
Man unterscheidet folgende Arten von Tensoren:<br />
- Kovariante Tensoren bilden ausschließlich Vektoren ab.<br />
- Kontravariante Tensoren bilden ausschließlich 1-Formen ab.<br />
- Gemischte Tensoren bilden sowohl Vektoren als auch 1-Formen ab.<br />
Genau wie 1-Formen können Tensoren addiert werden, indem man ihre Ergebnisse addiert.<br />
Ebenso können sie skalar multipliziert werden, indem man ihr Ergebnis skalar multipliziert.<br />
Die Menge der Tensoren der Stufe (q, p) bilden also einen eigenständigen Vektorraum. Weil<br />
Tensoren als lineare Abbildungen von (V ∗ ) ⊗q ⊗ (V ) ⊗p in den Zahlenkörper definiert sind, sind<br />
sie selbst Elemente des dazu dualen Vektorraums, den wir kurz mit<br />
bezeichnen wollen.<br />
� (q,p)V := (V ) ⊗q ⊗ (V ∗ ) ⊗p<br />
4 Manche Autoren verstehen unter dem Rang bzw. der Stufe die Summe p + q.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
(1.49)
20 Mathematische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
1.5.5 Darstellung von Tensoren<br />
Wegen ihrer Linearität lassen sich Tensoren in einer gegebenen Basis {ei} von V <strong>und</strong> der dazugehörigen<br />
dualen Basis {e j } von V ∗ in Komponenten darstellen. Dazu lassen wir einen Tensor<br />
vom Rang (q, p) auf q 1-Formen <strong>und</strong> p Vektoren wirken. Um deren Nummerierung von der Indizierung<br />
der Komponenten unterscheiden zu können, schreiben wir die Nummer des Arguments<br />
in r<strong>und</strong>en Klammern:<br />
T(α (1) ,...,α (q) ; v (1),...,v (p))<br />
= T �<br />
∑α j1<br />
(1)<br />
j1 e j1 , ..., ∑α jq<br />
(q)<br />
jq e jq ; ∑v i1<br />
i1<br />
(1) ei1 , ... ,∑ v<br />
ip<br />
ip<br />
(p) eip<br />
= ∑ α<br />
j1,..., jq,i1,...,ip<br />
(1)<br />
···α j1<br />
(q)<br />
jq vi1<br />
(1) ···vip (p) T(e j1 jq ,...,e ; ei1<br />
=: T j1 ... jq<br />
i1 ...ip<br />
Mit der Einsteinschen Summenkonvention gilt also<br />
T(α (1) ,...,α (q) ; v (1),...,v (p)) = T j1... jq<br />
,...,eip ) .<br />
� �� �<br />
i1...ip α(1) ···α j1<br />
(q)<br />
jq vi1<br />
(1) ···vip (p)<br />
�<br />
(1.50)<br />
(1.51)<br />
Gemäß der oben eingeführten Nomenklatur heißen die oberen Indices kontravariant, die unteren<br />
dagegen kovariant. Die Zahlen<br />
T j1... jq<br />
i1...ip = T(e j1 jq ,...,e ; ei1 ,...,eip ) (1.52)<br />
sind die Komponenten des Tensors T, der sich als Linearkombination von Tensorprodukten der<br />
Basisvektoren darstellen lässt als<br />
T = T j1... jq<br />
i1...ip e j1 ⊗ ... ⊗ e jq ⊗ ei1 ⊗ ... ⊗ e ip . (1.53)<br />
Die Tensorprodukte der Basisvektoren kann man als Basisvektoren<br />
E<br />
k1...kq<br />
l1...lp<br />
:= ek1 ⊗ ... ⊗ ekq ⊗ el1 ⊗ ... ⊗ e lp (1.54)<br />
eines Vektorraums � (q,p) V = (V ) ⊗q ⊗ (V ∗ ) ⊗p auffassen. Diese besitzen die Eigenschaft<br />
E<br />
k1...kq<br />
l1...lp<br />
� e j1 ,...,e jq ; ei1 ,...,eip<br />
Auf diese Weise lässt sich Gl. (1.53) kompakt schreiben als<br />
� j1,..., jq,l1,...,lp<br />
= δ . (1.55)<br />
k1,...,kq,i1,...,ip<br />
i1...ip<br />
T = T j1... jq<br />
i1...ip E j1... . (1.56)<br />
jq<br />
d.h. jeder Tensor lässt sich als Linearkombination dieser Basistensoren darstellen, wobei die<br />
Linearfaktoren gerade die in Gl. (1.51) definierten Tensorkomponenten sind:<br />
Die <strong>Relativitätstheorie</strong> arbeitet mit Tensoren bis zu einem Gesamtrang von q+ p = 4. In einer<br />
darstellungsabhängigen Formulierung wird die hier schon sichtbare „Indexgymnastik” schnell<br />
unübersichtlich <strong>und</strong> kann sogar die physikalische Bedeutung verschleiern. Auch deshalb ist es<br />
ratsam, eine darstellungsunabhängige Formulierung anzustreben. Natürlich erfordert jede konkrete<br />
Berechnung, beispielsweise auf einem Computer, die Verwendung einer geeigneten Darstellung.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
1.5 Multilinearformen 21<br />
1.5.6 Tensoren versus Matrizen<br />
Oft wird gesagt, dass Tensoren Matrizen <strong>und</strong> damit lineare Abbildungen wären. Streng genommen<br />
ist das nicht korrekt, da eine lineare Abbildung einen Vektor auf einen anderen Vektor<br />
abbildet, ein Tensor dagegen Vektoren <strong>und</strong> 1-Formen auf eine Zahl. Trotzdem gibt es einen<br />
engen Zusammenhang. Sei beispielsweise A eine lineare Abbildung eines Vektorraums V auf<br />
sich selbst, die durch eine quadratische Matrix A j<br />
i dargestellt wird. Auch wenn diese Matrix wie<br />
ein gemischter Tensor vom Rang (1,1) aussieht, liefert die Abbildung einen Vektor anstatt einer<br />
Zahl. Allerdings kann man diesen Ergebnisvektor mit einer weiteren 1-Form α zu einer Zahl<br />
kontrahieren. Damit erhält man einen Tensor vom Rang (1,1)<br />
TA(α,v) := α(Av)), (1.57)<br />
dessen Komponenten TA(e j ,ei) gerade die Matrixelemente A j<br />
i sind. Insofern lässt sich in der Tat<br />
jede lineare Abbildung als ein Tensor interpretieren.<br />
Bemerkung: Sie kennen das bereits aus der Quantentheorie: Einen Operator H kann man einerseits<br />
als lineare Abbildung H → H auf einem Hilbertraum H auffassen, andererseits aber auch als eine<br />
bilineare Abbildung, die einen ket-Vektor |ψ〉 ∈ H <strong>und</strong> einen bra-Vektor 〈φ| ∈ H ∗ auf eine Zahl<br />
〈φ|H|ψ〉 ∈ C abbildet.<br />
1.5.7 Tensorprodukt<br />
Das Tensorprodukt ⊗ verknüpft zwei Tensoren zu einem<br />
neuen Tensor höherer Stufe, indem einfach die Ergebnisse<br />
der beiden black boxes miteinander multipliziert werden.<br />
Der neue Tensor hat so viele Argumente wie die beiden<br />
ursprünglichen Tensoren zusammen, d.h. der Ränge<br />
dieser Tensoren addieren sich. Das Tensorprodukt ist also<br />
eine Abbildung<br />
��(q1,p1) � ��(q2,p2) �<br />
V ⊗ V → � (q1+q2,p1+p2)<br />
V<br />
<strong>und</strong> ermöglicht, Tensoren höherer Stufe zu konstruieren.<br />
Als Beispiel betrachten wir zwei Linearformen α <strong>und</strong> β, also Tensoren vom Rang (0,1). Diese<br />
beiden Tensoren können zu einer Bilinearform γ = α ⊗ β, also zu Tensor vom Rang (0,2)<br />
verknüpft werden, indem man deren Ergebnisse einfach miteinander multipliziert:<br />
γ(v1,v2) = α(v1)β(v2) (1.58)<br />
Wichtig: Nicht alle Tensoren vom Rang (0,2) lassen sich in der Form α ⊗ β schreiben. Die beiden<br />
1-Formen haben nämlich je drei, also zusammen sechs Freiheitsgrade, während in Tensor<br />
vom Rang (0,2) neun Freiheitsgrade besitzt. Deshalb bilden die Tensoren von der Form α ⊗ β<br />
nur eine Teilmenge von � (0,2) V , nämlich die Teilmenge der faktorisierbaren Tensoren. Erst bei<br />
Hinzunahme aller Linearkombinationen erhält man den gesamten Vektorraum (vgl. Abschnitt<br />
1.4.3 auf S. 13). Das bedeutet, dass jeder nicht-faktorisierbare Tensor als (endliche) Linearkombination<br />
von Tensorprodukten geschrieben werden kann.<br />
Durch mehrfache Ausführung des Tensorprodukts kann man sukzessive Tensoren beliebig<br />
hohen Rangs erzeugen. Das Tensorprodukt ist also eine Verknüpfung, mit der man Tensoren<br />
höherer Stufe konstruieren kann.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
22 Mathematische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
1.5.8 Darstellung des Tensorprodukts<br />
In einer gegebenen Basis {ei} bzw. {e i } wird das Tensorprodukt zweier Tensoren einfach dadurch<br />
gebildet, dass man die entsprechenden Komponenten miteinander multipliziert. Ist beispielsweise<br />
mit α = αie i <strong>und</strong> β = β je j , dann ist α ⊗β = αiβ j(e i ⊗e j ), also hat die Bilinearform<br />
γ = α ⊗ β die Darstellung<br />
γ = α ⊗ β ⇔ γi j = αiβ j. (1.59)<br />
Analog bildet man das Tensoprodukt C = A ⊗ B von zwei Tensoren der Stufe (q1, p1) bzw.<br />
(q2, p2) in einer gegebenen Basis einfach durch Multiplikation der Komponenten:<br />
C i1...iq 1 k1...kq 2<br />
j1... jp 1 ℓ1...ℓp 2<br />
= A i1...iq 1<br />
j1... B jp1 k1...kq2 . (1.60)<br />
ℓ1...ℓp2 Wie man leicht sehen kann, erhält man in der Tat einen Tensor vom Rang (q1 + q2, p1 + p2).<br />
1.5.9 Kontraktion<br />
Eine Kontraktion C , auch Verjüngung genannt, ist eine<br />
Verknüpfung, mit der sich der Rang eines Tensors verringern<br />
lässt. Eine Kontraktion kann man sich so vorstellen,<br />
als ob man zwei Eingangskanäle eines Tensors kurzschließt.<br />
Gr<strong>und</strong>sätzlich lassen sich nur kontravariante mit<br />
kovarianten Eingänge auf diese Weise paarweise kurzschließen.<br />
Eine Kontraktion reduziert also den Rang von<br />
(q, p) auf (q − 1, p − 1).<br />
Als einfachstes Beispiel betrachten wir einen faktorisierbaren Tensor T vom Rang (1,1), der<br />
also als Tensorprodukt T = v ⊗ α aus einer 1-Form α ∈ V ∗ <strong>und</strong> einem Vektor v ∈ V schreiben<br />
lässt. In diesem Fall ist die Kontraktion definiert als die Anwendung der 1-Form α auf den<br />
Vektor v <strong>und</strong> ergibt damit eine (0,0)-Tensor, also einen Skalar:<br />
C (v ⊗ α) = α(v) (1.61)<br />
Ein nichtfaktorisiernde Tensor vom Rang (1,1) kann stets als Linearkombination faktorisierender<br />
Tensoren geschrieben werden:<br />
T = ∑ λµvµ ⊗ αµ . (1.62)<br />
µ<br />
Auch solche Tensoren kann man kontrahieren, da die Kontraktion eine lineare Operation ist <strong>und</strong><br />
damit auf die Summanden durchgeschleift werden kann:<br />
C (T) = ∑ µ<br />
λµC (vµ ⊗ αµ) = ∑ µ<br />
λµαµ(vµ) (1.63)<br />
Der Vorteil dieser Definition ist, dass sie darstellungsfrei ist. Eine alternative <strong>und</strong> <strong>für</strong> den praktischen<br />
Gebrauch nützlichere Definition ist<br />
C (T) = T(e i ,ei), (1.64)<br />
wobei {e i } <strong>und</strong> {ei} Basen von V ∗ <strong>und</strong> V sind <strong>und</strong> über den Index i wie üblich summiert wird.<br />
Obwohl hier explizit eine Basis gebraucht wird, ist auch diese Definition darstellungsunabhängig.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
1.5 Multilinearformen 23<br />
Beweisskizze: Am Beispiel T = α ⊗v kann man sich leicht überzeugen, dass die beiden Definitionen<br />
wegen C (T) = (v ⊗ α)(e i ,ei) = α(ei)e i (v) = αiv i = α(v) äquivalent sind.<br />
Für Tensoren höherer Stufe muss man genau angeben, welche Eingänge miteinander verb<strong>und</strong>en<br />
werden. Außerdem ist es möglich, Mehrfachkontraktionen durchzuführen, also mehrere Paare<br />
von Eingängen miteinander zu verbinden. Die Vielzahl der Möglichkeiten hat in der Literatur zu<br />
einer Vielzahl von Notationen geführt:<br />
C k<br />
ℓ<br />
C k1...km<br />
ℓ1...ℓm<br />
Diese Schreibweise verallgemeinert die obige Definition C = C 1 1 , <strong>und</strong> zwar<br />
wird die k.-te kontravariante Tensorkomponente mit der ℓ-ten kovarianten<br />
Tensorkomponente kontrahiert, in einer Darstellung wird also über den k-ten<br />
oberen Index nd den ℓ-ten unteren Index summiert.<br />
analoge Notation <strong>für</strong> Mehrfachkontraktionen.<br />
〈β,A〉 Vollständige Kontraktion einer p-Form mit einem p-Vektor zu einer Zahl<br />
in einer Dirac-artigen Notation. Darf nicht mit einem Skalarprodukt verwechselt<br />
werden. Wir werden deshalb diese Notation nicht verwenden<br />
Achtung: Für antisymmetrische Tensoren wird später noch eine weitere Notation ιAβ eingeführt<br />
(siehe Abschnitt 2.1.9 auf S. 38), die den griechischen Buchstaben Iota benutzt. Sie unterscheidet<br />
sich von den hier aufgeführten Notationen durch zusätzliche kombinatorische Faktoren.<br />
Bemerkung: Die Dirac-Klammer 〈φ|ψ〉 in der Quantentheorie ist kein Skalarprodukt, sondern eine<br />
Kontraktion. Dass sich die Dirac-Klammer dennoch effektiv wie ein Skalarprodukt verhält, ist eine<br />
Konsequenz des musikalischen Isomorphismus, den wir weiter unten besprechen werden.<br />
1.5.10 Darstellung einer Kontraktion<br />
Für einen Tensor vom Rang (1,1) wird die Kontraktion in einer gegebenen Darstellung durch<br />
C (T) = T(e i ,ei) = T i i<br />
(1.65)<br />
dargestellt, d.h. eine Kontraktion ist nichts anderes als die Spurbildung über ein Paar entgegengesetzt<br />
positionierter Indices. Bei Tensoren höherer Stufe kann im Prinzip jede kontravariante<br />
mit jeder kovarianten Tensorkomponente kontrahiert werden <strong>und</strong> man kann mehrfache Kontraktionen<br />
auf einmal durchführen (also mehrere Paare kurzschließen).<br />
Beispiele:<br />
• Die Kontraktion C 2 2 T eines Tensors vom Rang (2,2) in Komponenten durch T ik jk dargestellt.<br />
• Die Kontraktion 〈α,X〉 eines Vektors X mit einer 2-Form α wird durch X i αi j dargestellt.<br />
• Die vollständige Kontraktion 〈ω,T〉 = C 12<br />
12 (T⊗ω) eines kontravarianten Tensors T vom Rang<br />
(2,0) mit einer 4-Form ω wird durch T i jωi jkℓ dargestellt.<br />
• Seien A <strong>und</strong> B Tensoren vom Rang (1,1). Dann sieht C 2 1 (A ⊗ B) = Ai j<br />
jB k formal wie eine<br />
Matrixmultiplikation aus. In der Tat ist eine Matrixmultiplikation nicht anderes als eine Kontraktion<br />
des letzen Index des ersten mit dem ersten Index des zweiten Tensors.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
24 Mathematische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
1.5.11 Tensoralgebra<br />
Wie bereits erwähnt sind die Tensoren der Stufe (q, p) Elemente eines Vektorraums � (q,p) V . Mit<br />
dem Tensorprodukt <strong>und</strong> der Kontraktion werden diese Vektorräume untereinander verknüpft. Es<br />
ist deshalb üblich, alle Vektorräume durch Summenbildung zu einem gemeinsamen Vektorraum<br />
� ��<br />
(q,p)V<br />
V := (1.66)<br />
q,p<br />
zusammenzufassen. Dieser Gesamtvektorraum aller Tensoren zusammen mit den Rechenregeln<br />
des Tensorprodukts <strong>und</strong> der Kontraktion wird als Tensoralgebra bezeichnet. Eine wichtige Eigenschaft<br />
dieser Algebra besteht darin, dass sie nicht schließt, d.h. man kann Tensoren beliebig<br />
hoher Stufe (also in einer Darstellung mit beliebig vielen Indices) erzeugen.<br />
Bemerkung: Man sollte sich hier noch einmal vergegenwärtigen, dass das Tensorprodukt ⊗, mit<br />
dem man ohne weiteres völlig verschiedene Vektorräume verknüpfen könnte (vgl. Abschnitt 1.4.3 auf<br />
S. 13), innerhalb der Tensoralgebra nur auf Tensoren angewandt wird, die Tensorpotenzen über V <strong>und</strong><br />
V ∗ sind, denn nur dann ist eine Kontraktion möglich.<br />
1.6 Metrik<br />
1.6.1 Metrischer Tensor<br />
Eine wichtige mathematische Struktur ist das Skalarprodukt, auch inneres Produkt genannt. Ein<br />
Skalarprodukt ist eine Abbildung g : V ×V → K, die im gewöhnlichen R n bekanntlich durch<br />
g(u,v) = u · v = uvcos � ∢(u,v) �<br />
(1.67)<br />
gegeben ist. Das Skalarprodukt hat also etwas mit Längen <strong>und</strong> Winkeln zu tun. In der Tat werden<br />
diese Begriffe erst mit der Definition eines Skalarprodukts ins Leben gerufen.<br />
Ein Skalarprodukt besitzt folgende Definitionseigenschaften:<br />
1. Rechtslinearität: g(u,λv + µw) = λg(u,v) + µg(u,w)<br />
2. Symmetrie: g(u,v) = g(v,u) <strong>für</strong> reelle Vektorräume (K = R) bzw.<br />
g(u,v) = g(v,u) ∗ <strong>für</strong> komplexe Vektorräume (K = C).<br />
3. Die Abbildung ist positiv definit, d.h. g(u,u) ≥ 0 <strong>und</strong><br />
g(u,u) = 0 genau dann wenn u = 0.<br />
Aus der Linearität im rechten Argument <strong>und</strong> der Symmetrie ergibt sich die Linearität (bzw. Antilinearität<br />
im komplexen Fall) im linken Argument. In reellen Vektorräumen, auf die wir uns in<br />
der <strong>Relativitätstheorie</strong> beschränken werden, ist das Skalarprodukt also eine bilineare Abbildung,<br />
die zwei Vektoren auf eine reelle Zahl abbildet. g ist demzufolge ein kovarianter symmetrischer<br />
metrischer Tensor vom Rang (0,2), der als metrischer Tensor bezeichnet wird. Die sogenannte<br />
euklidische Metrik, die dem gewöhnlichen kartesischen Skalarprodukt im Rn entspricht, ist<br />
durch eine Einheitsmatrix gegeben:<br />
g(ei,ej) = δi j<br />
(1.68)<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
1.6 Metrik 25<br />
Ein (positiv definites) Skalarprodukt induziert eine Norm<br />
<strong>und</strong> vermittels dieser Norm eine Metrik<br />
||v|| := � g(v,v) (1.69)<br />
d(u,v) := ||u − v|| (1.70)<br />
Begriffe wie Länge <strong>und</strong> Abstand werden also erst an dieser Stelle mit der Definition eines Skalarprodukts<br />
eingeführt.<br />
Zur Erinnerung:<br />
Eine Norm || · || auf einem reellen oder komplexen Vektorraum V ist eine Abbildung V → R mit<br />
folgenden Eigenschaften: Für alle u,v ∈ V <strong>und</strong> λ ∈ K gilt<br />
- ||u|| ≥ 0; ||u|| = 0 ⇒ u = 0<br />
- ||λu|| = |λ| ||u||<br />
- ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||<br />
Eine Metrik d ist eine Abbildung V ×V → R + mit folgenden Eigenschaften:<br />
- d(u,u) = 0; d(u,v) = 0 ⇒ u = v<br />
- d(u,v) = d(v,u)<br />
- d(u,w) ≤ d(u,v) + d(v,w)<br />
Wie wir sehen werden, ist in der <strong>Relativitätstheorie</strong> das innere Produkt g bzw. η nicht mehr<br />
positiv definit, sondern man unterscheidet raumartige Vektoren mit g(u,u) > 0 <strong>und</strong> zeitartige<br />
Vektoren mit g(u,u) < 0 sowie den Lichtkegel g(u,u) = 0. Genau genommen handelt es sich<br />
also nicht mehr um eine Metrik im mathematischen Sinne, da das dritte Postulat aufgegeben<br />
wird, sondern um eine Pseudometrik. Trotzdem ist es üblich, auch weiterhin von einem Skalarprodukt<br />
bzw. einer Metrik zu sprechen.<br />
1.6.2 Darstellung des metrischen Tensors<br />
Der metrische Tensor g ist wie jede bilineare Abbildung in einer gegebenen Basis {ei} vollständig<br />
dadurch festgelegt, wie er auf die Basisvektoren wirkt, d.h. er wird durch eine symmetrische<br />
Matrix<br />
gi j = g ji = g(ei,ej) (1.71)<br />
dargestellt. Eine Basis {ei} heißt orthogonal bezüglich einer Metrik g, wenn die Basisvektoren<br />
paarweise ‘senkrecht’ aufeinander stehen, d.h.<br />
ei · e j = gi j = 0 ∀i �= j , (1.72)<br />
wenn also der metrische Tensor in dieser Basis diagonal ist. Eine Basis heißt orthonormal, wenn<br />
darüber hinaus<br />
|ei · ei| = |gii| = 1 (1.73)<br />
ist, also alle Diagonalelemente gii = ±1 sind. Es ist üblich, die Basisvektoren durch Permutation<br />
so zu sortieren, dass erst die negativen <strong>und</strong> dann die positiven Diagonalelemente kommen, also<br />
gi j = diag(−1,...,−1,+1,...,+1). (1.74)<br />
Diese Anordnung der Vorzeichen wird als Signatur einer Metrik bezeichnet. Man bezeichnet<br />
insbesondere Metriken mit der Signatur<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
26 Mathematische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
(1,1,1,...) als Riemannsche Metrik <strong>und</strong><br />
(−1,1,1,...) als Lorentzsche Metrik.<br />
Der dreidimensionale Ortsraum besitzt eine Riemannsche Metrik, die Raumzeit der <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
dagegen eine Lorentzsche Metrik.<br />
1.6.3 Musikalischer Isomorphismus V ↔ V ∗<br />
♭-Abbildung:<br />
Wenn man einen Vektor u als linkes Argument von g fest vorgibt, kann g(u,·) als eine lineare<br />
Abbildung des rechten Arguments auf eine Zahl interpretiert werden, also als Linearform <strong>und</strong><br />
damit als Element des Dualraums V ∗ . Die Metrik induziert damit eine Abbildung<br />
♭ : V → V ∗ : u ↦→ u ♭ , (1.75)<br />
die jedem Vektor u ∈ V eine dazugehörige 1-Form u ♭ ∈ V ∗ mit der Eigenschaft<br />
auf eindeutige Weise zuordnet.<br />
u ♭ (v) = g(u,v) ∀v ∈ V (1.76)<br />
Man beachte, dass diese Abbildung einen Basisvektor ei nicht notwendigerweise auf die dazugehörige<br />
duale 1-Form ei abbildet, d.h. im Allgemeinen ist e♭ i �= ei . Man kann das daran sehen,<br />
dass die duale Basis durch ei (e j) = δ i j definiert ist (siehe Abschnitt 1.42 auf S. 17), während<br />
e♭ i (e j) = g(ei,ej) ist.<br />
Bemerkung: In der Schulmathematik wird diese Abbildung als Transposition eingeführt, indem einem<br />
Spaltenvektor der entsprechende Zeilenvektor zugeordnet wird. In der Quantenmechanik wird<br />
ein ket-Vektor in den entsprechenden bra-Vektor umgewandelt.<br />
Induzierte Metrik auf V ∗ :<br />
Die Abbildung ♭ induziert ein zu g duales Skalarprodukt g ∗ im Dualraum V ∗ , das zwei 1-Formen<br />
auf eine Zahl abbbildet. Es ist definiert als bilineare Abbildung V ∗ ⊗V ∗ ↦→ K mit der Eigenschaft<br />
g ∗ (u ♭ ,v ♭ ) := g(u,v), (1.77)<br />
wobei u ♭ ,v ♭ die den Vektoren u,v zugeordneten 1-Formen sind. Man kann leicht überprüfen,<br />
dass g ∗ tatsächlich die Axiome eines Skalarprodukts auf V ∗ erfüllt.<br />
♯-Abbildung:<br />
Ähnlich wie g eine Abbildung ♭ : V → V ∗ bereitstellt, induziert g ∗ eine entgegengesetzte Abbildung<br />
♯ : V ∗ → V : α ↦→ α ♯ , (1.78)<br />
indem sie jeder 1-Form α ∈ V ∗ einen Vektor α ♯ ∈ V mit der Eigenschaft<br />
β(α ♯ ) = g ∗ (α,β) ∀β ∈ V ∗<br />
(1.79)<br />
zuordnet. Man kann zeigen, dass u ♭♯ = u <strong>und</strong> α ♯♭ = α ist, dass also beide Abbildungen zueinander<br />
invers sind.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
1.6 Metrik 27<br />
Beweis: v ♭ (u ♭♯ ) = g ∗ (u ♭ ,v ♭ ) = g(v,u) == g(u,v) = v ♭ (u) ∀v β ∈ V ∗ ⇔ u ♭♯ = u.<br />
Die Metrik stellt also einen Isomorphismus<br />
V ♭<br />
⇄ ♯<br />
V ∗<br />
(1.80)<br />
zur Verfügung, der als kanonischer Isomorphismus oder wegen der eigenwilligen Notation auch<br />
als musikalischer Isomorphismus bezeichnet wird. Dieser Isomorphismus ist die Gr<strong>und</strong>lage <strong>für</strong><br />
das in der <strong>Relativitätstheorie</strong> übliche “Heben <strong>und</strong> Senken von Indices”, das wir im folgenden<br />
Abschnitt besprechen werden.<br />
1.6.4 Darstellung von ♭ <strong>und</strong> ♯: Heben <strong>und</strong> Senken von Indices<br />
Wir wollen nun untersuchen, wie die einem Vektor u = u j e j zugeordnete 1-Form u ♭ = uke k in<br />
Komponenten aussieht. Dazu lassen wir u ♭ gemäß Gl. (1.76) auf einen beliebigen Vektor v = v i ei<br />
wirken:<br />
u ♭ (v) = uke k (v i ei) = ukv i e k (ei) = ukv i δ k<br />
i = uiv i<br />
= g(u j e j,v i ei) = u j v i g(e j,ei) = u j g jiv i = gi ju j v i<br />
Da diese Gleichung <strong>für</strong> alle v ∈ V gilt, folgt daraus durch Koeffizientenvergleich<br />
♭ : ui = gi ju j<br />
(1.81)<br />
(1.82)<br />
d.h. gi j ist die Transformationsmatrix von kontravarianten zu kovarianten Komponenten, womit<br />
der Index abgesenkt wird.<br />
Die induzierte metrische Tensor g ∗ auf dem Dualraum wird durch die symmetrische Matrix<br />
g i j = g ji = g ∗ (e i ,e j ) (1.83)<br />
mit oberen Indices dargestellt. Man kann zeigen, dass beide Tensoren invers zueinander sind,<br />
d.h. es gilt<br />
gi jg jk = δ k<br />
i . (1.84)<br />
Beweis: Um diesen Sachverhalt zu beweisen, untersuchen wir zunächst die den Basisvektoren ei<br />
zugeordneten Linearform e ♭ i . Wie bereits oben erwähnt ist im allgemeinen e♭ i �= ei , doch muss ich e ♭ i<br />
als Linearkombination der Basisvektoren e k ∈ V ∗ darstellen lassen, d.h. e ♭ i = cike k . Wendet man beide<br />
Seiten auf einen Basisvektor e j ∈ V an, kann man zeigen, dass die Koeffizienten durch ci j = e ♭ i (e j) =<br />
g(ei,ej) = gi j gegeben sind. Folglich ist<br />
e ♭ i = gi je j .<br />
Dies führt auf die Gleichungskette gi j = g(ei,ej) = g ∗ (e ♭ i ,e♭ j ) = gikg jmg ∗ (e k ,e m ) = gikg jmg km , also<br />
g jmgkm = δ k j , woraus die Behauptung folgt.<br />
Auf analoge Weise kann man nun ausrechnen, wie der einer 1-Form α = α je j durch die ♯-<br />
Abbildung zugeordnete Vektor α ♯ = α k ek in Komponenten aussieht. Man erhält<br />
♯ : α i = g i j α j . (1.85)<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
28 Mathematische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
Mit dieser Rechenregel wird also ein Index gehoben. Der musikalische Isomorphismus wird<br />
damit als eine sehr einfache formale Rechenregel <strong>für</strong> das Heben <strong>und</strong> Senken von Indices implementiert.<br />
Merke: Regeln <strong>für</strong> das Senken <strong>und</strong> Heben von Indices:<br />
- Vektoren v = v i ei werden durch kontravariante Komponenten mit oberen Indices dargestellt.<br />
- 1-Formen α = αie i werden durch kovariante Komponenten mit unteren Indices dargestellt.<br />
- Indices kann man senken durch vi = gi jv j <strong>und</strong> heben durch v i = g i j v j.<br />
- Bei Tensoren kann jeder Index einzeln gehoben oder gesenkt werden. Man braucht dann<br />
entsprechend viele g-Matrizen. Beispiel: A i jk = gil g jmgknA mn<br />
l .<br />
1.6.5 Anwendung der musikalischen Operatoren auf Tensoren<br />
Auch auf Tensoren höherer Stufe kann der musikalische Isomorphismus angewandt werden.<br />
Dabei ist jedoch anzugeben, welche Tensorkomponente gehoben oder gesenkt werden soll. Auch<br />
kann man durch Hintereinanderausführung mehrere Tensorkomponenten heben oder senken.<br />
Während die Indexdarstellung hier unproblematisch ist, erweist sich die abstrakte Notation mit<br />
♭ <strong>und</strong> ♯ hier als relativ schwerfällig.<br />
Eine Ausnahme sind rein kontravariante <strong>und</strong> rein kovariante Tensoren, also Tensoren mit ausschließlich<br />
oberen oder unteren Indices. Wir wollen die Konvention benutzen, dass die musikalischen<br />
Operatoren in diesem Fall sämtliche Komponten senken bzw. heben:<br />
rein kontravariant: ♭ : T i1...iq → Ti1...iq<br />
rein kovariant: ♯ : Ti1...ip → Ti1...ip (1.86)<br />
1.6.6 Transformationsverhalten der Metrik<br />
Bei einer Basistransformation bleibt der metrische Tensor g auf V (bzw. g ∗ auf V ∗ ) als abstrakte<br />
Bilinearform unverändert, jedoch ändert sich seine Darstellung gemäß<br />
bzw.<br />
gi j → g ′ i j = gkℓ ˜M k i ˜M ℓ j<br />
(1.87)<br />
g i j → g ′i j = M i k M j<br />
ℓ gkℓ . (1.88)<br />
Wenn man mit g <strong>und</strong> g ∗ die Matrizen gi j <strong>und</strong> g i j bezeichnet, lauten diese Transformationsgesetze<br />
in Kurzform<br />
g ′ = ˜M T g ˜M , g ∗′ = Mg ∗ M T . (1.89)<br />
Bemerkung: Man kann leicht überprüfen, dass auch im gestrichenen System g <strong>und</strong> g ∗ invers zueinander<br />
sind, denn<br />
g ′i j<br />
g jn = M i j<br />
k M ℓ ˜M r j<br />
� �� �<br />
=δ r ˜M<br />
ℓ<br />
s ng kℓ grs = M i k ˜M s n g kℓ gℓs<br />
� �� �<br />
=δ k = m<br />
s<br />
i k ˜M k spcn = δ i n<br />
oder in Kurzform g ′ g ∗′ = ˜M T g ˜MMg ∗ M T = �.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
1.6 Metrik 29<br />
Eine besondere Rolle wird später die Determinante des metrischen Tensors g = det(g) spielen.<br />
Diese Determinante ist darstellungsabhängig <strong>und</strong> transformiert sich gemäß<br />
g → g ′ =<br />
g<br />
(detM) 2<br />
Merke: Die Determinante g wird immer aus der Darstellungsmatrix des metrischen Tensors mit un-<br />
teren Indices gebildet.<br />
1.6.7 Nützliche Rechenregeln<br />
(1.90)<br />
In der Allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong> sind die Komponenten des metrischen Tensors die elementaren<br />
Freiheitsgrade des Gravitationsfeldes. Aus diesem Gr<strong>und</strong> wird oft nach diesen Komponenten<br />
partiell differenziert. Die zu differenzierenden Ausdrücke sind als Invarianten oft mit<br />
Faktoren √ −g ‘verziert’, so dass man mit der Produktregel oft vor dem Problem steht, die Determinante<br />
g nach einer der Komponenten g i j oder gi j abzuleiten.<br />
Um diese Aufgabe zu lösen, muss man zunächst verstehen, wie die Determinante einer allgemeinen<br />
Matrix nach einer ihrer Komponenten partiell abgeleitet wird. Sei Ai j eine solche Matrix<br />
<strong>und</strong><br />
detA = εk1,...,knAk11 knn<br />
···A (1.91)<br />
die dazugehörige Determinante. Wenn man nun nach der Komponente A i j ableitet, erhält man<br />
wobei A −1 die zu A inverse Matrix ist, d.h. A i j A −1<br />
jk = δ i k .<br />
∂<br />
detA = (detA)A−1<br />
∂Ai j ji , (1.92)<br />
Beweis: Wenn man Gl. (1.91) partiell nach A i j differenziert, bleiben von den Produkten auf der rechten<br />
Seite dieser Gleichung nur diejenigen übrig, die diese Komponente enthalten; sie wird dann durch<br />
das Differenzieren aus dem Produkt entfernt. Das Resultat lässt sich schreiben als<br />
∂<br />
∂A i j detA = εk1,...,k j−1,i,k j+1,...,kn Ak11 ···A k j−1 j−1 A i j<br />
////// A k j+1 j+1 ···A knn .<br />
Diese Gleichung wird nun auf beiden Seiten mit Air multipliziert, wobei über i summiert wird. Durch<br />
diesen Trick erhält man auf der rechten Seite wieder die Determinante zurück:<br />
� �<br />
∂<br />
detA A<br />
∂Ai j ir = εk1,...,k j−1,i,k j+1,...,kn Ak11 k j−1 j−1 ir k j+1 j+1 knn<br />
···A A A ···A<br />
= (detA)δ r j .<br />
Dieser Ausdruck wird nun wiederum auf beiden Seiten mit A −1<br />
rs multipliziert, wobei über r summiert<br />
wird: �<br />
∂<br />
detA<br />
∂Ai j<br />
also<br />
�<br />
δ i s = (detA)A −1<br />
js ,<br />
∂<br />
detA = (detA)A−1<br />
∂Ai j ji .<br />
Analog gilt <strong>für</strong> eine Matrix Bi j mit unteren Indices <strong>und</strong> der aus ihren Komponenten gebildeten<br />
Determinante detB die Formel<br />
∂<br />
detB = (detB)[B<br />
∂Bi j<br />
−1 ] ji . (1.93)<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
30 Mathematische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
Wir wenden dieses Resultat nun auf den metrischen Tensor an, indem wir Bi j = gi j setzen. Da<br />
gi j invers zu g i j ist <strong>und</strong> diese Matrizen symmetrisch sind, gelangt man zu<br />
∂<br />
g = gg<br />
∂gi j<br />
i j . (1.94)<br />
Nach oberen Komponenten abgeleitet erhält man auf analoge Weise ∂<br />
∂gi j g−1 = g−1 gi j. Anderer-<br />
∂ seits ist ∂gi j g−1 = −g−2 ∂<br />
∂gi j g. Man erhält also<br />
∂<br />
∂g i j g = −ggi j . (1.95)<br />
Bemerkung: Man beachte, dass man von Gl. (1.94) zu Gl. (1.95) nicht einfach durch das Senken der<br />
Indices gelangen kann, sondern dass es dabei zu einem zusätzlichen Minuszeichen kommt. Es handelt<br />
sich nämlich hier nicht um eine Tensorgleichung, da g kein Skalar, sondern darstellungsabhängig ist.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
2 Differentialformen<br />
∧ ι ⋆ d d †<br />
Diese Symbole erwarten Sie in diesem Kapitel. Das äußere Produkt ∧, das innere Produkt ι,<br />
der Hodge-Stern-Operator ⋆ <strong>und</strong> die äußere Ableitung d sind die gr<strong>und</strong>legenden Verknüpfungen<br />
in der Theorie der Differentialformen. Sie alle operieren auf antisymmetrisierten Tensoren <strong>und</strong><br />
bilden die sogenannte äußere Algebra.<br />
2.1 Äußere Algebra<br />
2.1.1 Äußeres Produkt (Keilprodukt)<br />
Das Tensorprodukt ist nicht kommutativ, denn <strong>für</strong> zwei verschiedene Vektoren v,w ∈ V ist<br />
v ⊗ w �= w ⊗ v. Oft sind aber bestimmte Symmetrieeigenschaften unter Vertauschung erforderlich.<br />
In diesem Fall kann man das Tensorprodukt symmetriesieren bzw. antisymmetrisieren, ähnlich<br />
wie man z.B. Mehrteilchenwellenfunktionen in der Quantenmechanik symmetrisiert oder<br />
antisymmetrisiert. Das setzt allerdings voraus, dass alle Tensorkomponenten die gleiche Gestalt<br />
haben, also Elemente des gleichen Vektorraums sind. Insbesondere ist es auch unmöglich, Vektoren<br />
<strong>und</strong> Linearformen zu mischen. Symmetrisierte bzw. antisymmetrisierte Tensorprodukte<br />
können deshalb entweder rein kontravariant (nur aus Vektoren gebildet, nur obere Indices) oder<br />
rein kovariant sein (nur aus Linearformen gebildet, nur untere Indices).<br />
In der <strong>Relativitätstheorie</strong> spielen antisymmetrische Tensoren eine wesentliche Rolle, denn sie<br />
verallgemeinern das antisymmetrische Kreuzprodukt des R 3 . Um solche Tensoren zu konstruieren,<br />
definiert man ein antisymmetrisiertes Tensorprodukt, das sogenannte äußere Produkt, wegen<br />
des verwendeten Symbols ’∧’ auch Keilprodukt (engl. wedge product) oder auch Dachprodukt<br />
genannt. Für zwei Vektoren v1,v2 ∈ V ist es definiert durch<br />
v1 ∧ v2 := v1 ⊗ v2 − v2 ⊗ v1. (2.1)<br />
Analog ist das Keilprodukt aus n Vektoren v1,...,vn ∈ V definiert als<br />
wobei der Antisymmetrisierungsoperator<br />
v1 ∧ v2 ∧ ... ∧ vn := A � �<br />
v1 ⊗ v2 ⊗ ... ⊗ vn , (2.2)<br />
A � �<br />
v1 ⊗ v2 ⊗ ... ⊗ vn := ∑ sgn(σ)<br />
σ∈Pn<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
n�<br />
k=1<br />
vσk , (2.3)
32 Differentialformen<br />
sämtliche Tensorkomponenten antisymmetrisiert, indem die Summe über alle möglichen Permutationen<br />
läuft <strong>und</strong> sgn(σ) das Signum der jeweiligen Permutation ist. Für n = 3 erhält man<br />
beispielsweise einen antisymmetrischen Tensor dritter Stufe bestehend aus 3! = 6 Summanden:<br />
v1 ∧ v2 ∧ v3 = v1 ⊗ v2 ⊗ v3 + v2 ⊗ v3 ⊗ v1 + v3 ⊗ v1 ⊗ v2 − (2.4)<br />
v2 ⊗ v1 ⊗ v3 − v3 ⊗ v2 ⊗ v1 − v1 ⊗ v3 ⊗ v2 .<br />
Das mehrfache Keilprodukt ist allerdings nur dann sinnvoll, wenn es assoziativ ist, wenn also<br />
(v1 ∧v2)∧v3 = v1 ∧(v2 ∧v3) ≡ v1 ∧v2 ∧v3 ist. Ein Vergleich mit Gl. (2.2) zeigt sofort, dass die<br />
Assoziativität nur dann gewährleistet ist, wenn gilt:<br />
A � � � � � �<br />
v1 ⊗ ... ⊗ vm ∧ A vm+1 ⊗ ... ⊗ vn = A v1 ⊗ ... ⊗ vn . (2.5)<br />
Das Keilprodukt antisymmetrisiert also nicht nur das linke <strong>und</strong> rechte Argument en bloc, sondern<br />
antisymmetrisiert bezüglich aller Tensorkomponenten, aus denen die beiden Argumente gebildet<br />
sind.<br />
Bemerkung: Ein häufiger Anfängerfehler besteht in dem Missverständnis, dass Gl. (2.1) auch <strong>für</strong><br />
beliebige Tensoren höherer Stufe gelte, dass also A ∧ B = A ⊗ B − B ⊗ A wäre, womit die beiden<br />
Argumente lediglich en bloc antisymmetrisiert würden. Das ist jedoch nicht zutreffend. So wäre z.B.<br />
(v1 ∧v2)∧v3 = (v1 ⊗v2 −v2 ⊗v1)∧v3 = v1 ⊗v2 ⊗v3 −v2 ⊗v1 ⊗v3 −v3 ⊗v1 ⊗v2 +v3 ⊗v2 ⊗v1,<br />
d.h. man erhielte im Vergleich zu Gl. (2.4) nur vier der sechs Terme <strong>und</strong> der resultierende Tensor wäre<br />
nicht antisymmetrisch. Das Keilprodukt ist vielmehr so durchzuführen, dass alle Tensorkomponenten<br />
auf beiden Seiten antisymmetrisiert werden.<br />
2.1.2 q-Multivektoren<br />
Die so gebildeten antisymmetrischen Tensoren heißen faktorisierbar (engl. decompsable) oder<br />
separabel . Linearkombinationen solcher Tensoren sind zwar wiederum antisymmetrisch, jedoch<br />
nicht notwendigerweise faktorisierbar. Jeder antisymmetrische Tensor lässt sich jedoch,<br />
wie bereits mehrfach erwähnt, als endliche Linearkombination faktorisierbarer antisymmetrischer<br />
Tensoren schreiben (vgl. Abschnitt 1.5.7 auf S. 21). Einen solchen antisymmetrischen<br />
Tensor vom Rang (q,0) bezeichnet man als q-Multivektor. Wegen der Bilinearität von ∧ ist das<br />
Keilprodukt auf beliebigen Multivektoren A,B,C definiert, d.h. es ist assoziativ<br />
<strong>und</strong> bilinear, d.h. <strong>für</strong> λ,µ ∈ K gilt<br />
A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C (2.6)<br />
(λA + µB) ∧ C = λ(A ∧ C) + µ(B ∧ C) (2.7)<br />
A ∧ (λB + µC) = λ(A ∧ B) + µ(A ∧ C). (2.8)<br />
Wie man leicht überprüfen kann, gilt <strong>für</strong> Multivektoren A <strong>und</strong> B vom Rang qA <strong>und</strong> qB das<br />
Vertauschungsgesetz<br />
A ∧ B = (−1) qAqB B ∧ A. (2.9)<br />
Beweisskizze: Wir stellen uns A <strong>und</strong> B zunächst als faktorisierbare Tensoren vor. Um von A ∧ B<br />
zu B ∧ A zu kommen, muss jede Tensorkomponente von B durch jede Tensorkomponente von A<br />
durchkommutiert werden, was jedes mal ein Minuszeichen mit sich bringt. Insgesamt gibt es qAqB<br />
solcher Vertauschungsprozesse, womit insgesamt ein Vorfaktor (−1) qAqB entsteht.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
2.1 Äußere Algebra 33<br />
2.1.3 p-Formen<br />
Im Gegensatz zum gewöhnlichen Tensorprodukt, mit dem völlig unterschiedliche Vektorräume<br />
verknüpft werden können, kann das Keilprodukt nur äußere Potenzen eines gemeinsamen Basisvektorraum<br />
V miteinander verknüpfen. Daraus folgt, dass die mit diesem Produkt gebildeten<br />
Tensoren entweder vollständig kontravariant oder vollständig kovariant sein müssen. Kovariante<br />
antisymmetrische Tensoren vom Rang p werden als p-Formen bezeichnet <strong>und</strong> werden in der<br />
<strong>Relativitätstheorie</strong> eine zentrale Rolle spielen.<br />
Das Keilprodukt ist auf p-Formen in analoger Weise definiert <strong>und</strong> sei hier noch einmal in<br />
Kurzform zusammengefasst:<br />
Antisymmetrie: α ∧ β = α ⊗ β − β ⊗ α<br />
Assoziativität: (α ∧ β) ∧ γ = α ∧ (β ∧ γ)<br />
Vollständige Antisymmetrisierung: α1 ∧ ... ∧ αn = A [α1 ⊗ ... ⊗ αn]<br />
Linkslinearität: (λα + µβ) ∧ γ = λα ∧ γ + µβ ∧ γ<br />
Rechtslinearität: α ∧ (λβ + µγ) = λα ∧ β + µα ∧ γ<br />
Vertauschung: α ∧ β = (−1) pα p β β ∧ α<br />
Obwohl das Keilprodukt auf ∧V <strong>und</strong> ∧V ∗ in völlig symmetrischer Weise wirkt, ist in der Differentialgeometrie<br />
üblich, das Keilprodukt vorzugsweise auf p-Formen wirken zu lassen.<br />
2.1.4 Äußere Algebra<br />
Die Menge der faktorisierbaren p-Formen unter Hinzunahme aller Linearkombinationen bildet<br />
einen Vektorraum, der als äußere Potenz von V ∗ bezeichnet wird <strong>und</strong> <strong>für</strong> den die Notation<br />
�p(V ∗ �<br />
) verwendet wird. Dabei ist<br />
0(V ∗ �<br />
) = K = R <strong>und</strong><br />
1(V ∗ ) = V ∗ . Das Keilprodukt bildet<br />
also �n (V ∗ �<br />
) <strong>und</strong><br />
m(V ∗ �<br />
) nach<br />
n+m(V ∗ ) ab <strong>und</strong> setzt die Vektorräume damit untereinander in<br />
Beziehung. Analog zur Tensoralgebra (1.66) bildet Gesamtheit all dieser Vektorräume, also der<br />
Summenraum<br />
� ��<br />
∗ pV ∗<br />
V :=<br />
p<br />
(2.10)<br />
ausgestattet mit dem Keilprodukt die sogenannte äußere Algebra � V ∗ (auch Graßmann-Algebra<br />
genannt), d.h. einen in sich konsistenten Satz von Rechenregeln <strong>für</strong> antisymmetrische kovariante<br />
Tensoren.<br />
Die Antisymmetrie wirkt sich stark einschränkend auf die Dimension dieser Vektorräume aus.<br />
Dazu nehmen wir an, dass der zugr<strong>und</strong>e liegende Vektorraum V ∗ endlichdimensional ist <strong>und</strong><br />
eine Basis {e 1 ,...,e n } besitzt. Wegen der Bilinearität lässt sich nämlich jeder antisymmetrische<br />
Tensor vom Rang q als Linearkombination von Basistensoren<br />
e i1 ∧ ... ∧ e iq<br />
darstellen, wobei i1,...,iq ∈ {1,2,...,n} ist. Diese sind aber nur dann ungleich Null, wenn die<br />
Indices paarweise verschieden sind; darüber hinaus gibt die Vertauschung von Indices ein Minuszeichen,<br />
so dass man eine geordnete Indexmenge1 ≤ i1 < i2 < ... < iq ≤ n voraussetzen<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
34 Differentialformen<br />
kann. Folglich ist p ≤ n <strong>und</strong> der Raum der p-Formen besitzt die Dimension<br />
dim ��p � ∗ n!<br />
(V ) =<br />
p!(n − p)! =<br />
� �<br />
n<br />
. (2.11)<br />
p<br />
Beispiel: Auf dem R 3 gibt es drei linear unabhängige Basis-1-Formen e 1 ,e 2 ,e 3 , drei daraus gebildete<br />
2-Formen e 1 ∧e 2 , e 1 ∧e 3 , e 2 ∧e 3 , sowie eine 3-Form e 1 ∧e 2 ∧e 3 , die proportional zur Volumenform<br />
ist (siehe unten).<br />
Im Gegensatz zur gewöhnlichen Tensoralgebra ⊗, die es erlaubt, Tensoren beliebig hohen Ranges<br />
(also mit beliebig vielen Indices) zu erzeugen, schließt die äußere Algebra, d.h. es gibt nur<br />
endlich viele (nämlich 2 n ) linear unabhängige antisymmetrische Tensoren, deren Rang kleiner<br />
oder gleich der Dimension des zugr<strong>und</strong>e liegenden Vektorraums ist.<br />
2.1.5 Darstellung von p-Formen<br />
Im Abschnitt 1.5.5 auf S. 20 haben wir gesehen, dass sich in einer gegebenen Basis ein Tensor<br />
T vom Rang (q, p) mit den Komponenten T j1... jq<br />
i1...ip = T(e j1,...,e jq ; ei1 ,...,eip ) durch<br />
T = T j1... jq<br />
i1...ip e j1 ⊗ ... ⊗ e jq ⊗ ei1 ⊗ ... ⊗ eip darstellen lässt. Auf damit kompatible Weise lässt<br />
sich eine p-Form α, also ein kovarianter antisymmetrischer Tensor p-ter Stufe, mit den Komponenten<br />
= α(ei1 ,...,eip ) (2.12)<br />
darstellen als<br />
αi1...ip<br />
α = 1<br />
p! αi1...ip ei1 ∧ ... ∧ e ip . (2.13)<br />
Der einzige formale Unterschied besteht in dem Vorfaktor 1<br />
p! , mit dem die durch die Antisymmetrisierung<br />
hervorgerufene Doppelzählung kompensiert wird.<br />
Beispiele:<br />
• α ∧ β:<br />
Für zwei 1-Formen α = αie i <strong>und</strong> β = βie i ist α ∧ β = αiβ je i ∧ e j . Das konkrete Ergebnis ist<br />
stark von der Dimension des Basisvektorraums abhängig. In einer Dimension ist α ∧ β = 0,<br />
in zwei Dimensionen ist α ∧ β = (α1β2 − α2β1)(e 1 ∧ e 2 ), während in drei Dimensionen drei<br />
Terme mit einer kreuzproduktähnlichen Struktur entstehen:<br />
α ∧ β = (α1β2 − α2β1)(e 1 ∧ e 2 ) + (α1β3 − α3β1)(e 1 ∧ e 3 ) + (α2β3 − α3β2)(e 2 ∧ e 3 )<br />
• α ∧ β ∧ γ:<br />
Das dreifache Keilprodukt verschwindet in einer <strong>und</strong> zwei Dimensionen. In drei Dimensionen<br />
erhält man α ∧ β ∧ γ = αiβ jγk e i ∧ e j ∧ e k = αiβ jγk ε i jk e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 , also<br />
α ∧ β ∧ γ = (α1β2γ3 − α1β3γ2 + α3β1γ2 − α3β2γ1 + α2β3γ1 − α3β2γ1) e 1 ∧ e 2 ∧ e 3<br />
• (α ∧ β)(u ∧ v):<br />
Wendet man die (antisymmetrische) 2-Form α ∧β auf den (antisymmetrischen) 2-Vektor u∧v<br />
an, so erhält man<br />
(α ∧ β)(u ∧ v) = αiβ ju k v l (e i ∧ e j )(ek ∧ el)<br />
= αiβ ju k v l (e i ⊗ e j − e j ⊗ e i )(ek ⊗ el − el ⊗ ek)<br />
= αiβ ju k v l i j i j ji ji<br />
(δkl − δlk − δkl + δlk ) = (αiβ j − βiα j)(u i v j − v i u j )<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
2.1 Äußere Algebra 35<br />
Abbildung 2.1: Anschauliche Deutung der Wirkungsweise einer 1-Form (links) <strong>und</strong> einer 2-Form (Mitte) <strong>und</strong> der<br />
Volumenform (rechts), siehe Text.<br />
• Nicht-separable 2-Form:<br />
Die 2-Form γ := e 1 ∧ e 2 + e 3 ∧ e 4 ist nicht faktorisierbar, d.h. sie kann nicht in der Form γ =<br />
α ∧ β geschrieben werden. Wenn das nämlich so wäre, müsste α ∧ γ = α ∧ α ∧ β = 0 sein <strong>für</strong><br />
alle 1-Formen α �= 0. Durch Ausrechnen erhält man aber<br />
α ∧ γ = α1 e 1 ∧ e 3 ∧ e 4 + α2 e 2 ∧ e 3 ∧ e 4 + α3 e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 + α4 e 1 ∧ e 2 ∧ e 4<br />
was nur verschwindet, wenn α = 0 ist.<br />
2.1.6 Interpretation von p-Formen<br />
p-Formen im R n können als orientierte n − p-dimensionale Hyperflächen interpretiert werden.<br />
Die p Vektoren, die als Argumente in die p-Form gesteckt werden, spannen einen p-dimensionalen<br />
Parallelepiped auf, der die Hyperflächen durchdringt bzw. umschließt. Die “Anzahl” der<br />
durchdrungenen bzw. umschlossenen Hyperflächen ist die Zahl, die von der p-Form ausgegeben<br />
wird. Im R 3 sieht das konkret so aus (siehe Abb. 2.1):<br />
• Eine 0-Form ist ein Skalar.<br />
• Eine 1-Form im R 3 ist vorstellbar als eine raumausfüllende Staffelung paralleler Ebenen.<br />
Ein Vektor, auf den die 1-Form angewandt wird (grüner Pfeil), durchdringt eine bestimmte<br />
Anzahl dieser Ebenen. Diese Anzahl ist der Ergebniswert, den die 1-Form zurückgibt.<br />
• Eine 2-Form im R 3 ist vorstellbar als eine raumausfüllende Staffelung paralleler Stangen.<br />
Die zwei Vektoren, auf die die 2-Form angewandt wird, bilden ein Flächenelement (grünes<br />
Parallelogramm), das von bestimmten Schläuchen durchdrungen wird. Deren Anzahl ist<br />
der Ergebniswert.<br />
• Die 3-Form im R 3 ist die sogenannte Volumenform, die wir im folgenden Abschnitt genauer<br />
besprechen werden. Sie ist vorstellbar als eine regelmäßige Anordnung kleiner Zellen<br />
oder Kugeln. Die drei Vektoren, die als Argumente dienen, spannen ein Spatvolumen<br />
auf, das eine bestimmte Anzahl dieser Kugeln umschließt. Diese Anzahl ist der Ergebniswert<br />
der 3-Form.<br />
Bei einer faktorisierbaren 2-Form γ = α ∧ β kann man sich zunächst vorstellen, wie die beiden<br />
1-Formen als Staffelung paralleler Ebenen im Raum liegen. Da beide 1-Formen verschieden<br />
sein müssen (sonst wäre nämlich γ = 0) schneiden sich deren Ebenen <strong>und</strong> bilden damit eckige<br />
Schläuche bzw. Stangen. In der Elektrodynamik sind diese Schläuche nichts anderes als Feldlinien.<br />
2-Formen sind also das geeignete Instrument, um Feldlinien zu beschreiben.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
36 Differentialformen<br />
Eine faktorisierende 3-Form wird gebildeted aus drei 1-Formen, die jeweils als gestaffelte<br />
Ebenen mit unterschiedlicher Orientierung interpetierbar sind. Diese Ebenen unterteilen den<br />
Raum ist eckige Zellen.<br />
Bei dieser Interpretation ist zu beachten, dass die Diskretisierung in Ebenen, Stangen <strong>und</strong> Kugeln<br />
nur zur Anschauung dient <strong>und</strong> in Wirklichkeit kontinuierlicher Natur ist. Wichtig ist auch,<br />
dass man sich alle geometrischen Elemente orientiert vorstellen muss, z.B. haben die Stangen<br />
einen Drehsinn, der festlegt, ob sie beim Durchdringen des Flächenelements positiv oder negativ<br />
gezählt werden. Eine sehr ausführliche Diskussion der geometrischen Interpretation von<br />
p-Formen findet man in dem klassischen Buch von Misner, Thorne <strong>und</strong> Wheeler [7].<br />
2.1.7 Volumenform ω<br />
In einem n-dimensionalen Vektorraum spielt die antisymmetrische kovariante n-Form<br />
Ω := e 1 ∧ e 2 ∧ ... ∧ e n<br />
(2.14)<br />
eine besondere Rolle, denn sie hat einerseits den höchstmöglichen Rang, andererseits gibt es bis<br />
auf Umskalierung nur eine einzige n-Form dieser Art, da ihr Vektorraum � n V ∗ wegen (2.11)<br />
eindimensional ist.<br />
Da sich die obige Definition auf eine bestimmte Basis bezieht, ist Ω darstellungsabhängig<br />
<strong>und</strong> deshalb nicht als abstrakte n-Form einsetzbar. Da es aber bis auf Umskalierung nur eine<br />
einzige n-Form gibt, kann sich Ω unter einer Basistransformation höchstens um einen Faktor<br />
ändern. Um diesen zu berechnen, untersuchen wir zunächst, wie sich Ω unter einem Basiswechsel<br />
transformiert. Dazu definieren wir die antisymmetrischen Levi-Civitá-Symbole mit unteren<br />
Indices<br />
εi1...in =<br />
⎧<br />
⎪⎨ 1 wenn {i1 ...in} eine gerade Permutation von 1...n ist<br />
−1 wenn {i1 ...in} eine ungerade Permutation von 1...n ist (2.15)<br />
⎪⎩<br />
0 andernfalls (wenn mindestens ein Index doppelt auftritt.<br />
Mit Hilfe dieser Symbole kann man bekanntlich die Determinante einer quadratischen Matrix<br />
Ai j schreiben als<br />
det(A) = ∑ εi1...in<br />
i1...in<br />
A1i1 ...An in . (2.16)<br />
Die Levi-Civitá-Symbole mit oberen Indices sind definiert als<br />
wobei<br />
ε i1...in = sεi1...in , (2.17)<br />
s = sgn � det(g) � = ±1 (2.18)<br />
das Vorzeichen der Determinanten von g ist, also das Produkt aller Vorzeichen der Signatur.<br />
Man kann zeigen, dass s eine Invariante unter Basistransformationen, also eine darstellungsunabhängige<br />
Größe ist. Im euklidischen R 3 ist s = 1, in der vierdimensionalen <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
dagegen ist s = −1. Der Gr<strong>und</strong> <strong>für</strong> diese Definition wird in Kürze klar.<br />
Bemerkung: WICHTIG: εi1...in <strong>und</strong> εi1...in sind im allgemeinen keine Tensoren, denn ein Tensor<br />
ändert seine Komponenten unter Basistransformationen <strong>und</strong> kann deshalb keine konstanten Kompo-<br />
nenten besitzen. Deshalb bezeichnet man die εi1...in als Symbole.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
2.1 Äußere Algebra 37<br />
In der gestrichenen Basis des Dualraums e ′ j = M i j e j (siehe Abschnitt 1.46 auf S. 18) ist<br />
Ω ′ = e ′1 ∧ e ′2 ∧ ... ∧ e ′n<br />
= M 1 i1 M2 i2 ···Mn in ei1 ∧ e i2 ∧ ... ∧ e in (2.19)<br />
= M 1 i1 M2 i2 ···Mn in sεi1...in e 1 ∧ e 2 ∧ ... ∧ e n = det(M) Ω (2.20)<br />
d.h. die Determinante von M ist der gesuchte Faktor, um den sich Ω bei Basistransformationen<br />
ändert.<br />
Um die Basisabhängigkeit in der obigen Definition (2.14) zu beseitigen, ist es notwendig,<br />
Ω mit einem reziproken Korrekturfaktor zu multiplizieren, so dass sich det(M) herauskürzt.<br />
Hier bietet sich der metrische Tensor an, dessen Determinante sich auf ganz ähnliche Weise<br />
transformiert (siehe Abschnitt 1.90 auf S. 29), allerdings erscheint die Determinante von M<br />
quadriert im Nenner:<br />
Wir definieren deshalb die n-Form<br />
g → g ′ =<br />
g<br />
. (2.21)<br />
det(M) 2<br />
ω := � |g| e 1 ∧ ... ∧ e n . (2.22)<br />
Diese Definition ist invariant unter Basistransformationen, ist also in allen Basen gültig <strong>und</strong><br />
damit darstellungsabhängig. Die Betragsstriche unter der Wurzel sind notwendig, da g bei nichteuklidischen<br />
Geometrien wie in der <strong>Relativitätstheorie</strong> negativ werden kann. 1<br />
Die Linearform ω = � |g|e 1 ∧ ... ∧ e n bezeichnet man als Volumenform. Wendet man nämlich<br />
ω auf n Vektoren, so erhält man das orientierte (d.h. vorzeichenbehaftete) Volumen des<br />
n-dimensionalen Parallelepipeds, den diese Vektoren aufspannen.<br />
Beweisskizze: Um das plausibel zu machen, betrachten wir einen von<br />
drei Vektoren a,b,c aufgespannten Parallelepiped im R3 (siehe Abbildung).<br />
Wegen der Invarianz von ω spielt die Wahl der Basis keine Rolle,<br />
so dass wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit die orthonormale<br />
Standardbasis benutzen dürfen. In dieser Basis ist<br />
ω(a,b,c) = a i b j c k ω(ei,ej.ek) = a i b j c k � �<br />
�<br />
�a1<br />
b1 c1�<br />
�<br />
εi jk = �<br />
�a2<br />
b2 c2<br />
�<br />
�<br />
�a3<br />
b3 c3<br />
�<br />
das aus den drei Vektoren gebildete Spatprodukt, das bekanntlich gleich<br />
dem orientierten Volumen des Parallelepipeds ist. Das Vorzeichen ergibt<br />
sich dabei nach der ‘rechte-Hand-Regel’.<br />
Manchmal benötigt man auch den zu ω dualen kontravarianten Tensor ω ♯ , also den total antisymmetrischen<br />
n-Multivektor, den man durch Heben aller Tensorkomponenten erhält. Ein analoges<br />
Vorgehen wie oben führt hier zu<br />
ω ♯ = s<br />
� |g| e1 ∧ ... ∧ en , (2.23)<br />
wobei s wie oben das Vorzeichen der Determinante der Metrik ist.<br />
1 Die Volumenform ω wird in der Literatur auch häufig mit ε bezeichnet, was aber in Konflikt mit den Levi-Civitá-<br />
Symbolen geraten kann. Eine andere Notation ist, wie wir sehen werden, ⋆1, siehe Kap. 2.2.5.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
38 Differentialformen<br />
2.1.8 Darstellung der Volumenform<br />
Die Volumenform kann man schreiben als ω =<br />
ω die Komponenten<br />
√ |g|<br />
n! εi1...in ei1 ∧ ... ∧ e in , also besitzt der Tensor<br />
ωi1...in = � |g|εi1...in . (2.24)<br />
Der entsprechende duale Tensor kann geschrieben werden als ω♯ = 1 √ ε<br />
|g|n! i1...in ei1 ∧ ... ∧ ein ,<br />
wobei εi1...in = sεi1...in ist. Folglich ist<br />
2.1.9 Kontraktion ι<br />
ω i1...in = 1<br />
�|g| ε i1...in . (2.25)<br />
Die Kontraktion antisymmetrischer Tensoren wird im Prinzip in gleicher Weise wie <strong>für</strong> allgemeine<br />
Tensoren durchgeführt. Allerdings ergeben sich bei antisymmtrischen Tensoren zwei<br />
Besonderheiten:<br />
- Es gibt keine gemischten antisymmetrischen Tensoren, es können also nur q-Multivektoren<br />
mit p-Formen kontrahiert werden.<br />
- Wegen der Antisymmetrisierung spielt es (bis auf Vorzeichen) keine Rolle, über welche<br />
Tensorkomponenten kontrahiert wird, denn die Bildung aller Permutationen stellt sicher,<br />
dass jede Tensorkomponente am Kontraktionsprozess teilnimmt.<br />
- Die gewöhnliche Kontraktion, wie sie in Abschnitt 1.5.9 auf S. 22 eingeführt wurde, liefert<br />
bei der Kontraktion kombinatorische Faktoren, z.B. ist C 1...n<br />
1...n (ω♯ ⊗ ω) = sn!.<br />
Aus diesen Gründen hat es sich bewährt, <strong>für</strong> die äußere Algebra einen eigenständigen Kontraktionsoperator<br />
einzuführen, der von der Notation besser angepasst ist <strong>und</strong> der die auftretenden<br />
kombinatorischen Faktoren automatisch kompensiert. Dieser Operator wird mit dem griechischen<br />
Buchstaben Iota (ι) bezeichnet <strong>und</strong> kontrahiert einen q-Multivektor A mit einer p-Form<br />
α, wobei vorausgesetzt wird, dass q ≤ p ist:<br />
ιAα := 1 1...q<br />
C1...q (A ⊗ α) (2.26)<br />
q!<br />
Merke: Der Iota-Operator kontrahiert q-Multivektoren mit p-Formen, wobei q ≤ p ist. Er unterschei-<br />
det sich von der gewöhnlichen Kontraktion um einen kombinatorischen Faktor 1/q!, wobei q die<br />
Anzahl der Indices ist, über die summiert wird.<br />
Beispiele:<br />
• Volumenform mit sich selbst: ιω♯ω = 1 n! C 1...n<br />
1...n (ω♯ ⊗ ω) = 1 n!<br />
√<br />
|g|<br />
√ i1...inεi1...in ε = s = ±1<br />
|g|<br />
• Vektor X mit faktorisierbarer 2-Form: ιX(α ∧ β) = ιX(α ⊗ β − β ⊗ α) = (ιXα)β − α(ιXβ)<br />
• Vektor X mit fakt. 3-Form: ιX(α ∧ β ∧ γ) = (ιXα)(β ∧ γ) − (ιXβ)(α ∧ γ) + (ιXγ)(α ∧ β)<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
2.2 Hodge-Dualität 39<br />
Man kann zeigen, dass die Kontraktion eines Vektors X ∈ V mit dem Keilprodukt zweier p-<br />
Formen α,β mit Rängen pα, p β durch<br />
ιX(α ∧ β) = (ιXα) ∧ β + (−1) pα α ∧ (ιXβ) (2.27)<br />
gegeben ist. Die Kontraktion verhält sich also formal wie eine vorzeichenbehaftete Produktregel.<br />
Interessant ist die Hintereinanderausführung verschiedener Kontraktion. Hier findet man<br />
ιX ◦ ιY = −ιY ◦ ιX . (2.28)<br />
Insbesondere ist ιX ◦ ιX = 0. Die Hintereinanderausführung von Kontraktionen angewandt auf<br />
antisymmetrische Tensoren verhält sich also formal in ähnlicher Weise wie das Keilprodukt.<br />
Beweisskizze: ιX ◦ ιX lässt sich interpretieren als ιX⊗X. Da X ⊗ X aber ein symmetrischer Tensor<br />
ist, ergibt die Kontraktion mit einem antisymmetrischen Tensor stets Null. Ebenso können sich die<br />
Tensoren X ⊗ Y <strong>und</strong> Y ⊗ X, jeweils kontrahiert mit dem selben antisymmetrischen Tensor, nur durch<br />
ein Vorzeichen voneinander unterscheiden.<br />
2.1.10 Darstellung der Kontraktion ι<br />
In einer gegebenen Basis {ei} kann Gl. (2.26) in Komponenten dargestellt werden durch<br />
also<br />
ιAα =<br />
1<br />
q!(p − q)! αi1...ip Ai1...iq e iq+1 ∧ ... ∧ e ip (2.29)<br />
[ιAα]iq+1...ip<br />
= 1<br />
q! αi1...ip Ai1...iq . (2.30)<br />
Hier sieht man, dass sich ιAα von der gewöhnlichen Kontraktion um den Faktor 1<br />
q! unterscheidet.<br />
2.2 Hodge-Dualität<br />
2.2.1 Anschauliche Beschreibung der Hodge-Dualität<br />
Die Hodge-Dualität (engl. Hodge-dual) ist jedem von uns bereits indirekt<br />
in Form des sogenannten Kreuzprodukts begegnet. Anstatt nämlich<br />
ein Flächenelement durch zwei aufspannende Vektoren a <strong>und</strong> b zu charakterisieren,<br />
kann man es mit Hilfe des Kreuzprodukts auf elegante<br />
Weise durch einen senkrecht darauf stehenden Vektor c = a × b darstellen.<br />
Es sind also nicht 6, sondern nur 3 Komponenten zur Beschreibung<br />
der Orientierung <strong>und</strong> Größe eines Flächenelements erforderlich.<br />
Die Hodge-Dualität beruht darauf, dass die äußeren Potenzen � p (V ∗ ) <strong>und</strong> � n−p(V ∗ ), also die<br />
linearen Räume der p-Formen <strong>und</strong> der n − p-Formen, wegen Gl. 2.11) die gleiche Dimension<br />
besitzen, d.h.<br />
dim �� p (V ∗ ) � =<br />
� � � �<br />
n n<br />
= = dim<br />
p n − p<br />
��n−p � ∗<br />
(V )<br />
(2.31)<br />
wobei n = dimV ∗ die Dimension des Basisvektorraums ist. Die Hodge-Dualität ist eine lineare<br />
invertierbare Transformation zwischen diesen Räumen <strong>und</strong> wird mit dem Symbol ⋆ notiert.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
40 Differentialformen<br />
Um das Hodge-Duale einer p-Form zu bilden, werden<br />
deren Eingänge mit einer Volumenform ω kontrahiert.<br />
Da die Volumenform ihrerseits n Eingänge besitzt, sind<br />
noch n − p Kanäle frei, die als Eingänge von ⋆α aufgefasst<br />
werden. Die Abbildung illustriert die Bildung<br />
des Hodge-Dualen einer 3-Form im R 4 , wodurch eine<br />
1-Form ⋆α entsteht. Die kurzgeschlossenen Verbindungen<br />
zwischen α <strong>und</strong> ω sind dabei so zu vestehen, dass<br />
hier eine Spurbildung stattfindet.<br />
2.2.2 Verallgemeinertes Skalarprodukt auf p-Formen<br />
Auf dem Raum der (antisymmetrischen) p-Formen � p (V ∗ ) kann man ein Skalarprodukt<br />
g ∗ p : � p (V ∗ ) × � p(V ∗ ) → R<br />
folgendermaßen definieren: Seien α = α (1) ∧ ... ∧ α (p) <strong>und</strong> β = β (1) ∧ ... ∧ β (p) zwei faktorisierbare<br />
p-Formen. Dann ist<br />
g ∗ p(α,β) := εi1i2...ip<br />
p<br />
∏<br />
j=1<br />
g ∗ (α ( j) β (i j) ) = det � g ∗ (α (i) ,β ( j) )}. (2.32)<br />
Auf der rechten Seite steht die Determinante der aus den Zahlen g ∗ (α (i) ,β ( j) ) gebildeten p × p-<br />
Matrix. Man kann beweisen, dass das so definierte Produkt die Definitionseigenschaften eines<br />
Skalarprodukts erfüllt. Auch <strong>für</strong> nicht-faktorisierbare p-Formen ist das Skalarprodukt definiert,<br />
weil sich solche Formen immer als endliche Linearkombination faktorisierbarer Formen schreiben<br />
<strong>und</strong> mit Hilfe der Bilinearität auf die obige Form zurückführen lassen. In der Literatur wird<br />
das kleingestellte p von g ∗ p, oft auch der Stern weggelassen, weil der Rang der Argumente eindeutig<br />
festlegt, welches Skalarprodukt an dieser Stelle zu verwenden ist.<br />
Mit Hilfe des induzierten Skalarprodukts wird es beispielsweise möglich, die Norm einer<br />
p-Form ||α|| = � |g ∗ (α,α)| zu definieren oder zu sagen, wann zwei p-Formen “senkrecht”<br />
aufeinander stehen. Eine anschauliche Deutung ist nicht einfach. Immerhin erhält man <strong>für</strong> p = 1<br />
das normale Skalarprodukt g ∗ auf V ∗ .<br />
Beispiele:<br />
• Als Beispiel betrachten wir den R3 mit dem gewöhnlichen kartesischen Skalarprodukt. Die 2-<br />
Formen e1 ∧ e2 <strong>und</strong> e1 ∧ e3 können als Stangen in z- bzw. y-Richtung interpretiert werden. Das<br />
Skalarprodukt dieser beiden 2-Formen ist<br />
g ∗ (e 1 ∧ e 2 ,e 1 ∧ e 3 �<br />
�<br />
) = �<br />
� g∗ (e1 ,e1 ) g∗ (e1 ,e3 )<br />
g∗ (e2 ,e1 ) g∗ (e2 ,e3 �<br />
�<br />
�<br />
) � =<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� g11 g13 g21 g23 �<br />
�<br />
�<br />
� =<br />
� �<br />
�<br />
�1<br />
0�<br />
�<br />
�0 0�<br />
= 0,<br />
d.h. die beiden 2-Formen stehen tatsächlich “senkrecht” aufeinander.<br />
• Die durch das obige Skalarprodukt induzierte Norm der Volumenform im R3 ist<br />
||ω|| = � g∗ �<br />
(ω,ω) = |detg| g∗ (e1 ∧ e2 ∧ e3 , e1 ∧ e2 ∧ e3 �<br />
�<br />
�g<br />
) = �<br />
�<br />
�<br />
11 g12 g13 g21 g22 g23 g31 g32 g33 �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� = 1.<br />
�<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
2.2 Hodge-Dualität 41<br />
Im letzten Abschnitt haben wir gesehen, dass sich die Hintereinanderausführung von Kontraktionen<br />
(angewandt auf antisymmetrische Tensoren) formal wie ein Keilprodukt verhält. Mit<br />
Hilfe des verallgemeinerten Skalarprodukts lässt sich zeigen, dass beide Verknüpfungen tatsächlich<br />
dual zueinander sind. Sei dazu α eine 1-Form, β eine p-Form <strong>und</strong> γ eine p + 1-Form. Dann<br />
ist<br />
g ∗ (α ∧ β,γ) = g ∗ (β,ι α ♯γ) (2.33)<br />
Beachten Sie, dass auf der linken Seite das Skalarprodukt zweier p + 1-Formen, auf der rechten<br />
Seite dagegen das Skalarprodukt zweier p-Formen steht.<br />
Beweisskizze: Um uns davon zu überzeugen, betrachten wir den Fall p = 1 <strong>und</strong> nehmen an, dass<br />
γ = η ∧ ρ faktorisierbar ist. Dann ist die linke Seite<br />
g ∗ (α ∧ β,η ∧ ρ) = g ∗ (α,η)g ∗ (β,ρ) − g ∗ (α,ρ)g ∗ (β,η) = α i ηiβ j ρ j − α i ρiβ j η j<br />
Wegen ι α ♯(η ∧ ρ) = [α ♯ (η)]ρ − [α ♯ (ρ)]η ergibt sich <strong>für</strong> die rechte Seite<br />
g ∗ (β,ι α ♯(η ∧ ρ)) = [α ♯ (η)]g ∗ (β,ρ) − [α ♯ (ρ)]g ∗ (β,η) = α i ηiβ j ρ j − α i ρiβ j η j<br />
Beide Seiten sind also gleich.<br />
2.2.3 Darstellung des verallgemeinerten Skalarprodukts<br />
Seien<br />
α = 1<br />
p! αi1...ip ei1 ∧ ... ∧ e ip , β = 1<br />
p! β j1... jp e j1 ∧ ... ∧ e jp , (2.34)<br />
zwei p-Formen. Dann ist laut Gl. (2.32) das verallgemeinerte Skalarprodukt gegeben durch<br />
g ∗ (α,β) =<br />
=<br />
=<br />
1<br />
(p!) 2 αi1...ip β j1... jp g∗ (e i1 ip j1 jp ∧ ... ∧ e , e ∧ ... ∧ e )<br />
� �� �<br />
=detkl(g∗ (eik ,e jl ))<br />
1<br />
(p!) 2 αi1...ip β j1... jp εk1...kp<br />
p<br />
∏ g<br />
r=1<br />
ir jkr<br />
1<br />
(p!) 2 α jk ... jkr<br />
1<br />
1 β j1... jp εk1...kp =<br />
p! α j1... jp β j1... jp = ια♯β 2.2.4 Hodge-Dualität auf der Basis des verallgemeinerten Skalarprodukts<br />
(2.35)<br />
Hinter der Tatsache, dass ιX ◦ ιY = −ιY ◦ ιX ist, dass also Kontraktionen hintereinander ausgeführt<br />
formal wie ein Keilprodukt funktionieren, steht eine besondere Symmetrie der äußeren<br />
Algebra, die Hodge-Dualität genannt wird. Um die Hodge-Dualität, die nicht mit der ‘normalen’<br />
Dualität V ↔ V ∗ verwechselt werden darf, zu verstehen, brauchen wir zuerst einen Hilfssatz:<br />
Lemma: Sei V ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt g <strong>und</strong> f : V → R eine<br />
gegebene lineare Funktion. Dann existiert ein eindeutiges u ∈ V so dass<br />
f (v) = g(v,u) ∀v ∈ V (2.36)<br />
Beweis: In einer Orthonormalbasis ist f (ei) = g(ei,u) = gi ju j . Von links multipliziert man die inverse<br />
Matrix g ki <strong>und</strong> erhält so u k = g ki f (ei), also u = g ki f (ei)e j.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
42 Differentialformen<br />
Bemerkung: Sie kennen dieses Lemma vielleicht schon als Satz von Riesz aus der Quantenmechanik:<br />
Für jedes lineare Funktional F[ψ] auf einer Wellenfunktion ψ existiert eine andere Wellenfunktion φ,<br />
so dass F[ψ] = 〈φ|ψ〉 ist.<br />
Dieser Satz gilt in jedem Vektorraum <strong>und</strong> wir wenden ihn nun auf ∧ p V ∗ mit dem dazugehörigen<br />
verallgemeinerten Skalarprodukt an. Sei α eine fest gewählte p-Form <strong>und</strong> β eine beliebige n −<br />
p-Form. Folglich ist α ∧ β eine n-Form. Da der Raum ∧ n V ∗ eindimensional ist, muss α ∧ β<br />
proportional zur Volumenform sein (siehe 2.1.7), d.h.<br />
α ∧ β = fα(β)ω , (2.37)<br />
wobei fα eine lineare Funktion ist. Laut Lemma existiert dann eine eindeutige n − p-Form γ, so<br />
dass fα(β) = g ∗ (β,γ), also<br />
α ∧ β = g ∗ (β,γ)ω ∀β (2.38)<br />
Jeder p-Form α wird damit auf eindeutige Weise eine n − p-Form γ zugeordnet. In der Tat sind<br />
die Dimensionen der entsprechenden Vektorräume<br />
dim �� p (V ∗ ) � =<br />
� �<br />
n<br />
, dim<br />
p<br />
�� � �<br />
n−p � ∗ n<br />
(V ) = , (2.39)<br />
n − p<br />
identisch, da die Binomialkoeffizienten invariant unter der Ersetzung p ↔ n − p sind.<br />
Beispiel: Um diese Konstruktion zu verstehen, betrachten wir den R 3 mit kartesischen Koordinaten.<br />
Gegeben sei eine 1-Form α <strong>und</strong> eine 2-Form β mit den Darstellungen<br />
Dann ist<br />
α = α1e 1 + α2e 2 + α3e 3<br />
(2.40)<br />
β = β12(e 1 ∧ e 2 ) + β13(e 1 ∧ e 3 ) + β23(e 2 ∧ e 3 ). (2.41)<br />
α ∧ β = α1β23 (e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) + α2β13 (e 2 ∧ e 1 ∧ e 3 ) + α3β12 (e 3 ∧ e 1 ∧ e 2 =<br />
) (2.42)<br />
� �<br />
α1β23 − α2β13 + α3β12 e<br />
� �� �<br />
= fα (β)<br />
1 ∧ e 2 ∧ e 3 .<br />
Laut Lemma existiert eine 2-Form γ = γ12(e1 ∧ e2 ) + γ13(e1 ∧ e3 ) + γ23(e2 ∧ e3 ) so dass g∗ 2 (γ,β) =<br />
fα(β) ist. Das verallgemeinerte Skalarprodukt auf 2-Formen ist z.B. gegeben durch<br />
g ∗ 2 (e1 ∧ e 2 ,e 1 ∧ e 2 �<br />
�<br />
) = �<br />
� g∗ (e1 ,e1 ) g∗ (e1 ,e2 )<br />
g∗ (e2 ,e1 ) g∗ (e2 ,e2 �<br />
�<br />
�<br />
) � =<br />
� �<br />
�<br />
�1<br />
0�<br />
�<br />
�0 1�<br />
= 1<br />
<strong>und</strong> analog durch g ∗ 2 (ei ∧ e j ,e k ∧ e l ) = δ ik δ jl <strong>für</strong> i �= j. Wir erhalten deshalb<br />
g ∗ 2 (γ,β) = fα(β) = γ12β12 + γ13β13 + γ23β23<br />
Durch Koeffizientenvergleich erhält man γ12 = α1 ,γ13 = −α2 <strong>und</strong> γ23 = α3, womit die antisymmetrische<br />
2-Form γ vollständig bestimmt ist.<br />
Bemerkung: Aus der Elektrodynamik wissen Sie, dass es in vielen Fällen praktisch ist, ein orientiertes<br />
Flächenelement (∼ 2-Form) durch einen Vektor (∼ 1-Form) auszudrücken, der darauf senkrecht<br />
steht <strong>und</strong> dessen Betrag dem Flächeninhalt entspricht. Der Hodge-Dualität vermittelt zwischen diesen<br />
beiden gleichwertigen Beschreibungsweisen, verallgemeinert auf beliebige p-Formen in n Dimensionen.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
2.2 Hodge-Dualität 43<br />
2.2.5 Hodge-Stern-Operator ⋆<br />
Um die Hodge-Dualität zu formalisieren, führt man einen speziellen Operator ⋆ ein, der eine<br />
p-Form auf eine n − p-Form abbildet. Dieser sogenannte Hodge-Stern-Operator ist definiert als<br />
Abbildung ⋆ : � p (V ∗ ) → � n−p(V ∗ ) : α ↦→ ⋆α mit<br />
⋆α := ι α ♯ω (2.43)<br />
wobei ω die oben eingeführt Volumenform ist. Der Hodge-⋆-Operator ist also eine lineare Operation.<br />
Da sowohl der musikalische Isomorphismus ♯ als auch die Volumenform vom metrischen<br />
Tensor abhängen, bezieht sich der Hodge-Stern-Operator per Definition immer auf eine<br />
bestimmte Metrik.<br />
Beweis: In der Nomenklatur des vorangegangenen Abschnitts ist ⋆α = s|detg|γ. Unter Ausnutzung<br />
der Beziehung (2.33) erhält man<br />
g ∗ (β,γ)ω = g∗ (β,ι α ♯ω)ω<br />
s|detg|<br />
d.h. die Definition ist kompatibel mit Gl (2.38).<br />
= g∗ (α ∧ β,ω)ω<br />
s|detg|<br />
2.2.6 Darstellung des Hodge-Stern-Operators ⋆<br />
In einer gegebenen Basis {ei} wird die p-Form α durch<br />
dargestellt. Den dazu dualen Vektor<br />
= α ∧ β g∗ (ω,ω)<br />
s|detg|<br />
= α ∧ β<br />
α = 1<br />
p! αi1...ip ei1 ∧ ... ∧ e ip (2.44)<br />
α ♯ = 1<br />
p! αi1...ip ei1 ∧ ... ∧ eip<br />
(2.45)<br />
erhält man durch das Heben der Indices von α. Folglich ist<br />
⋆α = ι α ♯ω =<br />
Die n − p-Form ⋆α hat also die Komponenten<br />
1 �<br />
|g|εi1...in<br />
p!(n − p)!<br />
αi1...ip ip+1 in e ∧ ... ∧ e . (2.46)<br />
[⋆α]ip+1...in<br />
1 �<br />
= |g|εi1...in<br />
p!<br />
αi1...ip (2.47)<br />
Man kann auf diese Weise beispielsweise die Komponenten von ⋆ ⋆ α<br />
[⋆ ⋆ α]in−p+1...in =<br />
|g|<br />
p!(n − p)! εi1...in gi1 jp+1 ···g in−p jn ε j1... jn g j1k1 ···g jpkp αk1...kp<br />
berechnen, woraus mit etwas Geduld folgt, dass ⋆ ⋆ α = ±α ist.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
(2.48)
44 Differentialformen<br />
2.2.7 Eigenschaften des Hodge-Stern-Operators ⋆<br />
Das Hodge-Duale zu einem Skalar ist die Volumenform<br />
⋆1 = ω . (2.49)<br />
In manchen Büchern wird deshalb die Volumenform nicht mit ω sondern mit ⋆1 bezeichnet.<br />
Umgekehrt ist das Hodge-Duale der Volumenform gegeben durch<br />
⋆ω = ι ω ♯ω = s<br />
n! (e1 ∧ ... ∧ e n )(e1 ∧ ··· ∧ en) = s = ±1. (2.50)<br />
Durch Auswertung von Gl. (2.48) kann man zeigen, dass<br />
⋆ ⋆ α = s(−1) p(n−p) α ⇒ ⋆ 2 = ⋆⋆ = ±1 (2.51)<br />
ist, d.h. der ⋆-Operator ist bis auf ein Vorzeichen eine Involution.<br />
Wie bereits bei der Einführung der Hodge-Dualität gezeigt wurde, ist die Hodge-Abbildung<br />
eng mit dem verallgemeinerten Skalarprodukt verb<strong>und</strong>en. Man kann z.B. Gl. (2.38) in der Form<br />
α ∧ ⋆β = g ∗ (α,β)ω (2.52)<br />
schreiben, wobei α <strong>und</strong> β zwei beliebige p-Formen sind. Umgekehrt kann man das verallgemeinerte<br />
Skalarprodukt auch mit Hilfe von ∧ <strong>und</strong> ⋆ ausdrücken durch<br />
g ∗ (α,β) = s ⋆ (α ∧ ⋆β) (2.53)<br />
2.2.8 Hodge-Stern-Operator in orthonormalen Basen<br />
Wie bereits zuvor hervorgehoben, bezieht sich die Hodge-Dualität auf eine gegebene Metrik g,<br />
man findet deshalb in einigen Büchern auch die Notation ⋆g. Die Abhängigkeit von der Metrik<br />
ist z.B. daran zu erkennen, dass die Determinante von g in den Formeln explizit auftritt. Aus<br />
diesem Gr<strong>und</strong> werden die Rechenregeln <strong>für</strong> das ⋆-Produkt besonders einfach, wenn man in einer<br />
orthonormalen Basis arbeitet. In diesem Fall wird nämlich das Hodge-Duale einer p-Form mit<br />
Hilfe der komplementären Basisformen gebildet. So ist z.B.<br />
⋆(e 1 ∧ ... ∧ e p ) = e p+1 ∧ ... ∧ e n . ({e i } orthonormal) (2.54)<br />
Wenn die linke Seite nicht aus den ersten p, sondern aus einer beliebigen Folge von p Basisvektoren<br />
besteht, gilt<br />
⋆(e i1 ∧ ... ∧ e ip ) = ±e ip+1 ∧ ... ∧ e in , ({e i } orthonormal) (2.55)<br />
wobei sich das Vorzeichen danach richtet, ob (i1,...,in) eine gerade oder ungerade Permutation<br />
von 1,...,n ist.<br />
Beispiele:<br />
• Im R 2 mit dem gewöhnlichen Skalarprodukt g = diag(1,1) <strong>und</strong> orthonormaler Standardbasis<br />
gilt<br />
⋆1 = e 1 ∧ e 2 ; ⋆e 1 = e 2 ; ⋆e 2 = −e 1 ; ⋆(e 1 ∧ e 2 ) = 1<br />
• Im R 3 mit dem gewöhnlichen Skalarprodukt g = diag(1,1,1) <strong>und</strong> orthonormaler Standardbasis<br />
gilt<br />
⋆1 = e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ; ⋆e 1 = e 2 ∧ e 3 ; ⋆e 2 = −e 1 ∧ e 3 ; ⋆e 3 = e 1 ∧ e 2<br />
⋆(e 1 ∧ e 2 ) = e 3 ; ⋆(e 1 ∧ e 3 ) = −e 2 ; ⋆(e 2 ∧ e 3 ) = e 1 ; ⋆(e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) = 1<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
2.2 Hodge-Dualität 45<br />
2.2.9 Selbstdualität<br />
Eine Form α heisst selbstdual bezüglich der Hodge-Operation falls<br />
⋆α ∝ α , (2.56)<br />
wenn also die Form eine Art Eigenvektor von ⋆ ist. Selbstduale Formen haben ein hohes Maß<br />
an Symmetrie. Obwohl wir hier Selbstdualität nur der Vollständigkeit halber einführen wollen,<br />
sei darauf hingewiesen, dass es eine selbstduale Formulierung der ART gibt, die sich in der<br />
aktuellen Forschung immer mehr durchsetzt.<br />
Da der Hodge-Operator p-Formen auf n − p-Formen abbildet, müssen selbstduale Formen<br />
zwangläufig den Grad p = n/2 haben, wobei n die Dimension des Basisvektorraums ist. Selbstduale<br />
Formen können also nur in Vektorräumen mit geradzahliger Dimension existieren. Damit<br />
reduziert sich Gl. (2.51) zu<br />
⋆ ⋆ α = sα , (2.57)<br />
wobei s = sgn(det{gi j}) ist. Man unterscheidet also folgende Fälle<br />
Riemann (s = 1) Lorentz (s = −1)<br />
selbstdual ⋆α = α ⋆α = iα<br />
antiselbstdual ⋆α = −α ⋆α = −iα<br />
Die niedrigste Dimension, in der Selbstdualität auftreten könnte, ist n = 2, doch kann man leicht<br />
zeigen (Übung), dass selbstduale 1-Formen im R 2 nicht existieren, da die entsprechenden Gleichungen<br />
keine solchen Lösungen besizten. Interessant ist die Selbstdualität also erst in vierdimensionalen<br />
Räumen. Als Beispiel betrachten wir den euklidischen R 4 . Das Hodge-Duale einer<br />
2-Form α ist hier in Komponenten durch<br />
[⋆α]i j = 1<br />
2 εi jklα kl = 1<br />
2 εi jklη km η ln αnm<br />
(2.58)<br />
gegeben. Fasst man die Komponenten der antisymmetrischen 2-Form α als 6-komponentigen<br />
Vektor auf, kann die ⋆-Operation eine lineare Abbildung in Form einer 6×6-Matrix interpretiert<br />
werden. Als Eigenwerte findet man (−1,−1,−1,1,1,1). Im R 4 gibt es also drei selbstduale <strong>und</strong><br />
drei antiselbstduale Formen.<br />
Rechnung: Nachprüfen mit Mathematica R○<br />
map={{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}}<br />
M=Table[Signature[Join[map[[i]],map[[j]]]],{i,1,6},{j,1,6}]<br />
M//Eigenvalues<br />
Diese sechs 2-Formen haben die Gestalt<br />
e 1 ∧ e 2 ± e 3 ∧ e 4 , e 1 ∧ e 3 ± e 2 ∧ e 4 , e 1 ∧ e 4 ± e 2 ∧ e 3 . (2.59)<br />
Da die zweite äußere Potenz � 2 (R 4 ∗ ) , d.h. der Raum aller 2-Formen auf dem R 4 ebenfalls<br />
sechsdimensional ist, sieht man sofort, dass diese sechs 2-Formen den gesamten Raum aller<br />
2-Formen aufspannen. Demzufolge ist es möglich, jede 2-Form als Summe eines selbstdualen<br />
<strong>und</strong> eines antiselbstdualen Anteil auszudrücken, ähnlich wie man jede Matrix als Summe einer<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
46 Differentialformen<br />
symmetrischen <strong>und</strong> einer antisymmetrischen Matrix ausdrücken kann. Es gibt dementsprechend<br />
zwei Projektoren<br />
P ± = 1<br />
(� ± ⋆) (2.60)<br />
2<br />
mit P + + P− = � <strong>und</strong> der Komponentendarstellung<br />
wobei<br />
P ± kl<br />
i j<br />
= 1<br />
2 (I<br />
kl<br />
i j ± ε kl<br />
i j , (2.61)<br />
kl<br />
Ii<br />
j = 1 k<br />
(δi δ<br />
2 l j − δ k j δ l<br />
i ) (2.62)<br />
die antisymmetrisierte identische Abbildung im Raum � 2 (R 4 ∗ ) ist.<br />
2.3 Funktionen, Koordinatensysteme <strong>und</strong> Differentialformen<br />
Bisher haben wir uns mit der Struktur von Vektorräumen <strong>und</strong> den darauf definierten Linearformen<br />
befasst. Sowohl in der nichtrelativistischen <strong>Physik</strong> als auch in der speziellen <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
lassen sich Raum <strong>und</strong> Zeit per se als Vektorräume auffassen, d.h. die Punkte der Raumzeit<br />
werden durch Orts- bzw. Vierervektoren charakterisiert. Doch spätestens in der allgemeinen<br />
<strong>Relativitätstheorie</strong>, in der Raum <strong>und</strong> Zeit zu einem gekrümmten dynamischen Objekt werden,<br />
versagt dieses Konzept. Die Raumzeit wird dann zu einer sogenannten Mannigfaltikeit – einer<br />
Menge von Punkte, die global keine Vektorraumstruktur besitzt, sodass die Punkte auf dieser<br />
Mannigfaltigkeit nicht mehr durch Vektoren beschrieben werden können. Lokal sieht die Raumzeit<br />
allerdings immer noch wie ein ebener Vektorraum aus, ähnlich wie die Meeresoberfläche auf<br />
sehr kleinen Distanzen stets wie ein R 2 aussieht. Vektoren können deshalb verwendet werden,<br />
um Richtungen anzugeben.<br />
In diesem Kapitel werden wir uns zwar noch nicht mit gekrümmten Mannigfaltigkeiten, sondern<br />
vorerst noch weiterhin mit flachen Räumen befassen, genauer gesagt mit offenen zusammenhängenden<br />
Teilmengen U ⊂ R n . Um aber den Übergang zu gekrümmten Mannigfaltigkeiten<br />
zu erleichtern, wollen wir von der Vektorraumstruktur in U möglichst keinen Gebrauch machen.<br />
Konkret bedeutet das, dass wir die Punkte p ∈ U nach Möglichkeit nicht als Vektoren auffassen<br />
wollen, sie also nicht wie Vektoren addieren, subtrahieren, oder skalar multiplizieren.<br />
2.3.1 Skalare Funktionen, Kurven <strong>und</strong> Richtungsableitung<br />
Skalare Funktion:<br />
Eine skalare Funktion ist eine Abbildung f : U → R, die jedem Punkt p ∈ U eine Zahl fp<br />
zuordnet. Wir wollen im folgenden immer voraussetzen, dass f in einem noch zu präzisierenden<br />
Sinne stetig differenzierbar ist. Die Abbildung f darf aber durchaus nichtlinear sein.<br />
Herkömmliche Richtungsableitung:<br />
Da U im allgemeinen mehrdimensional ist, ist die Änderung einer Funktion von der gewählten<br />
Richtung abhängig. Normalerweise würde man dazu im R n die Richtungsableitung der Funktion<br />
f im Punkt u ∈ U in Richtung v durch<br />
f (u + µv) − f (u)<br />
∇v f (u) = lim<br />
µ→0 µ<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
(2.63)
2.3 Funktionen, Koordinatensysteme <strong>und</strong> Differentialformen 47<br />
definieren. Diese Definition macht aber expliziten Gebrauch von der Vektorraumstruktur von U,<br />
indem sie einen Punkt u um das Stück µv verschiebt. Nach den oben formulierten Spielregeln<br />
wollen wir aber davon möglichst keinen Gebrauch machen. Wir suchen deshalb eine alternative<br />
Möglichkeit zur Definition einer Richtungsableitung.<br />
Kurven:<br />
Einen möglichen Ausweg bieten parametrisierte Kurven, d.h. Abbildungen c : R → U, die einem<br />
Parameter λ ∈ (a,b) ⊂ R einen Punkt c(λ) ∈ U zuordnen. Auch von dieser Abbildung wollen<br />
wir annehmen, dass sie zusammenhängend <strong>und</strong> stetig differenzierbar ist, was anschaulich bedeutet,<br />
dass die Kurve aus einem Stück besteht <strong>und</strong> glatt ist, also keine Ecken hat.<br />
Um eine Richtungsableitung im Punkt p ∈ U zu definieren, betrachten wir nun eine Kurve c,<br />
die durch p läuft (siehe Abb. 2.2), wobei die Parametrisierung so gewählt ist, dass c(0) = p<br />
ist. Die verkettete Abbildung f ◦ c ist dann eine Abbildung R → R, die auf ganz gewöhnliche<br />
Weise ohne Gebrauch von Vektoren differenziert werden kann. Wir benutzen also eine Kurve<br />
statt eines Vektors, um eine Richtung anzugeben <strong>und</strong> die entsprechende Richtungsableitung zu<br />
definieren:<br />
∇c fp := d<br />
dλ<br />
�<br />
�<br />
f (c(λ)) �<br />
� λ=0<br />
(2.64)<br />
Richtungsableitung:<br />
Die so definierte Richtungsableitung ∇c hängt offenbar nur davon ab, in welcher Richtung <strong>und</strong><br />
mit welcher Geschwindigkeit bezüglich ihres Parameters die Kurve c den Punkt p durchquert,<br />
nicht dagegen von der Form <strong>und</strong> Geschwindigkeit der Kurve außerhalb von p. Zwei Kurven sind<br />
also in diesem Sinne äquivalent im Punkt p, wenn sie <strong>für</strong> alle Funktionen jeweils die gleiche<br />
Richtungsableitung ergeben:<br />
c ∼ p c ′<br />
⇔ ∇c fp = ∇c ′ fp ∀ f . (2.65)<br />
Eine Richtungsableitung in p ist also eine Äquivalenzklasse von Kurven [c]p, die wir im Vorgriff<br />
auf die Differentialgeometrie mit Großbuchstaben Xp bezeichnen wollen:<br />
Xp := [c]p . (2.66)<br />
Wendet man diese Richtungsableitung auf eine Funktion an, so erhält man<br />
�<br />
, (2.67)<br />
Xp f = ∇c fp�<br />
c∈Xp<br />
wobei die Kurve c ein beliebiger Repräsentant von Xp ist.<br />
Tangentialraum:<br />
Man kann zeigen, dass die Richtungsableitungen Xp einen linearen Vektorraum bilden, der als<br />
Abbildung 2.2: Eine glatte Kurve c : R → U, die durch den Punkt p läuft, ermöglicht die Definition einer Richtungsableitung<br />
∇c fp der Funktion f : U → R im Punkt p entlang dieser Kurve (siehe Text).<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
48 Differentialformen<br />
Tangentialraum TpU bezeichnet wird. Für den hier betrachteten Fall U ⊂ Rn ist das offensichtlich,<br />
weil jeder Kurve durch p ein Geschwindigkeitsvektor v = d<br />
dλ c(λ)| λ=0 zugeordnet werden<br />
kann, – der Addition oder Skalarmultiplikation von Richtungsableitungen entspricht also die<br />
Addition <strong>und</strong> Skalarmultiplikation solcher Geschwindigkeitsvektoren. Wie wir sehen werden,<br />
wird das Konzept des Tangentialraums auch <strong>für</strong> gekrümmte Mannigfaltigkeiten funktionieren, –<br />
auch dort ist nämlich der Tangentialraum ein linearer Vektorraum.<br />
Wichtig ist zunächst, dass wir uns an eine neue Sichtweise gewöhnen, die in der Differentialgeometrie<br />
üblich ist:<br />
Die Vektoren des Tangentialraums TpU sind Richtungsableitungen.<br />
Bemerkung: Vektoren sind Ableitungen – das ist <strong>für</strong> Neueinsteiger nicht leicht zu akzeptieren. Wir<br />
müssen uns jedoch daran gewöhnen, dass Vektoren nicht mehr Distanzen zwischen Punkten angeben.<br />
Ein Vektor ist lediglich eine Richtungsangabe kombiniert mit einer Zahl (Betrag des Vektors). Das<br />
einzige, was man mit solch einem Vektor machen kann, ist die Bildung einer Richtungsableitung, also<br />
zu fragen, wie sich z.B. eine Koordinate oder eine Funktion ändert, wenn man in die entsprechende<br />
Richtung geht. Deshalb darf man den Vektor ohne Bedenken mit der ihm zugeordneten Richungs-<br />
ableitung identifizieren.<br />
Vektorfelder:<br />
Eine Richtungsableitung Xp ∈ TpU ist definiert in einem bestimmten Punkt p. In der Regel ist<br />
die Richtungsableitung nicht nur in einem einzigen Punkt, sondern auf ganz U erklärt. In diesem<br />
Fall spricht man von einem Vektorfeld, das mit X bezeichnet wird. Lässt man dieses Vektorfeld<br />
auf eine Funktion f wirken, erhält man eine neue Funktion X f mit X f |p = Xp f .<br />
Gemäß der neuen Sichtweise wirkt ein Vektorfeld X auf Funktionen, indem es an jedem Punkt<br />
die entsprechende Richtungsableitung durchführt. Das Vektorfeld X ist also ein linear Operator<br />
X(λ f + µg) = λX f + µXg ( f ,g Funktionen; λ,µ ∈ R) (2.68)<br />
der auf Produkte von Funktionen die Leibniz-Regel (Produktregel) erfüllt:<br />
2.3.2 Differentiale<br />
Die Ableitung einer skalaren Funktion f im Punkt<br />
x0 ist bekanntlich eine lineare Approximation der<br />
Funktion in der Umgebung von x0: Wenn man sich<br />
ein kleines Stück in Richtung dx bewegt, ändert<br />
sich die Funktion in linearer Näherung um d f =<br />
f ′ (x0)dx. Dabei sind d f <strong>und</strong> dx infinitesimale Differentiale.<br />
In höherdimensionalen Räumen ergibt sich<br />
d f = ∇ f · dx, wobei ∇ f der Gradient von f ist.<br />
X( f g) = f Xg + gX f . (2.69)<br />
Unendlich kleine Vektoren – von dieser eigenartigen jedoch über die Jahre liebgewonnenen<br />
Vorstellung infinitesimaler Größen werden wir uns nun verabschieden müssen. An ihre Stelle<br />
tritt eine Interpretation, die mit den oben eingeführten abstrakten Richtungsvektoren X ∈ TpU<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
2.3 Funktionen, Koordinatensysteme <strong>und</strong> Differentialformen 49<br />
kompatibel ist. Die unterschiedliche Denkweise ist schematisch in der folgenden Abbildung<br />
skizziert:<br />
• Auf der linken Seite ist die traditionelle Denkweise dargestellt: Ausgangspunkt ist hier<br />
eine Funktion f (x), also eine direkte Abbildung von einer Koordinate x auf einen Funktionswert.<br />
Man stellt dann die Frage, wie sich f bei einer Änderung von x ändert. Für große<br />
Änderungen kann dieser Zusammenhang nichtlinear sein, aber <strong>für</strong> infinitesimal kleine<br />
Änderungen dx wird die infinitesimal kleine Änderung d f linear von dx abhängen.<br />
• Die rechte Seite zeigt die Sichtweise der Differentialgeometrie: Ausgangspunkt ist hier<br />
der abstrakte ‘physikalische’ Raum U. Auf diesem Raum sind zwei Funktionen definiert:<br />
Eine Funktion f : U → R <strong>und</strong> eine Koordinatenfunktion x : U → R. Jedem Punkt p wird<br />
damit ein Funktionswert fp <strong>und</strong> eine Koordinate xp zugeordnet. Um zu untersuchen, wie<br />
sich diese Funktionen lokal ändern, bildet man von beiden die Richtungsableitung.<br />
Wir lassen nun eine Richtungsableitung Xp auf diese beiden Funktionen wirken <strong>und</strong> definieren<br />
d f (Xp) := Xp f dx(Xp) := Xpx (2.70)<br />
Diese beiden Größen beschreiben, wie sich die Funktion f bzw. die Koordinate x in linearer<br />
Näherung ändern, wenn man am Punkt p in Richtung Xp geht. Wie man sehen kann, sind die<br />
Differentiale d f <strong>und</strong> dx hier keine infinitesimalen Größen mehr, sondern lineare Funktionen auf<br />
Richtungsvektoren, d.h. lineare Abbildungen TpU → R. Sie sind demzufolge Elemente des zu<br />
TpU dualen Vektorraums, des sogenannten Kotangentialraums T ∗ p U:<br />
Differentiale sind 1-Formen des Kotangentialraums T ∗ p U.<br />
Differentiale sind also lineare Abbildungen, die abstrakte Richtungsvektoren Xp ∈ TpU auf Zahlen<br />
abbilden. Das Differential d f einer Funktion f ist durch d fp(Xp) = Xp f punktweise definiert.<br />
Für die Gesamtheit aller Punkt schreibt man kurz<br />
wobei X ein Vektorfeld <strong>und</strong> d f ein Feld von 1-Formen ist.<br />
d f (X) = X f (2.71)<br />
Bemerkung: Aus der neuen Perspektive ist die Schulbuchmathematik eine Vereinfachung, die darin<br />
besteht, dass man den Umweg über U <strong>und</strong> TpU weglässt <strong>und</strong> stattdessen direkt die verkettete<br />
Abbildung f ◦ x −1 : R → R : x ↦→ f (x) := f (p(x)) untersucht (senkrechter Pfeil in der Abbildung).<br />
Allerdings steht dann der Tangentialraum nicht zur Verfügung <strong>und</strong> damit hat man im Prinzip keine<br />
Möglichkeit, eine Richtung anzugeben. Dieses Problem umgeht man, indem man Richtungen durch<br />
die Komponenten unendlich kleiner Vektoren, sogenannter infinitesimale Differentiale dx, repräsentiert.<br />
Dies ist der Preis, den man zahlen muss, wenn man auf die Definition eines Tangentialraums<br />
verzichten möchte.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
50 Differentialformen<br />
Abbildung 2.3: Ein Koordinatensystem S bildet die ‘Realität’ (links) bijektiv auf eine Karte (rechts) ab. Dazu<br />
wird jedem Punkt p ∈ U ein Punkt x ∈ R 2 auf der Karte zugeordnet. Dieses Beispiel zeigt die<br />
uns wohlbekannten Polarkoordinaten <strong>und</strong> veranschaulicht, wie ein ‘Haus vom Nikolaus’ auf der<br />
Karte dargestellt wird. Jeder Punkt p ∈ U wird dabe eindeutig auf x 1 = r <strong>und</strong> x 2 = ϕ abgebildet.<br />
Die Netzlinien erhält man, wenn man eine Koordinate variiert <strong>und</strong> die anderen festhält.<br />
Merke: Übersicht Notationen:<br />
f Funktion U− > R<br />
fp Funktionswert am Punkt p<br />
Xp Richtungsvektor im Punkt p<br />
Xp f Ableitung von f in Richtung X im Punkt p<br />
X Richtungsvektorfeld<br />
X f Ableitung von f entlang des Richtungsvektorfeldes<br />
d fp Differentialform von f im Punkt p, bildet Richtungsvektoren auf Zahlen ab<br />
d fp(Xp) Änderung von f in linearer Näherung in Richtung X<br />
d f Feld der Differentialformen von f auf U<br />
dxp Differentialform von x im Punkt p, bildet Richtungsvektoren auf Zahlen ab<br />
dx(X) Änderung der Koordinate x in linearer Näherung in Richtung X<br />
dxp(Xp) Änderung der Koordinate x in linearer Näherung in Richtung X im Punkt p<br />
2.3.3 Koordinatensysteme<br />
Ein Koordiantensystem S ist ein Satz von n stetig differenzierbaren Funktionen x i :U → R, die jedem<br />
Punkt p ∈ U auf eindeutige Weise Koordinaten x i (p) ∈ R zuordnen, wobei n wie immer die<br />
Dimension des Raums ist. Wenn man die Koordinaten x i (p) zu einem Vektor x(p) ∈ R n zusammenfasst,<br />
kann man ein Koordinatensystem auch als stetig differenzierbare Bijektion S : U → R n<br />
interpretieren, also gewissermaßen als invertierbare Abbildung vom physikalischen Raum auf<br />
eine Landkarte. Die dazu inverse Abbildung S −1 bezeichnen wir mit p(x) = p(x 1 ,...,x n ).<br />
Abb. 2.3 zeigt die uns wohlbekannten Polarkoordinaten. In diesem Koordinatensystem wird<br />
jedem Punkt p ∈ U ein Radius x 1 = r <strong>und</strong> ein Winkel x 2 = ϕ zugeordnet. Auf der entsprechenden<br />
Karte sieht die ‘Realität’, z.B. das links gezeigte Haus vom Nikolaus, stark verzerrt aus.<br />
Insbesondere scheinen die Kanten des Hauses gekrümmt zu sein.<br />
Ein Koordinatensystem stellt man wie in Abb. 2.3 durch ein Netz von Linien dar. Diese Linien<br />
erhält man, wenn man eine Koordinate variiert <strong>und</strong> die anderen dabei festhält. Ist p ∈U ein Punkt<br />
<strong>und</strong> x(p) der entsprechende Punkt auf der Karte, dann sind diese Linien durch<br />
c j(λ) = p(x 1 ,...,x j−1 , x j + λ ,x j+1 ,...,x n ) (2.72)<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
2.3 Funktionen, Koordinatensysteme <strong>und</strong> Differentialformen 51<br />
gegeben. Diese Netzlinien auf U können gekrümmt sein, wie das Beispiel der Polarkoordinaten<br />
demonstriert, während sie in der Karte als parallele Geraden erscheinen.<br />
2.3.4 Koordinatenbasis<br />
Jede dieser Netzlinien c j ist eine Kurve auf U <strong>und</strong> repräsentiert damit eine Richtungsableitung Xj<br />
im Punkt p. Da die Koordinatenabbildung bijektiv ist, sind die Richtungsableitungen X1,...,Xn<br />
linear unabhängig <strong>und</strong> bilden damit eine (nicht notwendig orthonormale) Basis des Tangentialraums<br />
TpU. Ein Koordinatensystem stellt also eine natürliche Basis zur Verfügung, in der<br />
Vektoren (=Richtungsabsleitungen) <strong>und</strong> 1-Formen (=Differentiale) dargestellt werden können.<br />
Diese Basis wird als Koordinatenbasis bezeichnet.<br />
Bemerkung: Die Basis muss weder orthogonal noch normiert sein. Man beachte, dass jedem Punkt p<br />
ein eigener Tangentialraum TpU <strong>und</strong> damit auch eine eigene Basis zugeordnet ist. Wie man von einem<br />
Tagentialraum zu einem benachbarten gelangt, wird einer der wesentlichen Inhalte der Differential-<br />
geometrie sein.<br />
Wir könnten jetzt auf gewohnte Weise die Koordinatenbasis von TpU mit e1,...,en bezeichnen<br />
<strong>und</strong> dann dazu eine duale Basis e1 ,...,e n konstruieren, so dass ei (e j) = δ i j ist. In der Differentialgeometrie<br />
hat sich allerdings eine andere Notation durchgesetzt, die formal an die normalen<br />
Rechenregeln der Vektoranalysis erinnern soll, aber <strong>für</strong> Neueinsteiger anfangs noch etwas gewöhnungsbedürftig<br />
ist.<br />
Basisvektoren des Tangentialraums:<br />
Ausgangspunkt ist die Beobachtung, dass der Basisvektor e j als Richtungsableitung angewandt<br />
auf eine beliebige Funktion f <strong>und</strong> in Koordinaten dargestellt gerade der partiellen Ableitung<br />
entspricht:<br />
e j f = ∂<br />
∂x j f (p(x1,...,xn)). (2.73)<br />
Man führt deshalb die formale Notation<br />
e j = ∂ j = ∂<br />
∂x j<br />
(2.74)<br />
ein. Damit erhält das Symbol ∂<br />
∂x j eine Doppelleben: Streng genommen handelt es sich um einen<br />
Basisvektor des Tangentialraums entlang der j-ten Koordinatenlinie, auf der zu diesen Koordinaten<br />
gehörenden Karte wirkt ∂<br />
∂x j jedoch wie die althergebrachte partielle Ableitung.<br />
Basis-1-Formen des Kotangentialraums:<br />
Auf ähnliche Weise geht man beim Kotangentialraum vor. Dessen Basisvektoren e1 ,...,e n müssen<br />
sich als Differentiale ei = dξ i von Funktionen ξ i schreiben lassen. Außerden müssen sie die<br />
Definitionseigenschaft ei (e j) = δ i j erfüllen, d.h. es muss ei (e j) = dξ i (e j) = ∂ jξ i = δ i j sein. Man<br />
sieht sofort, dass dies genau dann der Fall ist, wenn die Funktionen ξ i gerade die Koordinatenfunktionen<br />
xi sind. Man benutzt deshalb die Notationen<br />
e i = dx i<br />
Diese Definition ist formal kompatibel mit der Rechenregel dx i ( ∂<br />
∂x j ) = ∂<br />
∂x j x i = δ i j .<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
(2.75)
52 Differentialformen<br />
Abbildung 2.4: Koordinatenbasis: In jedem Punkt p ∈ U kann man sich einen Tangentialraum TpU ∼ = R 2 aufgehängt<br />
vorstellen. Das Koordinatensystem zeichnet in diesem Raum eine besondere Basis in<br />
Richtung der durch p laufenden Koordinatenlinien aus.<br />
Koordinatenbasis von TpU : Partielle Ableitungen e j = ∂ j = ∂<br />
∂x j<br />
Duale Koordinatenbasis von T ∗ p U: Differentiale e i = dx i<br />
2.3.5 Darstellung von Feldern in Koordinatensystemen<br />
Vektoren <strong>und</strong> Tensoren lassen sich auf gewohnte Weise in der Koordinatenbasis darstellen, wobei<br />
wir von nun anstatt ei <strong>und</strong> e j einfach ∂/∂x i <strong>und</strong> dx j schreiben. Die einzige wirkliche Neuerung<br />
besteht darin, dass es sich nun um Vektorfelder bzw. Tensorfelder auf U handelt. Bezieht<br />
man sich auf einen bestimmten Punkt p ∈ U <strong>und</strong> damit auf einen bestimmten Tangentialraum<br />
TpU bzw. Kotangentialraum T ∗ p U, wird das durch ein tiefgestelltes p zum Ausdruck gebracht<br />
(nicht zu verwechseln mit dem Rang einer p-Form). Will man dagegen die Gesamtheit aller<br />
Tangentialräume betrachten, lässt man den Index p einfach weg. So bezeichnet f eine Funktion,<br />
fp dagegen den Funktionswert an der Stelle p. Ebenso bezeichnet TU die Gesamtheit aller<br />
Tangentialräume, TpU dagegen den Tangentialraum im Punkt p.<br />
Vektorfelder <strong>und</strong> Differentialformfelder:<br />
Ein Vektorfeld X : U → TU wird in einem Koordiantensystem durch<br />
i ∂<br />
X = X<br />
∂xi = X i ∂i (2.76)<br />
dargestellt. Auf ähnliche Weise besitzt ein q-Multivektorfeld T : U → ∧ q TU die Darstellung<br />
T = 1<br />
q! T i1...iq<br />
∂i1 ∧ ... ∧ ∂iq . (2.77)<br />
Analog dazu wird ein p-Form-Feld α : U → ∧T ∗ p U in einem Koordiantensystem durch<br />
dargestellt.<br />
α = 1<br />
p! αi1...ip dxi1 ∧ ... ∧ dx ip (2.78)<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
2.3 Funktionen, Koordinatensysteme <strong>und</strong> Differentialformen 53<br />
alte Notation neue Notation<br />
∂i := ∂/∂x i<br />
ei<br />
e j dx j<br />
X = X iei X = X i∂i A = 1<br />
q! Ai1...iqei1 ∧ ... ∧ eiq A = 1<br />
q! Ai1...iq∂i1 ∧ ... ∧ ∂iq<br />
α = 1<br />
p! α j1... jpe j1 ∧ ... ∧ e jp α = 1<br />
p! α j1... jp dx j1 jp ∧ ... ∧ dx<br />
Tabelle 2.1: Vergleich der bisherigen Notation mit der in der Differentialgeometrie üblichen Notation<br />
Differentiale von Funktionen<br />
Das Differential einer skalaren Funktion f ist eine 1-Form <strong>und</strong> wird deshalb durch d f = αi dx i<br />
mit bestimmten Koeffizienten αi dargestellt. Um diese zu bestimmen, lässt man d f auf einen<br />
Basisvektor ∂ j wirken. Zum einen erhält man wegen Gl. (2.71) die gewöhnlichen partiellen<br />
Ableitungen d f (∂ j) = ∂ j f , zum anderen ist d f (∂ j) = αi dx i (∂ j)<br />
� �� �<br />
=δ i . Folglich ist α j = ∂ j f , d.h.<br />
j<br />
d f = (∂ j f )dx j . (2.79)<br />
In der Koordinatendarstellung erhält man also das uns wohlbekannte totale Differential. Diese<br />
formale Übereinstimmung ist mit ein Gr<strong>und</strong> da<strong>für</strong>, warum man die Basisvektoren nicht mehr<br />
mit ei <strong>und</strong> e j , sondern mit ∂i <strong>und</strong> dx j bezeichnet.<br />
2.3.6 Wechsel zwischen verschiedenen Koordinatensystemen<br />
Für die Darstellung eines Raums U gibt es viele mögliche Koordinatensysteme. In der <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
entspricht z.B. jedes Bezugssystem einem eigenständigen Koordinatensystem. Deshalb<br />
steht man häufig vor der Aufgabe, Darstellungen in einem Koordinatensystem in Darstellungen<br />
eines anderen Koordinatensystems zu transformieren.<br />
Gegeben seien zwei Koordinatensystem S : p → x i (p) <strong>und</strong> S ′ : p → x i′ (p). Da beide Abbildungen<br />
bijektiv sind, existieren die verketteten Abbildungen<br />
Für eine skalare Funktion f auf U gilt dabei<br />
oder kurz<br />
S ′ ◦ S −1 : x i → x i′ (x 1 ,...,x n ) (2.80)<br />
S ◦ S ′−1 : x i ′ → x i (x 1′ ,...,x n′ )<br />
∂ f ∂xj′<br />
=<br />
∂xi ∂xi ∂ f<br />
∂x j′<br />
∂i = (∂ix j′ )∂ ′ j bzw. ∂ ′<br />
i = (∂ ′<br />
i x j )∂ j<br />
(2.81)<br />
(2.82)<br />
wobei wir die Notation ∂i = ∂<br />
∂xi <strong>und</strong> ∂ ′ ∂<br />
j =<br />
∂x j′ verwendet haben. Weil die partiellen Ableitungen<br />
die Rolle von Basisvektoren im Tangentialraum spielen, drückt dieses Transformationsgesetz<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
54 Differentialformen<br />
TpU T ∗ p U<br />
Objekt X = X i ∂i α = αi dx i<br />
Basis ∂ ′<br />
i<br />
= (∂ ′<br />
i x j )∂ j<br />
Komponenten X i′ = (∂ jx i′ )X j α ′ i<br />
dx i′ = (∂ jx i′ )dx j<br />
= (∂ ′<br />
i x j )α j<br />
Tabelle 2.2: Zusammenfassung der Transformationsgesetze <strong>für</strong> Vektoren X <strong>und</strong> 1-Formen α zwischen verschiedenen<br />
Koordinatensystemen. Tensoren höherer Ordnung transformieren sich analog in jedem Index.<br />
nichts anderes als eine Basistransformation aus. Ein Vergleich mit der alten Notation e ′ i = ek ˜M k i<br />
in Gl. (1.16) auf Seite 11 liefert<br />
M i j = ∂xi′<br />
, ˜M<br />
∂x j<br />
i j = ∂xi<br />
. (2.83)<br />
∂x j′<br />
Die Transformationsmatrix ist also nichts anderes als die Jacobimatrix der verketteten Abbildung.<br />
Folglich transformieren sich die Komponenten eines Tangentialvektors v = v i ∂i gemäß<br />
v i → v i′ = ∂xi′<br />
∂x j v j = (∂ jx i′ )v j . (2.84)<br />
Hinweis: Bitte beachten Sie, dass sich nur Komponenten von Tangentialvektoren v i auf diese Weise<br />
transformieren, nicht jedoch die Koordinaten x i selbst, d.h. x i′ �= ∂xi′<br />
∂x j x j .<br />
Ähnliche Beziehungen lassen sich <strong>für</strong> den Kotangentialraum finden. Ein Vergleich mit Gl. (1.46)<br />
auf S. 18 liefert das Transformationsgesetz <strong>für</strong> die Basisdifferentiale<br />
dx i = ∂xi j′<br />
dx<br />
∂x j′<br />
bzw. dx i′ = ∂xi′ j<br />
dx<br />
∂x j<br />
Bemerkung: Dieses Transformationsgesetz kennen Sie bereits als Kettenregel <strong>für</strong> infinitesimale Dif-<br />
ferentiale. Die Notation ist in der Tat extra so gewählt worden, um dieses vertraute Erscheinungsbild<br />
zu reproduzieren. Man sollte sich dennoch vergegenwärtigen, dass die Differentiale dx i linear unab-<br />
hängige 1-Formen des Kotangentialraums T ∗ p U sind <strong>und</strong> nicht etwa Komponenten unendlich kleiner<br />
Vektoren.<br />
Die Komponenten einer 1-Form α = αi dx i transformieren sich dementsprechend durch<br />
Beispiel:<br />
αi → α ′ i = ∂xj<br />
∂x i′ α j = (∂ ′<br />
i x j )α j<br />
Kartesische Koordinaten <strong>und</strong> Polarkoordinaten:<br />
Sei U ⊂ R 2 ausgestattet mit dem gewöhnlichen Skalarprodukt. Die einfachste Darstellung ist das<br />
kartesische Koordinatensystem S : p → (x 1 ,x 2 ) = (x,y). Oft benutzt man aber auch Polarkoordinaten<br />
S ′ : p → (x 1′ ,x 2′ ) = (r,φ). Die Transformationsgleichungen zwischen beiden Systemen lauten<br />
S ◦ S ′−1 : (r,φ) → (x,y) = (r cosφ,r sinφ)<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
(2.85)<br />
(2.86)
2.4 Differenzieren 55<br />
oder kurz x = r cosφ <strong>und</strong> y = r sinφ. In der kartesischen Basis mit den Basisvektoren ∂x,∂y ist das<br />
metrische Tensorfeld auf ganz U konstant <strong>und</strong> hat die Form<br />
� � � �<br />
g(∂x,∂x) g(∂x,∂y) 1 0<br />
(gi j) =<br />
= .<br />
g(∂y,∂x) g(∂y,∂y) 0 1<br />
Die Basisvektoren in Polarkoordinaten sind<br />
∂r = (∂rx)∂x + (∂ry)∂y = cosφ ∂x + sinφ ∂y<br />
∂φ = (∂φ x)∂x + (∂φ y)∂y = −r sinφ ∂x + r cosφ ∂y<br />
Der metrische Tensor dargestellt in Polarkoordinaten ist nun<br />
(g ′ �<br />
g(∂r,∂r)<br />
i j ) =<br />
g(∂φ ,∂r)<br />
� �<br />
g(∂r,∂φ ) 1<br />
=<br />
g(∂φ ,∂φ ) 0<br />
0<br />
r2 �<br />
,<br />
hängt also vom Ort (vom Radius) ab. In beiden Fällen sind die metrischen Tensoren diagonal, d.h. es<br />
handelt sich um orthogonale Basissysteme. Polarkoordinaten sind anschaulich in Abb. 2.4 auf S. 52<br />
dargestellt.<br />
2.3.7 Entartete Differentialformen <strong>und</strong> Nullvektorfelder<br />
Eine p-Form heisst α entartet, wenn es einen Vektor X �= 0 gibt, so dass<br />
α(X,Y (1),...,Y (p−1)) = 0 ∀,Y (1),...,Y (p−1) (2.87)<br />
ist, wenn es also einen Vektor gibt, der die Form verschwinden lässt unabhängig davon, was an<br />
den anderen Eingängen anliegt. Ein solcher Vektor X wird auch als Nullvektor bezeichnet (nicht<br />
zu verwechseln mit dem neutralen Element des Vektorraums). Wenn α ein Feld von p-Formen<br />
ist, so heisst dieses Feld entartet, wenn es ein Vektorfeld X gibt, dass an jedem Punkt p ∈ U die<br />
obige Eigenschaft hat. Ein solches Vektorfeld bezeichnet man als Nullvektorfeld.<br />
Als Beispiel betrachten wir eine 2-Form α mit der Darstellung α(X,Y) = 1<br />
2 αi jX i Y i . Offenbar<br />
ist eine 2-Form genau dann entartet, wenn die ‘Matrix’ αi j einen Eigenvektor zum Eigenwert<br />
Null besitzt. Da die Matrix reell <strong>und</strong> antisymmetrisch ist, besitzt sie ein rein imaginäres Spektrum<br />
aus Paaren konjugiert komplexer Eigenwerte. Daraus ergibt sich sofort, dass eine 2-Form<br />
in einem Vektorraum mit ungerader Dimension immer ein Nullvektorfeld besitzt.<br />
Beweisskizze: Eine reelle Matrix besitzt entweder reelle oder Paare konjugiert komplexer Eigenwerte,<br />
wie man leicht durch komplexe Konjugation der Eigenwertgleichung zeigen kann. Eine antisymmtri-<br />
sche Matrix multipliziert mit i ist eine hermitesche Matrix, von der wir aus der Quantenmechanik<br />
wissen, dass sie nur reelle Eigenwerte besitzt, also besitzt eine antisymmetrische Matrix ein rein<br />
imaginäres Spektrum. Das Eigenwertspektrum einer reellen antisymmetrischen Matrix muss deshalb<br />
entweder aus Nullen oder aus ±-Paaren von rein imaginären Eigenwerten bestehen. Daraus folgt, dass<br />
in ungeraden Dimensionen mindestens einer der Eigenwerte gleich Null ist.<br />
2.4 Differenzieren<br />
In der Theorie der Differentialformen tritt die äußere Ableitung an die Stelle von Differentialoperatoren<br />
wie Gradient, Divergenz <strong>und</strong> Rotation. Das Differenzieren wird hiermit auf eine allgemeinere<br />
Gr<strong>und</strong>lage gestellt <strong>und</strong> in den Formalismus der äußeren Algebra eingeb<strong>und</strong>en.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
56 Differentialformen<br />
2.4.1 Verallgemeinertes Differential<br />
Wirkungsweise:<br />
Im Abschnitt 2.3.2 auf S. 48 haben wir bereits gesehen, wie man Funktionen f : U → R differenziert.<br />
Das Ergebnis ist ein Feld von 1-Formen, das sogenannte Differential d f . Das Differential<br />
d fp am Punkt p ∈ U ist Element des Kotangentialraum T ∗ p U, den man sich als einen im Punkt p<br />
angehefteten Vektorraum vorstellen kann. Wendet man die 1-Form d fp auf einen Richtungsvektor<br />
an, liefert sie als Ergebnis die Änderung von f in linearer Näherung entlang dieser Richtung<br />
(vgl. Gl. Abschnitt 2.79 auf S. 53):<br />
d f (∂ j) = ∂ j f ⇒ d f = (∂ j f )dx j .<br />
Wir wollen im folgenden nicht nur Funktionen, sondern Felder beliebiger p-Formen α differenzieren.<br />
Das Ergebnis ist ein verallgemeinertes Differential ˜dα (die Schlange ist eine vorläufige<br />
Notation, von der wir uns im folgenden Abschnitt wieder trennen werden). In Analogie zu d f<br />
soll dieses Differential Auskunft darüber geben, wie sich das Feld der p-Formen α entlang einer<br />
vorgegebenen Richtung ändert. Da α eine lineare Maschine ist, die p Vektoren auf eine Zahl abbildet,<br />
muss ˜dα eine Maschine sein, die p Vektoren sowie einen weiteren Richtungsvektor, also<br />
insgesamt p+1 Vektoren, auf eine Zahl abbildet. Weil das Differenzieren eine lineare Operation<br />
ist, erwarten wir, dass ˜dα ein kovarianter Tensor vom Rang p + 1 ist.<br />
Merke: Differenzieren erhöht den Rang eines Tensors um 1.<br />
Einbettung in die äußere Algebra:<br />
Wenn man die Ableitung im oben beschriebenen Sinne einführt <strong>und</strong> beispielsweise auf eine<br />
1-Form α wirken lässt, würde der Tensor 2. Stufe ˜dα in einer gegebenen Basis die Darstellung<br />
( ˜dα)i j = ∂iα j<br />
annehmen. Wie man an diesem Beispiel leicht sehen kann, ist dieser Tensor nicht notwendigerweise<br />
antisymmetrisch, d.h. er würde aus der äußeren Algebra, die sich auf antisymmetrische<br />
Tensoren beschränkt, herausführen. Also scheint das Konzept der Ableitung auf den ersten Blick<br />
nicht mit der äußeren Algebra vereinbar zu sein.<br />
Bei genauerer Betrachtung lässt sich dieses Problem jedoch lösen. Jeder Tensor lässt sich<br />
nämlich als Summe eines symmetrischen <strong>und</strong> eines antisymmetischen Bestandteils schreiben,<br />
also z.B.<br />
( ˜dα)i j = 1<br />
2 (∂iα j + ∂ jαi) + 1<br />
2 (∂iα j − ∂ jαi).<br />
Wenn man nun aber <strong>Physik</strong> auf der Basis antisymmetrischer Tensoren macht, wird man irgendwann<br />
messbare Größen, also Skalare, durch Kontraktion erzeugen müssen. Kontrahiert man<br />
allerdings den obigen Tensor mit einem anderen antisymmetrischen Tensor, fällt der symmetrische<br />
Anteil heraus, da ein symmetrischer Tensor kontrahiert mit einem antisymmetischen Tensor<br />
stets Null ergibt. Was dieses Beispiel ohne jeden Anspruch auf mathematische Stringenz plausibel<br />
macht, stellt sich als durchgängiges Prinzip heraus: <strong>Physik</strong>alische Theorien sind so gebaut,<br />
dass der symmetrische Anteil einer Ableitung keinen Einfluss auf Skalare hat <strong>und</strong> damit nicht<br />
messbar ist.<br />
Man kann deshalb den symmetrischen Anteil auch einfach weglassen. Dies kann dadurch<br />
erreicht werden, dass man immer nach dem Differenzieren das Ergebnis antisymmetrisiert. Eine<br />
solche antisymmetrisierte Ableitung<br />
d = A ( ˜d)<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
2.4 Differenzieren 57<br />
wird als äußere Ableitung bezeichnet, weil sie innerhalb der äußeren Algebra definiert ist (zur<br />
Definition von A siehe Abschnitt 2.3 auf S. 31). Auf das obige Beispiel bezogen ist<br />
(dα)i j = ∂iα j − ∂ jαi<br />
Die Antisymmetrisierung hat aber eine ungewohnte Konsequenz: Will man nämlich zweimal<br />
differenzieren, erhält man<br />
(d 2 α)i j = (ddα)i j = ∂i∂ jαk − ∂ j∂iαk + ∂ j∂kαi − ∂k∂ jαi + ∂k∂iα j − ∂i∂kα j = 0.<br />
oder etwas allgemeiner:<br />
d 2 = 0 (2.88)<br />
In der äußeren Algebra gibt es also keine höheren Ableitungen, sondern nur die erste Ableitung.<br />
Der formale Gr<strong>und</strong> ist einfach nachzuvollziehen: Weil Ableitungsoperatoren miteinander<br />
vertauschen, wäre d 2 eine symmetrische Konstruktion, d.h. die zwei neuen Eingänge von d 2 α<br />
wären symmetrisch unter Vertauschung <strong>und</strong> würden bei Kontraktion mit einem antisymmetrischen<br />
Tensor verschwinden.<br />
2.4.2 Äußere Ableitung<br />
Die äußere Ableitung (engl. exterior derivative) ist definiert als ein Operator d, der ein Feld<br />
von p-Formen auf ein Feld von p + 1-Formen abbildet. Dieser Operator hat folgende formale<br />
Eigenschaften:<br />
(i) Der Operator d angewandt auf eine Funktion f (also auf ein Feld von 0-<br />
Formen) ergibt das gewöhnliche in Gl. (2.71) definierte Differential d f .<br />
(ii) Zweifache Anwendung von d ergibt stets Null, d.h. d 2 = 0.<br />
(iii) Wirkt d auf ein Keilprodukt, so gilt die Produktregel<br />
wobei pα der Rang der Form α ist.<br />
d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1) pα α ∧ dβ , (2.89)<br />
Da die äußere Ableitung den Rang erhöht, ist die Ableitung der Volumenform gleich Null:<br />
2.4.3 Darstellung der äußeren Ableitung<br />
dω = 0. (2.90)<br />
Sei x1,...,xn ein Koordiantensystem <strong>und</strong> ∂i <strong>und</strong> dx j die Basisvektorfelder des Tangential- <strong>und</strong><br />
Kotangentialraums. Durch Anwendung der Produktregel <strong>und</strong> d 2 = 0 lässt sich sofort zeigen,<br />
dass die äußere Ableitung der Basisvektoren von � p T ∗ p U verschwindet:<br />
Die äußere Ableitung einer p-Form<br />
d(dx i1 ∧ ... ∧ dx ip ) = 0. (2.91)<br />
α = 1<br />
p! αi1...ip dxi1 ∧ ... ∧ dx ip (2.92)<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
58 Differentialformen<br />
lässt sich also dadurch berechnen, dass man die Koeffizienten als Funktionen (0-Form) interpretiert,<br />
also dem ersten Faktor der Produktregel zuordnet, während der Basisvektor dx i1 ∧...∧ dx in<br />
der zweite Faktor ist. Das Resultat lautet<br />
dα = 1<br />
�<br />
p!<br />
Wegen d f = (∂ j f )dx j erhält man<br />
dαi1...ip<br />
�<br />
∧ dx i1 ∧ ... ∧ dx ip (2.93)<br />
dα = 1 ∂αi1...ip<br />
p! ∂x j dx j ∧ dx i1 ip ∧ ... ∧ dx . (2.94)<br />
Wegen der Antisymmetrie tragen in dieser Summe nur Terme bei, <strong>für</strong> die j keinem der Indices<br />
i1,...,ip gleich ist.<br />
Beispiele:<br />
1) Gegeben sei eine 1-Form α = αi dxi im R3 . Dann ist<br />
dα = (∂ jαi) dx j ∧ dx i = 1<br />
� �<br />
∂ jαi − ∂iα j dx<br />
2!<br />
j ∧ dx i<br />
= (∂1α2 − ∂2α1)dx 1 ∧ dx 2 + (∂1α3 − ∂3α1)dx 1 ∧ dx 3 + (∂2α3 − ∂3α2)dx 2 ∧ dx 3<br />
2) Eine 2-Form γ = 1 2! γi j dx i ∧ dx j besitzt das Differential<br />
dγ = 1<br />
2 ∂kγi j dx k ∧ dx i ∧ dx j = 1<br />
�<br />
�<br />
∂1γ23 + ∂2γ31 + ∂3γ12 dx<br />
2<br />
1 ∧ dx 2 ∧ dx 3<br />
Die Koeffizienten kann man antisymmetrisieren:<br />
(dγ)i jk = 1<br />
2 (∂iγ jk − ∂iγk j + ∂kγi j − ∂kγ ji + ∂ jγki − ∂ jγik)<br />
so dass dγ = 1 3! (dγ)i jk dx i ∧ dx j ∧ dx k ist. Übung: Zeigen Sie, dass d 2 γ = 0 ist.<br />
2.4.4 Lemma von Poincaré<br />
Wir beginnen diesen Abschnitt mit zwei wichtigen Definitionen:<br />
• Eine Differentialform α heißt schließend, wenn die äußere Ableitung dα = 0 ist.<br />
• Eine Differentialform α heißt exakt, wenn sie selbst die äußere Ableitung einer anderen<br />
Differentialform β ist, d.h. α = dβ.<br />
Wegen d 2 = 0 ist jede exakte Differentialform schließend. Die Gegenrichtung gilt nicht automatisch,<br />
sondern ist Gegenstand des berühmten Lemmas von Poincaré. Vereinfacht ausgedrückt<br />
sagt dieses Lemma folgendes aus:<br />
In einer sternförmigen offenen Menge ist jede schließende Differentialform exakt,<br />
d. h. <strong>für</strong> jede geschlossene p-Form α findet man eine p − 1-Form β, auch Potentialform<br />
genannt, so dass α = dβ ist.<br />
Bemerkung: Das kommt einem bekannt vor. Ein wirbelfreies Vektorfeld, also ein solches, auf das der<br />
Rotationsoperator Null ergibt, lässt sich als Gradient eines Potentials schreiben. Das Poincaré’sche<br />
Lemma drückt diesen Sachverhalt in ähnlicher Form <strong>für</strong> Differentialformen in beliebigen Dimensionen<br />
aus.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
2.4 Differenzieren 59<br />
2.4.5 Zusammenhang mit der gewöhnlichen Vektoranalysis<br />
Die Differentialoperatoren der gewöhnlichen Vektoranalysis lassen sich im Differentialformenkalkül<br />
folgendermaßen koordinatenunabhängig ausdrücken.<br />
grad f = ∇ f = (d f ) ♯<br />
div X = ∇ · X = ⋆d ⋆ X ♭<br />
rot X = ∇ × X = (⋆dX ♭ ) ♯<br />
Dabei ist f eine Funktion <strong>und</strong> X ein Vektorfeld.<br />
2.4.6 Lie-Klammer<br />
(2.95)<br />
(2.96)<br />
(2.97)<br />
Im Abschnitt 2.3.1 auf S. 46 haben wir Richtungsableitungen von Funktionen eingeführt <strong>und</strong><br />
diese als Vektoren bzw. Vektorfelder interpretiert. Die Richtungsableitung<br />
X f = d f (X) = (∂ j f )X j<br />
(2.98)<br />
ist dabei wieder eine Funktion. Damit hat man die Möglichkeit, verschiedene Richtungsableitungen<br />
hintereinander auszuführen, also Y ◦ X auf f wirken zu lassen. Wegen der gewöhnlichen<br />
Produktregel lautet das Ergebnis in Komponenten<br />
Y ◦ X f = � ∂k[(∂ j f )X j ] � Y k = (∂k∂ j f )X j Y k + (∂ j f )(∂kX j )Y k . (2.99)<br />
Im ersten Term steht eine 2. Ableitung, so dass Y ◦ X offenbar keine Richtungsableitung mehr<br />
ist, also aus der äußeren Algebra herausführt. Bildet man jedoch den Kommutator<br />
[X,Y] := X ◦ Y − Y ◦ X, (2.100)<br />
fällt der Term mit der zweiten Ableitung heraus; übrig bleiben Produkte von ersten Ableitungen:<br />
[X,Y] f = (∂ j f )(∂kY j )X k − (∂ j f )(∂kX j )Y k �<br />
= (∂ j f ) (∂kY j )X k − (∂kX j )Y k<br />
� �� �<br />
[X,Y] j<br />
�<br />
. (2.101)<br />
Folglich ist der Kommutator zweier Vektorenfelder wieder ein Vektorfeld, bleibt also innerhalb<br />
der äußeren Algebra. Dieser Kommutator wird als Lie-Klammer bezeichnet. Per Konstruktion<br />
ist die Lie-Klammer bilinear <strong>und</strong> antisymmetrisch. Außerdem erfüllt sie unter zyklischer Vertauschung<br />
die sogenannte Jacobi-Indentität<br />
[X,[Y,Z]] + [Z,[X,Y]] + [Y,[Z,X]] = 0. (2.102)<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
60 Differentialformen<br />
Die nebenstehende Abbildung veranschaulicht die geometrische<br />
Bedeutung der Lie-Klammer. Im Hintergr<strong>und</strong><br />
sieht man die Basisvektorfelder X (grün) <strong>und</strong> Y (blau).<br />
Ausgehend vom Punkt A kann man sich entweder mit<br />
Y ◦ X auf der Strecke ABC, mit X ◦ Y dagegen auf der<br />
Strecke ADE bewegen. Wenn sich allerdings bei Verschiebung<br />
in eine Richtung die Länge der Vektorpfeile<br />
in der anderen Richtung ändert, kommt man nicht am<br />
gleichen Punkt an, vielmehr entsteht ein Fehlbetrag, der<br />
als gestrichelte rote Linie CE dargestellt ist. Diese Differenz<br />
skaliert linear mit den anderen Vektoren <strong>und</strong> wird<br />
durch die Lie-Klammer repräsentiert. In einer sogenannten<br />
Koordinatenbasis (siehe Kapitel über Differentialgeometrie)<br />
ist die Lie-Klammer der Basisvektorfelder stets<br />
gleich Nulll.<br />
2.4.7 Kodifferentialoperator<br />
Der Kodifferentialoperator d † ist definiert durch<br />
d † = s(−1) np+n+1 ⋆ d⋆ (2.103)<br />
wobei ⋆ der Hodge-Stern-Operator, s = sgn(g) <strong>und</strong> p der Rang der Differentialform ist, auf die<br />
d † wirkt.<br />
Der Kodifferentialoperator d † in vielfacher Hinsicht die gleichen Eigenschaften wie der normale<br />
Differentialoperator. Insbesondere ist<br />
(d † ) 2 = 0 (2.104)<br />
Ein wesentlicher Unterschied ist aber folgender: Während d den Rang einer p-Form auf p + 1<br />
erhöht, ändert sich der Rang bei Anwendung von d † gemäß<br />
p −→ ⋆<br />
n − p −→ d<br />
n − p + 1 −→ ⋆<br />
p − 1<br />
d.h. der Kodifferentialoperator d † erniedrigt den Rang einer p-Form um 1. Man kann sich das<br />
vereinfacht so vorstellen, dass der durch das Differenzieren zusätzlich geschaffene Eingang der<br />
Differentialform mit einem anderen Eingang kontrahiert wird.<br />
2.5 Integration von Formen<br />
Bei der Integration von Formen gilt die Regel, dass der Rang der Form, über die integriert werden<br />
soll, der Dimension des geometrischen Gebildes entspricht, über das integriert wird. Kurvenintegrale<br />
werden also über 1-Formen, Flächenintegrale über 2-Formen usw. integriert.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
2.5 Integration von Formen 61<br />
2.5.1 Kurvenintegrale<br />
Eine 1-Form α kann entlang einer Kurve c : (a,b) → U integriert werden:<br />
�<br />
c<br />
� b<br />
α = α(c<br />
a<br />
′ (λ)) dλ . (2.105)<br />
Dabei ist λ der Kurvenparameter <strong>und</strong> c ′ (λ) der von der Kurve repräsentierte Tangentialvektor<br />
(siehe Abschnitt 2.3.1 auf S. 46). Wenn α = d f das Differential einer Funktion ist, hängt das<br />
Integral nur von den Endpunkten ab <strong>und</strong> verschwindet bei geschlossenen Bahnen<br />
�<br />
c<br />
d f = f (c(b)) − f (c(a)),<br />
�<br />
c<br />
d f = 0. (2.106)<br />
Darstellung eines Kurvenintegrals:<br />
In einem gegebenen Koordinatensystem ist die Kurve durch Koordinaten c i (λ) = x i (c(λ)) darstellbar.<br />
Das Kurvenintegral lässt sich dann darstellen als<br />
2.5.2 Volumenintegrale<br />
�<br />
c<br />
� b<br />
α = αi(λ)<br />
a<br />
dci (λ)<br />
dλ (2.107)<br />
dλ<br />
Will man in einem n-dimensionalen Raum über ein n-dimensionales Volumen integrieren, muss<br />
der Integrand eine n-Form sein. Diese n-Form Σ kann sich von der Basisform dx 1 ∧...∧ dx n nur<br />
durch einen Faktor σ unterscheiden:<br />
Σ = σ dx 1 ∧ ... ∧ dx n . (2.108)<br />
In einer gegebenen Darstellung kann das Volumenintegral als n-faches Integral<br />
�<br />
V<br />
Σ =<br />
�<br />
�<br />
...<br />
σ(x 1 ,...,x n )dx 1 ···dx n<br />
ausgedrückt werden, wobei die Integrationsbereiche dem Gebiet V anzupassen sind.<br />
(2.109)<br />
Der Faktor σ kann an verschiedenen Punkten unterschiedlich sein, σ ist also eine Funktion.<br />
In der Volumenform ω (siehe Abschnitt 2.1.7 auf S. 36) ist diese Funktion gerade so gewählt,<br />
dass das Volumenintegral das tatsächliche metrische Volumen des Integrationsgebiets liefert.<br />
Bemerkung: Die Funktion σ hängt von der Wahl der Koordinaten ab. In kartesischen Koordinaten<br />
im R 3 ist die Volumenform durch ω = dx ∧ dy ∧ dz gegeben, entsprechend σ = 1, in sphärischen<br />
Koordianten dagegen ω = r 2 sinφ dr ∧ dθ ∧ dφ, entsprechend σ = r sinφ.<br />
2.5.3 Integrale über p-Formen<br />
Eine 1-Form lässt sich über Kurven, eine n-Form über Volumina integrieren. Ähnlich lässt sich<br />
eine p-Form β über zusammenhängende p-dimensionale Gebiete G integrieren. Zur Berechnung<br />
solcher Integrale ist – ähnlich wie bei Kurven – eine Parametrisierung des Gebiets durch eine<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
62 Differentialformen<br />
von p Variablen λ 1 ,...,λ p abhängige Funktion x(λ 1 ,...,λ p ) erforderlich. In einer gegebenen<br />
Darstellung<br />
α = 1<br />
p! αi1...ip dxi1 ∧ ... ∧ dx ip (2.110)<br />
ist dann das Integral über das Gebiet G durch<br />
� �<br />
α =<br />
�<br />
···<br />
�<br />
αi1...ip x(λ1,...,λp) � � �<br />
��<br />
∂(xi1,...,x ip )<br />
∂(λ 1 ,...,λ p �<br />
�<br />
�<br />
) � dλ 1 dλ 2 ···dλ p , (2.111)<br />
G<br />
wobei | · | die Jacobimatrix bezeichnet. Die Integrationsgrenzen sind dabei so zu wählen, dass<br />
das gesamte Gebiet G überstrichen wird.<br />
2.5.4 Theorem von Stokes<br />
Aus der Vektoranalysis kennen Sie die beiden Integralsätze von Gauß<br />
<strong>und</strong> von Stokes �<br />
�<br />
V<br />
S<br />
∇ ·�AdV =<br />
�<br />
(∇ ×�A) · d�n =<br />
∂V<br />
�<br />
�A ·�n dS (2.112)<br />
∂S<br />
�A · d�l (2.113)<br />
Diese beiden Sätze sind Spezialfälle des verallgemeinerten Stoke’schen Theorems<br />
�<br />
G<br />
dα =<br />
�<br />
∂G<br />
α , (2.114)<br />
wobei α eine p-Form <strong>und</strong> G ein p + 1-dimensionales Integrationsgebiet mit dem Rand ∂G ist.<br />
Wenn das Integrationsgebiet keinen Rand besitzt (wie z.B. eine geschlossene Kurve oder eine<br />
Kugeloberfläche), ist die rechte Seite der Gleichung Null. Mit diesem sehr einprägsamen Theorem<br />
vereinfacht sich der Umgang mit Integralen erheblich.<br />
2.6 Tensorwertige Formen<br />
Wir haben bis jetzt zwei Kategorien von Tensoren kennengelernt, nämlich beliebige, die mit<br />
dem Tensorprodukt ‘⊗’ gebildet werden, sowie die Teilmenge der antisymmetischen Tensoren<br />
(Formen), die mit dem Keilprodukt ‘∧’ gebildet werden <strong>und</strong> <strong>für</strong> die ein in sich geschlossener<br />
Satz von Rechenregeln, die äußere Algebra, definiert wurde.<br />
Dazwischen gibt es auch Mischformen von Tensoren, die antisymmetrisch in einem Teil ihrer<br />
Anschlüsse sind, aber beliebig in den übrigen. Es ist üblich, diese Tensoren dann nicht mehr als<br />
Abbildungen auf R zu betrachten, sondern die nicht-antisymmetrisierten Anschlüsse als Ausgänge<br />
zu interpretieren.<br />
Als Beispiel betrachten wir eine vektorielle p-Form<br />
T = 1<br />
p! T i j1... jp ei ⊗ e j1 ∧ ... ∧ e jp . (2.115)<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
2.6 Tensorwertige Formen 63<br />
Die Eingänge, also die Argumente, beziehen sich nun ausschließlich auf die antisymmetrisierten<br />
Tensorkomponenten. Die Form wirkt also auf p Vektoren X (1),...,X (p) durch<br />
T(X (1),...,X (p)) = T i j1 jp<br />
j1... jpX(1) ...X (p) ei , (2.116)<br />
ist also vektorwertig, benimmt sich aber sonst algebraisch wie jede andere p-Form auch.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
3 Spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
Die von Einstein 1905 veröffentlichte <strong>Relativitätstheorie</strong>, die später von ihm in spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
(SRT) umbenannt wurde, befasst sich mit der Struktur von Raum <strong>und</strong> Zeit<br />
<strong>für</strong> den Fall, dass Gravitationseffekte vernachlässigt werden können. In diesem Kapitel werden<br />
wir uns mit den wesentlichen Konzepten der speziellen <strong>Relativitätstheorie</strong> befassen, wobei der<br />
Übergang zur allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong> vorbereitet wird. Für eine ausführlichere Darstellung<br />
existiert eine Vielzahl von Lehrbüchern mit unterschiedlichen didaktischen Schwerpunkten,<br />
z.B. [1, 2].<br />
3.1 Nichtrelativistische Mechanik<br />
3.1.1 Raum <strong>und</strong> Zeit<br />
Die Alltagserfahrung zeigt uns, dass die Welt aus Einzelerscheinungen<br />
besteht, die in räumlicher <strong>und</strong> zeitlicher Beziehung zueinander stehen.<br />
Ein wesentliches Ziel der <strong>Physik</strong> ist es, räumliche <strong>und</strong> zeitliche Beziehungen<br />
zu quantifizieren <strong>und</strong> mit Hilfe geeigneter Theorien vorherzusagen.<br />
Das Faszinierende an der <strong>Physik</strong> ist, dass solche Theorien existieren<br />
<strong>und</strong> dass diese mit Hilfe relativ einfacher mathematischer Aussagen<br />
formuliert werden können. Natürlich kann keine Theorie beanspruchen,<br />
eine vollständige Beschreibung dieser Welt zu sein, sondern sie ist lediglich<br />
eine mehr oder weniger gute Approximation.<br />
In der Newtonschen nichtrelativischen <strong>Physik</strong> wird der Ortsraum als dreidimensionaler affiner<br />
Vektorraum R 3 über dem Körper der reellen Zahlen aufgefasst. Dieser Vektorraum ist mit<br />
einem euklidischen Skalarprodukt g : R 3 × R 3 → R versehen. Damit wird es möglich, Abstände<br />
<strong>und</strong> Winkel zu definieren, also Geometrie zu betreiben. Die Zeit wird dagegen als separater<br />
eindimensionaler Vektorraum über R interpretiert, in dem Zukunft <strong>und</strong> Vergangenheit durch den<br />
Zeitpunkt der Gegenwart strikt voneinander getrennt sind. Newton selbst beschreibt die Zeit so:<br />
„Die absolute, wahre <strong>und</strong> mathematische Zeit verfließt an sich <strong>und</strong> vermöge ihrer<br />
Natur gleichförmig <strong>und</strong> ohne Beziehung auf irgendeinen äußeren Gegenstand.“<br />
Isaac Newton, 1687<br />
Im Gegensatz zum dreidimensionalen Ortsraum, der Bewegungen in alle Richtungen zulässt, ist<br />
die Zeit orientiert. Sie ‘verfließt’ von selbst, – ein Sachverhalt, den man in der <strong>Physik</strong> bis heute<br />
nicht wirklich versteht. In der Newtonschen <strong>Physik</strong> wird die Zeit darüber hinaus als ‘absolut’<br />
angenommen, d.h. sie ist <strong>für</strong> alle Objekte gleich <strong>und</strong> kann deshalb durch einen globalen Parameter<br />
t beschrieben werden. Der Raum dagegen beherbergt die physikalischen Objekte, idealisiert<br />
als Massepunkte, die sich in ihm bewegen können. Die Bewegung unterliegt deterministischen<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
66 Spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
Bewegungsgleichungen <strong>und</strong> ist damit im Prinzip vorherbestimmbar. Die Lösungen dieser Bewegungsgleichungen<br />
sind als Funktion der Zeit parametrisiert.<br />
Raum <strong>und</strong> Zeit spielen in dieser Welt eine eher passive Rolle. denn sie sind unveränderlich <strong>und</strong><br />
unbeeinflusst von den physikalischen Vorgängen, die sich in ihnen abspielen. Sie beherbergen<br />
das Geschehen, indem sie eine Art Bühne bereitstellen, auf der alles stattfindet.<br />
Um die <strong>Relativitätstheorie</strong> zu verstehen, sind zwei entscheidende Änderungen der Sichtweise<br />
erforderlich:<br />
• Die spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong> gibt den Begriff der globalen absoluten Zeit auf. Vielmehr<br />
hat jedes Objekt seine eigene Zeit, auch Eigenzeit genannt. Die Zeit ist deshalb kein<br />
globaler Parameter mehr, sondern wird zu einer Koordinate, ähnlich wie die Raumkoordinaten.<br />
• In der allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong> sind Raum <strong>und</strong> Zeit nicht mehr unveränderlich <strong>und</strong><br />
unbeeinflusst von den physikalischen Vorgängen, sondern werden selbst zu einem physikalischen<br />
dynamischen Objekt.<br />
Wir wollen uns im folgenden zunächst auf den ersten Schritt konzentrieren <strong>und</strong> demonstrieren,<br />
dass man bereits in der Newtonschen <strong>Physik</strong> die Zeit als Koordinate auffassen kann. Außerdem<br />
zeigt sich, dass man Differentialformen bereits in der Mechanik gewinnbringend einsetzen kann.<br />
3.1.2 Klassische Mechanik<br />
Die klassische Mechanik eines Punktteilchens wird in den Kursvorlesungen zur Theoretischen<br />
<strong>Physik</strong> zunächst mit Hilfe des Lagrangeformalismus behandelt. Der Einfachheit halber beschränken<br />
wir uns hier auf ein Teilchen mit der Bahn q(t) in einem zeitunabhängigen Potential. Gr<strong>und</strong>lage<br />
ist das Prinzip der kleinsten Wirkung. Jeder differenzierbaren Teilchenbahn q(t) von (q1,t1)<br />
nach (q2,t2) wird ein Wirkung<br />
� t2<br />
S[q] = dt L(q, ˙q) (3.1)<br />
t1<br />
zugeordnet. Dabei ist L = T − V die Lagrangefunktion, die den Wirkungsverbrauch pro Zeit<br />
beschreibt. In der Natur ist diejenige Bahn realisiert, deren Wirkung extrememal ist. Als notwendige<br />
Bedingung muss das Wirkungsfunktional bei Variation der Bahn in erster Ordnung<br />
invariant bleiben. Dies führt auf die Lagrangeschen Bewegungsgleichung<br />
wobei<br />
p =<br />
˙p = F , (3.2)<br />
∂L(q, ˙q) ∂L(q, ˙q)<br />
, F =<br />
∂ ˙q<br />
∂q<br />
der generalisierte Impuls <strong>und</strong> die generalisierte Kraft sind. Man kann zeigen, dass die Langrangeschen<br />
Bewegungsgleichungen unter Koordinatentransformationen forminvariant sind.<br />
Wechselt man von (q, ˙q) zu den Variablen (q, p), erhält man die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen<br />
˙q = ∂H0(q, p)<br />
∂ p<br />
(3.3)<br />
, ˙p = − ∂H0(q, p)<br />
, (3.4)<br />
∂q<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
3.1 Nichtrelativistische Mechanik 67<br />
wobei H0 die nichtrelativistische Hamiltonfunktion ist, die aus der Langrangefunktion durch<br />
eine Legendretransformation<br />
H0(q, p) = p ˙q − L(q, ˙q) (3.5)<br />
hervorgeht. Die Zeit spielt in dieser Theorie die Rolle eines globalen Parameters.<br />
3.1.3 Symplektischer Formalismus<br />
Wir bleiben zunächst im Rahmen der nichtrelativischen <strong>Physik</strong> <strong>und</strong> untersuchen die Struktur<br />
der Hamiltonschen Mechanik genauer. Der Hamilton-Formalismus beschreibt die Dynamik von<br />
Teilchen in einem Vektorraum Γ0, der als Phasenraum bezeichnet wird. 1 Dieser Phasenraum<br />
besitzt eine sogenannte symplektische Struktur, womit eine elegante Formulierung mit Hilfe von<br />
Differentialformen möglich wird [15, 14];<br />
Ein mechanisches System ist ein Vektorraum Γ0, auf dem eine Funktion H0 <strong>und</strong><br />
ein 2-Form Ω erklärt ist. Diese 2-Form ist symplektisch, d.h. sie schließt (siehe<br />
Abschnitt 2.4.4 auf S. 58) <strong>und</strong> ist nichtentartet (siehe Abschnitt 2.3.7 auf S. 55).<br />
Die Teilchen bewegen sich im Phasenraum entlang eines Vektorfeldes X, das die<br />
Hamiltonschen Bewegungsgleichungen erfüllt:<br />
Symplektische Form<br />
Ω(X) = −dH0<br />
Diese sehr kompakte Definition der Hamiltonschen Mechanik impliziert folgede Sachverhalte.<br />
Zum einen muss der Phasenraum wegen der Nichtentartung des 2-Form Ω eine geradzahlige Dimension<br />
n = 2m besitzen. Die Geschlossenheit <strong>und</strong> das Poincarésche Lemma implizieren, dass<br />
sich Ω von einer Potentialform ableiten lässt, dass also Ω = dθ ist. Die 1-Form θ erfüllt die<br />
Voraussetzungen <strong>für</strong> Darboux’ Theorem (hier ohne Beweis), woraus folgt, dass es ein Koordinatensystem<br />
q 1 ,...,q m , p 1 ,..., p m mit<br />
gibt, so dass<br />
θ =<br />
Ω = dθ =<br />
m<br />
∑ p<br />
j=1<br />
j dq j<br />
m<br />
∑ dp<br />
j=1<br />
j ∧ dq j<br />
ist. Die Wirkungsweise von Ω besteht darin, die skalare Hamiltonfunktion H0 in ein Vektorfeld<br />
X entlang der Teilchenbahnen zu konvertieren, also ein Zahlenfeld in ein Richtungsfeld umzuwandeln.<br />
Dies geschieht in Gl. (3.6), die so zu interpretieren ist, dass Ω(X,Y) = −(dH0)(Y) <strong>für</strong><br />
alle Y ist.<br />
(3.6)<br />
Hinweis: Der Phasenraum ist ein symplektischer, jedoch kein metrischer Raum, d.h. es gibt keine Metrik<br />
g, mit der man Indices heben oder senken könnte. Viele Autoren benutzen trotzdem hochgestellte<br />
Indices <strong>für</strong> Ortskoordinaten <strong>und</strong> tiefgestellte Indices <strong>für</strong> Impulse, um dann bei Bedarf die Einsteinsche<br />
Summenkonvention gebrauchen zu können. Um Missverständnissen vorzubeugen, schreiben wir die<br />
Indices <strong>für</strong> Orts- <strong>und</strong> Impulskoordinaten immer oben <strong>und</strong> schreiben die Summen explizit aus.<br />
1 Der Index 0 soll andeuten, dass dieser Phasenraum Γ0 nur räumliche Freiheitsgrade <strong>und</strong> deren Impulse enthält.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
(3.7)<br />
(3.8)
68 Spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
Ableitung der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen<br />
Um zu den normalen Hamiltonschen Gleichungen zu gelangen, stellt man das gesuchte Vektorfeld<br />
X über den Basisvektorfeldern ∂/∂q i <strong>und</strong> ∂/∂ p i dar:<br />
X =<br />
m<br />
∑<br />
i=1<br />
Die Bewegungsgleichungen (3.6) nehmen also die Form<br />
� m<br />
∑<br />
j=1<br />
∑<br />
dp j ∧ dq j� � m<br />
i=1<br />
i ∂ ∂<br />
(v + wi ). (3.9)<br />
∂qi ∂ pi i ∂ ∂<br />
(v + wi<br />
∂qi ∂ pi ),Y� = −dH0(Y) (3.10)<br />
an, wobei Y ein beliebiges Vektorfeld ist. Es reicht aus, <strong>für</strong> Y die Basisvektorfelder einzusetzen.<br />
Für Y = ∂/∂q k ergibt sich w k = −∂H0/∂q k , <strong>für</strong> Y = ∂/∂ p k dagegen v k = ∂H0/∂ p k , also<br />
X =<br />
m<br />
∑<br />
i=1<br />
�<br />
∂H0<br />
∂ pi ∂ ∂H0<br />
−<br />
∂qi ∂qi ∂<br />
∂ pi �<br />
. (3.11)<br />
Die Teilchenbahnen z(t) : R → Γ0 sind dann Lösungen der DGL ˙z(t) = Xz, d.h. das Vektorfeld X<br />
ist tangential zu den möglichen Teilchenbahnen.<br />
Beispiel: Für den harmonischen Oszillator H0 = 1 2 (p2 + q 2 ) nehmen die Bewegungsgleichungen<br />
Ω(X) = −dH0 die Form<br />
(dp ∧ dq)(X,Y) = (−qdq − pdp)(Y)<br />
an. Mit der Darstellung X = X q ∂q +X p ∂p <strong>und</strong> Y := ∂q bzw.Y := ∂p erhält man das Vektorfeld X q = p<br />
<strong>und</strong> X p = −q. Tangentiale Trajektorien z(t) = (q(t), p(t)) erfüllen die Hamiltonschen Gleichungen<br />
˙z(t) = Xz ⇒ ˙q(t) = p(t); ˙p(t) = −q(t).<br />
Funktionen auf dem Phasenraum, die dem Hamiltonschen Fluss unterliegen wie z.B. Teilchendichten<br />
ρ : Γ0 → R, entwickeln sich folglich gemäß<br />
˙ρ = Xρ = {ρ,H0} (3.12)<br />
mit der Poissonklammer auf der rechten Seite. Die Antisymmetrie der Poissonklammern reflektiert<br />
dabei die Antisymmetrie der symplektischen Form.<br />
Kanonische Transformationen<br />
Die 1-Form θ kann in unterschiedlichen Koordinatensystemen dargestellt werden. Ein Koordinatensystem<br />
Q 1 ,...,Q m ,P 1 ,...,P m heisst kanonisch, wenn sich θ in der Form<br />
θ =<br />
m<br />
∑ P<br />
j=1<br />
j dQ j<br />
⇒ Ω = dθ =<br />
m<br />
∑ dP<br />
j=1<br />
j ∧ dQ j<br />
(3.13)<br />
darstellen lässt. Solche Koordinatensysteme werden durch kanonische Transformationen ineinander<br />
überführt. Kanonische Transformationen sind also Koorinatentransformationen, welche<br />
die symplektische Struktur erhalten.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
3.1 Nichtrelativistische Mechanik 69<br />
Eine kanonische Transformation {q i , p i } → {Q i ,P i } wird durch eine erzeugende Funktion<br />
S(q 1 ,...,q m ,Q 1 ,...,Q m ,t) generiert, die folgende Eigenschaften erfüllt:<br />
Pi = − ∂S<br />
∂Qi , pi = ∂S<br />
. (3.14)<br />
∂qi Bei gegebenem S ergibt die erste Gleichung direkt den neuen Impuls P i . Die neue Koordinate<br />
Qi erhält man dagegen, wenn man die zweite Gleichung nach Qi auflöst, also invertiert. Der<br />
Hamiltonoperator in den neuen Koordinaten lautet<br />
˜H0 = H0 + ∂S<br />
. (3.15)<br />
∂t<br />
Beispiel: Als Beispiel betrachten wir den harmonischen Oszillator H0(q, p) = 1 2 (p2 + q 2 ), den wir<br />
mit der erzeugenden Funktion S(q,Q,t) = qQt transformieren wollen. Man erhält −P = ∂QS = qt<br />
<strong>und</strong> p = ∂qS = Qt, also<br />
q, p ↔ Q,P : q = −P/t; p = Qt bzw. P = −qt; Q = p/t .<br />
Die Hamiltonfunktion in den neuen Koordinaten lautet<br />
˜H0(Q,P,t) = 1<br />
�<br />
P2 2 t2 + Q2t 2�<br />
− PQ<br />
t<br />
<strong>und</strong> ist in diesem Beispiel explizit zeitabhängig. Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen lauten<br />
Eine mögliche Lösung ist<br />
˙Q = ∂ ˜H<br />
∂P<br />
P Q<br />
= −<br />
t2 t ,<br />
˙P = ∂ ˜H<br />
∂Q = −Qt2 + P<br />
t .<br />
Q(t) = 1<br />
t eit , P(t) = ite it .<br />
Natürlich ist dieses Koordinatensystem denkbar ungeeignet <strong>für</strong> den harmonischen Oszillator, aber das<br />
Beispiel soll hier nur den praktischen Umgang mit einer gegebenen erzeugenden Funktion illustrieren.<br />
Hamilton-Jacobi<br />
Die Hamilton-Jacobi-Theorie ist <strong>für</strong> praktische Anwendungen recht akademisch, hat aber, wie<br />
wir noch sehen werden, eine tiefe konzeptionelle Bedeutung. Die Kernaussage ist, dass man eine<br />
erzeugende Funktion finden kann, <strong>für</strong> die ˜H0 = 0 ist, dass man also sozusagen durch eine geschickte<br />
Wahl der Koordinaten die Hamiltonfunktion eliminieren kann. In diesem Fall sind dann<br />
sämtliche Koordinaten Q i <strong>und</strong> Impulse P i Erhaltungsgrößen, also Konstanten der Bewegung.<br />
Der Einfachheit halber betrachten wir hier nur einen Freiheitsgrad m = 1. Die Bedingung<br />
˜H = 0 in Gl. (3.15) nimmt wegen p = ∂S<br />
∂q die Form<br />
∂S(q,Q,t)<br />
∂t<br />
+ H0<br />
�<br />
q, ∂S(q,Q,t)<br />
∂q<br />
�<br />
= 0 (3.16)<br />
an. Diese sogenannte Hamilton-Jacobi-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung <strong>für</strong> die<br />
erzeugende Funktion S(q,Q,t), wobei die Konstante Q die Lösungen parametrisiert. Hat man<br />
diese Lösungen gef<strong>und</strong>en, so führt man die entsprechende kanonische Transformation von den<br />
Konstanten Q,P auf die ursprünglichen Variablen q(t), p(t) durch.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
70 Spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
3.1.4 Vorsymplektische Formulierung<br />
Zeit als Koordinate<br />
Zukunft <strong>und</strong> Vergangenheit sind durch den Moment der Gegenwart voneinander getrennt. Dieser<br />
Moment der Gegenwart kann <strong>für</strong> jeden Beobachter durch eine Zahl beschrieben werden. Auf die<br />
Frage eines Journalisten, was Zeit sei, soll Einstein geantwortet haben: “Zeit ist das, was eine<br />
Uhr anzeigt”.<br />
Die Newtonsche Mechanik basiert auf der sehr viel weitergehenden Annahme, dass Uhren<br />
global synchronisierbar sind, also unabhängig von ihrer Trajektorie immer die gleiche Zeit anzeigen.<br />
In diesem Fall muss nicht jeder Beobachter seine eigene Uhr mit sich führen, vielmehr<br />
reicht eine Uhr <strong>für</strong> alle aus. In diesem Fall reduziert sich die Zeit auf einen globalen Parameter t,<br />
die <strong>für</strong> alle Beobachter gleichermaßen verbindliche universelle Zeit. Dieser Parameter kann benutzt<br />
werden, um Bewegungsabläufe zu parametrisieren. Die Notation q(t) drückt genau diesen<br />
Sachverhalt aus.<br />
In der relativistischen <strong>Physik</strong> ist die Zeit nach wie vor das, was eine Uhr anzeigt. Uhren<br />
sind jedoch nicht mehr synchronisierbar, womit Zeit zu einer individuellen Größe wird. Jeder<br />
Beobachter hat also seine eigene Zeit, auch Eigenzeit genannt, ganz ähnlich wie auch jeder Beobachter<br />
einen individuellen Aufenthaltsort hat. Im Rahmen der <strong>Relativitätstheorie</strong> zeigt sich,<br />
dass man die Zeit als Koordinate auffassen kann <strong>und</strong> dass Raum- <strong>und</strong> Zeitkoordinaten als gemeinsame<br />
Koordinaten einer vierdimensionalen Raumzeit interpretiert werden können.<br />
Es ist sehr instruktiv, dass man das Konzept einer Zeitkoordinate auch schon im Rahmen<br />
der nichtrelativischen Mechanik konsistent einführen kann. Man wird dabei auf einen eleganten<br />
Formalismus geführt, der von Rovelli in Ref. [14] als ‘vorsymplektischer’ (engl. pre-symplectic)<br />
Formalismus beschrieben wird. Die gr<strong>und</strong>legende Idee ist, die Zeit in den Phasenraum zu integrieren,<br />
d.h. wir betrachten einen 2m + 1-dimensionalen Raum mit Koordinaten<br />
t,q 1 ,...,q m , p 1 ,..., p m .<br />
Ein Teilchen wird in diesem Raum durch eine Kurve, eine sogenannte Weltlinie, beschrieben.<br />
Auf diesem Phasenraum ist eine 1-Form<br />
definiert. Das Differential<br />
θ =<br />
Ω = dθ =<br />
m<br />
∑<br />
i=1<br />
p i dq i − H0 dt (3.17)<br />
m<br />
∑ dp<br />
i=1<br />
i ∧ dq i − dH0 ∧ dt (3.18)<br />
ist eine schließende 2-Form (dΩ = 0); sie ist im Gegensatz zur symplektischen Form entartet 2 ,<br />
d.h. es gibt einen Vektor X so dass <strong>für</strong> alle Y ∈ Γ0 gilt, dass Ω(X,Y) = 0 ist. Es gibt also ein<br />
sogenanntes Nullvektorfeld<br />
Ω(X) = 0 (3.19)<br />
Dies sind die Bewegungsgleichungen, – kürzer geht es nicht.<br />
2 Jede 2-Form in einem Vektorraum mit ungerader Dimension ist entartet, siehe Abschnitt 2.3.7 auf S. 55.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
3.1 Nichtrelativistische Mechanik 71<br />
Ableitung der Bewegungsgleichungen:<br />
Man kann leicht zeigen, dass das Vektorfeld<br />
X = ∂<br />
∂t<br />
+<br />
m<br />
∑<br />
i=1<br />
i ∂ ∂<br />
(v + wi ) (3.20)<br />
∂qi ∂ pi mit v i = ∂H0/∂ p i <strong>und</strong> w i = −∂H0/∂q i eine Lösung dieser Bewegungsgleichungen ist. Die konkreten<br />
Teilchenbahnen c folgen dem Vektorfeld durch<br />
d<br />
dλ c(λ) = X c(λ)<br />
Eine solche Bahn wird als Orbit der 2-Form Ω bezeichnet.<br />
Bemerkung: Das Vektorfeld X ist hier bis auf Umskalierung definiert, d.h. wenn man X mit einer<br />
beliebigen skalaren Funktion f multipliziert, ist f X wieder eine Lösung. Man kann also die Vektoren<br />
des Feldes X beliebig verkürzen oder verlängern. Da die physikalischen Bahnen c dem Vektorfeld<br />
folgen, wirkt sich das nur auf die Geschwindigkeit bezüglich des Bahnparameters aus, nicht aber auf<br />
die Form der Bahnen. Anders als im vorangegangenen Abschnitt ist der Bahnparameter hier aber nicht<br />
die Zeit, sondern ein beliebiger Parameter λ ohne direkte physikalische Bedeutung, während die Zeit<br />
nunmehr eine Koordinate der Bahn ist. Diese Reparametrisierungsinvarianz ist ein einfaches Beispiel<br />
einer Eichinvarianz.<br />
In diesem Formalismus ist die Wirkung einer Trajektorie c durch das Kurvenintegral<br />
S[c] =<br />
�<br />
c<br />
(3.21)<br />
θ (3.22)<br />
gegeben. Damit erhalten die Formen eine konkrete physikalische Bedeutung: Die 1-Form θ angewandt<br />
auf einen Richtungsvektor liefert den Wirkungsbeitrag, wenn sich das Teilchen in der<br />
entsprechenden Richtung bewegt. Die 2-Form Ω = dθ angewandt auf zwei Richtungsvektoren<br />
gibt Auskunft darüber, wie sich bei einer gegebenen Bewegungsrichtung (1. Vektor) eine Änderung<br />
der Bewegungsrichtung (2. Vektor) auf den Verbrauch der Wirkung auswirken würde.<br />
Vereinfacht gesagt teilt diese Form dem Teilchen mit, ob es sich lohnt, eine Kurve zu fliegen.<br />
3.1.5 Raumzeitliche Formulierung<br />
Im letzten Abschnitt haben wir erfolgreich die Zeit als Koordinate interpretieren können. Die<br />
Beschreibung ist aber insofern unsymmetrisch, als dass die konjugierten Impulse der räumlichen<br />
Koordinaten p i unabhängige Freiheitsgrade sind, während der konjugierte ‘Impuls’ der<br />
Zeitkoordiante die fest vorgebene Hamiltonfunktion ist. Man kann aber zu einer symmetrischen<br />
Formulierung kommen, indem man den konjugierten ‘Impuls’ der Zeitkoordinate zunächst als<br />
unabhängigen Freiheitsgrad pt einführt <strong>und</strong> dann erst im Nachhinein mit einer Hamiltonschen<br />
Zwangsbedingung (engl. Hamiltonian constraint) die gewünschte Abhängigkeit zwischen den<br />
Koordinaten erzeugt. Der zur Zeit konjugierte ‘Impuls’ ist natürlich nichts anderes als die Energie<br />
des Teilchens.<br />
Der so definierte Phasenraum Γ ist nun 2m + 2-dimensional <strong>und</strong> wird durch die Koordinaten<br />
t,q 1 ,...,q m , pt, p 1 ,..., p m<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
72 Spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
dargestellt. Auf diesem Phasenraum ist die 1-Form<br />
˜θ = pt dt +<br />
m<br />
∑<br />
i=1<br />
definiert. Ferner ist auf dem Phasenraum die Funktion<br />
definiert. Die Hamiltonsche Zwangsbedingung<br />
H = pt + H0<br />
p i dq i<br />
(3.23)<br />
(3.24)<br />
H = 0 (3.25)<br />
schränkt die möglichen Teilchenbahnen auf eine 2m + 1-dimensionale Hyperfläche im Phasenraum<br />
ein. Diese Hyperfläche ist nichts anderes als der vorsymplektische Phasenraum, den wir<br />
im vorherigen Abschnitt besprochen haben.<br />
3.1.6 Beispiel: Harmonischer Oszillator<br />
Als konkretes Beispiel betrachten wir den harmischen Oszillator mit dem Hamiltonian H0(q, p) =<br />
1<br />
2 (q2 + p 2 ). Der verallgemeinerte Phasenraum ist hier 4-dimensional <strong>und</strong> hat die Koordinaten<br />
t,q, pt, p. Auf diesem Raum ist die 1-Form<br />
˜θ = pt dt + pdq (3.26)<br />
<strong>und</strong> die Funktion<br />
H(t,q, pt, p) = pt + H0 = pt + 1<br />
2 (q2 + p 2 ) (3.27)<br />
erklärt. Die Hamiltonsche Zwangsbedingung H = 0 schränkt die Teilchenbahnen auf den vorsymplektischen<br />
dreidimensionalen Phasenraum ein. Auf diesem nimmt die 1-Form die Gestalt<br />
�<br />
θ = ˜θ<br />
�<br />
� = pdq −<br />
H=0 1<br />
2 (q2 + p 2 )dt (3.28)<br />
an. Durch Differenzieren erhält man die 2-Form<br />
Ω = dθ = (dp ∧ dq) − p(dp ∧ dt) − q(dq ∧ dt) (3.29)<br />
Als 2-Form auf einer dreidimensionalen Hyperfläche existiert ein Nullvektorfeld<br />
Ω(X) = 0. (3.30)<br />
Um dieses Vektorfeld zu bestimmen, stellen wir es über den Basisvektoren des Tangentialraums<br />
dar<br />
t ∂ q ∂ p ∂<br />
X = X + X + X<br />
∂t ∂q ∂ p<br />
(3.31)<br />
<strong>und</strong> lassen die 2-Form darauf wirken.<br />
Rechnung: Dazu müssen wir Ω(∂t), Ω(∂q) <strong>und</strong> Ω(∂p) ausrechnen. Wir beginnen mit Ω(∂t). Die<br />
Schreibweise bedeutet, dass der zweite Eingang der 2-Form mit ∂t belegt wird, der erste Eingang aber<br />
frei bleibt, so dass man als Resultat eine 1-Form erhält. In diesem Fall tragen nur die beiden Terme<br />
bei, die ein dt enthalten, also der zweite <strong>und</strong> dritte, so dass man Ω(∂t) = −pdp − qdq erhält.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
3.2 Spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong> – Minkowski-Raum 73<br />
Das Resultat lautet<br />
Ω(X) = X t (pdp + qdq) + X q (−dp − qdt) + X p (dq − pdt) (3.32)<br />
= (pX t − X q )dp + (qX t X p )dq − (qX q + pX p )dt = 0.<br />
Es müssen also die in Klammern stehenden Ausdrücke verschwinden, wobei nur zwei der drei<br />
Gleichungen unabhängig sind. Das Vektorfeld X ist eichinvariant unter Reskalierung, wir können<br />
also eine Komponente wählen, z.B. X t = 1. Dann ist X q = p <strong>und</strong> X p = −q. Eine Trajektorie<br />
c(λ) = (t(λ),q(λ), p(λ)) folgt diesem Feld mit ˙c = X, also<br />
d<br />
t = 1,<br />
dλ<br />
d<br />
q = p,<br />
dλ<br />
d<br />
p = −q (3.33)<br />
dλ<br />
Die Wahl X t = 1 führt also dazu, dass der Kurvenparameter λ im Gleichschritt mit der Zeit t<br />
zunimmt. Die anderen beiden Gleichungen sind die Hamiltonschen Bewegungsgleichung des<br />
harmonischen Oszillators mit der bekannten Lösung q(t) = Ae it + Be −it .<br />
3.2 Spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong> – Minkowski-Raum<br />
3.2.1 Postulate der speziellen <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
1864 gelang es James Clerk Maxwell, eine vereinheitlichte “Dynamical Theory of the Electromagnetic<br />
Field” zu formulieren, deren Kern die nach ihm benannten Gleichungen<br />
∇ · E = 1<br />
ε0<br />
ρ , ∇ · B = 0, ∇ × E = − ˙B, ∇ × B = µ0j + 1<br />
c 2 ˙E (3.34)<br />
sind. Zusammen mit dem Lorentzschen Kraftgesetz F = q(E + v × B) <strong>und</strong> weiteren Modifikationen<br />
bei Anwesenheit eines Mediums beschreiben diese Gleichungen alle bekannten elektromagnetischen<br />
Phänomene mit großer Genauigkeit. Die Vorhersage der Existenz elektromagnetischer<br />
Wellen war mit Sicherheit einer der größten Erfolge der theoretischen <strong>Physik</strong> des 19.<br />
Jahrh<strong>und</strong>erts.<br />
Im Zuge der rasanten technologischen Umsetzung festigte sich das Vertrauen in diese Gleichungen<br />
sehr schnell. Schon früh realisierte man, dass die Maxwellsche Theorie im Gegensatz<br />
zur Newtonschen <strong>Physik</strong> nicht invariant unter Galilei-Transformationen x ′ = x + vt ist. Daraus<br />
folgerte man, dass die Maxwellschen Gleichungen nur in einem speziellen Bezugssystem korrekt<br />
sein können. Um diesen Sachverhalt zu erklären, postulierte man die Existenz eines Äthers,<br />
also eines den gesamten Raum erfüllenden Mediums elektromagnetischer Natur. Nur in einem<br />
bezüglich dieses Äthers ruhenden Bezugssystem wären die Maxwell-Gleichungen korrekt. Aus<br />
der damaligen Sicht schien es vernünftig zu sein, einen solchen Äther zu postulieren - worin<br />
sonst hätten sich elektromagnetische Wellen ausbreiten können?<br />
Das konkrete Ruhesystem des Äthers war nicht bekannt, doch war man sich sicher, dass es<br />
bestimmt nicht im Mittelpunkt der Erde liegt. So musste es einen saisonal variierenden “Ätherwind”<br />
geben, der im Prinzip experimentell messbar sein sollte. Diese Überlegungen führten<br />
schließlich zu dem berühmten Experiment von Michelson-Morley im Jahre 1887, das bekanntlich<br />
zu einem negativen Ergebnis führte: Ein Ätherwind war nicht feststellbar, vielmehr erwiesen<br />
sich die Maxwell-Gleichungen auch im Bezugssystem der Erde als korrekt.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
74 Spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
Hendrik Anton Lorentz gelang es zwischen 1895 <strong>und</strong> 1904, Transformationen zu konstruieren,<br />
unter denen die Maxwellgleichungen forminvariant sind. Die volle Transformationsgruppe<br />
wurde schließlich von Henri Poincaré 1905 identifiziert, der den Lorentz-Transformationen ihren<br />
Namen gab. Damit ist der wesentliche mathematische Kern der speziellen <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
schon vor Einsteins Arbeiten bekannt. Allerdings gelingt es Lorentz <strong>und</strong> Poincaré nicht, die Ergebnisse<br />
richtig zu interpretieren. Zwar erkennt schon Lorentz Effekte wie die Längenkontraktion.<br />
Zusammen mit George Francis Fitzgerald experimentiert er mit einer ad-hoc-Hypothese,<br />
derzufolge bewegte Objekte kürzer werden, also keine geometrische, sondern eine echte physikalische<br />
Kontraktion erfahren, sobald sie sich relativ zum Äther bewegen. Es bleibt aber bei<br />
einer Hypothese, da mehrere Widersprüche entstehen.<br />
Einsteins Leistung besteht vor allem darin, die Ätherhypothese aufzugeben <strong>und</strong> die Längenkontraktion<br />
als eine beobachterabhängige geometrische Kontraktion des Raumes anstatt der Objekte<br />
zu deuten. Nicht die physikalischen Objekte werden kürzer, sondern der Raum selbst wird<br />
kontrahiert <strong>und</strong> mit ihm die darin eingebetteten physikalischen Objekte. Bereits hier verliert<br />
der Raum teilweise seinen statischen Charakter, in dem er durch Bezugssystemwechsel kontrahierbar<br />
wird. Schnell erkennt Einstein, dass der Preis der Verlust der Gleichzeitigkeit ist. Dem<br />
positivistischen Zeitgeist entsprechend versucht er, die Theorie von möglichst wenigen gr<strong>und</strong>legenden<br />
Postulaten abzuleiten:<br />
• Prinzip der Relativität: Die physikalischen Gesetze nehmen in allen Bezugssystemen<br />
die gleiche Form an<br />
• Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: Licht breitet sich im Vakuum in jedem Bezugssystem<br />
isotrop mit der Geschwindigkeit c aus, unabhängig vom Bewegungszustand der<br />
Lichtquelle.<br />
Mit Bezugssystemen sind hier Intertialsysteme gemeint, in denen sich kräftefreie Körper geradlinig<br />
gleichförmig bewegen.<br />
3.2.2 Lorentz-Transformation<br />
Wir betrachten zunächst eine 1+1-dimensionale Raumzeit <strong>und</strong> konstruieren eine einfache Uhr.<br />
Diese Uhr besteht aus zwei idealen parallelen Spiegeln mit konstantem Abstand, die einen Lichtblitz<br />
hin- <strong>und</strong> zurückreflektieren (siehe Abb. 3.1). Mit S ′ bezeichnen wir das Eigensystem der<br />
Uhr, in dem die beiden Spiegel ruhen. In diesem Eigensystem ‘tickt’ die Uhr mit der Schwingungsdauer<br />
τ ′ = 2a ′ /c, wobei a ′ der Abstand der beiden Spiegel ist.<br />
Diese Uhr bewege sich nun gleichförmig mit der Geschwindigkeit v nach rechts. Im Laborsystem<br />
S misst man den Spiegelabstand a <strong>und</strong> die Schwingungsdauer τ, die nicht mit a ′ bzw. τ ′<br />
übereinstimmen müssen. Wegen der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist die benötigte Zeit τR<br />
<strong>für</strong> den Weg nach rechts länger als die Zeit τL <strong>für</strong> den Weg zurück:<br />
τR =<br />
wobei<br />
a + vτR<br />
c<br />
, τL =<br />
a − vτL<br />
c<br />
, ⇒ τ = τR + τL = a a<br />
+<br />
c + v c − v = 2γ2a c<br />
γ =<br />
1<br />
� 1 − v 2 /c 2<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
, (3.35)<br />
(3.36)
3.2 Spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong> – Minkowski-Raum 75<br />
Abbildung 3.1: Gedankenexperiment zur Lorentztransformation: Auf einem Wagen sind zwei Spiegel montiert,<br />
zwischen denen ein Lichtblitz oszilliert. Im Eigensystem des Wagens S ′ haben die Spiegel den<br />
Abstand a ′ <strong>und</strong> die Laufzeit des Lichts beträgt τ ′ = 2a ′ /c. Der Wagen bewegt sich gegenüber<br />
dem Laborsystem S mit der Geschwindigkeit v. Wie man sehen kann, sind die Laufzeiten τ1 <strong>und</strong><br />
τ2 <strong>für</strong> den Hin- <strong>und</strong> Rückweg unterschiedlich lang. Eine einfache Rechnung zeigt, dass sich das<br />
Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit nur dann etablieren lässt, wenn Längen kontrahiert<br />
(a < a ′ ) <strong>und</strong> Zeitspannen gedehnt werden (τ > τ ′ ).<br />
der <strong>für</strong> die SRT typische Deformationsfaktor ist. Aus der obigen Gleichung ergibt sich sofort<br />
τ<br />
a<br />
τ′<br />
= γ2 . (3.37)<br />
a ′<br />
Dieses Gedankenexperiment zeigt also zunächst nur, wie sich das Verhältnis von Längen <strong>und</strong><br />
Zeiten bei einem Bezugssystemwechsel ändert, nicht jedoch wie sich Längen <strong>und</strong> Zeiten selbst<br />
ändern.<br />
Wir wollen annehmen, dass sich Längen bei einem Bezugssystemwechsel gemäß a ′ = δa verändern,<br />
wobei der Faktor δ nur von der Relativgeschwindigkeit v abhängen soll. Ferner führen<br />
wir in beiden Systemen Koordinaten x,t bzw. x ′ ,t ′ ein, die am Ursprung dasselbe Ereignis repräsentieren.<br />
Um nun ein Ereignis im System S ′ am Ort x ′ zur Zeit t ′ zu charakterisieren, stellen<br />
wir uns in S ′ einen ruhenden von x ′ = 0 bis x ′ reichenden Stab vor. Vom System S aus gesehen<br />
ist die Länge des Stabes um den Faktor δ −1 verändert, zudem bewegt sich er sich mit der<br />
Geschwindigkeit vt. Folglich ist x = δ −1 x ′ + vt, also<br />
x ′ = δ(x − vt). (3.38)<br />
Dieses Transformationsgesetz muss reflexiv sein, also sowohl <strong>für</strong> S ′ (S) als auch <strong>für</strong> S(S ′ ) gelten.<br />
Dabei kehrt sich die Relativgeschwindigkeit v um:<br />
x = δ(x ′ + vt ′ ). (3.39)<br />
Wir betrachten nun einen vom Ursprung ausgehenden Lichtblitz. In beiden Systemen wird dieser<br />
Lichtblitz die Gleichung x = ct bzw. x ′ = ct ′ erfüllen. In diesem Fall reduzieren sich die<br />
obigen Gleichungen zu t = δ(1 + v/c)t ′ = δ 2 (1 + v/c)(1 − v/c)t, so dass δ = ±γ sein muss.<br />
Will man die Orientierung des Koordinatensystems beibehalten, wählt man die positive Lösung.<br />
Damit zeigt sich, dass a ′ = γa ist, der fahrende Eisenbahnwagen wird also vom Laborsystem<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
76 Spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
aus um den Faktor γ verkürzt wahrgenommen. Wegen (3.37) folgt daraus τ = γτ ′ , d.h. Zeitintervalle<br />
werden um den Faktor γ gedehnt wahrgenommen. Auf diese Längenkontraktion <strong>und</strong><br />
Zeitdilatation werden wir später zurückkommen.<br />
Man kann nun Gl. (3.39) in Gl. (3.38) einsetzen, nach t auflösen <strong>und</strong> wiederum die Reflexivität<br />
anwenden. Auf diese Weise erhält man den kompletten Satz der Transformationsgesetze<br />
x = γ (x ′ + vt ′ ) (3.40)<br />
t = γ (t ′ + vx′<br />
)<br />
c2 (3.41)<br />
x ′ = γ (x − vt) (3.42)<br />
t ′ = γ (t − vx<br />
)<br />
c2 (3.43)<br />
Dies sind die speziellen (=nicht-spiegelnden) Lorentztransformationen in 1+1 Dimensionen. Es<br />
handelt sich um lineare Transformationen, die man etwas eleganter durch<br />
bzw. in Matrixform durch<br />
darstellen kann, wobei<br />
die sogenannte Rapidität ist.<br />
ct = ct ′ coshθ + x ′ sinhθ , x = x ′ coshθ + ct ′ sinhθ (3.44)<br />
� �<br />
ct<br />
x<br />
� �� �<br />
coshθ sinhθ ct ′<br />
=<br />
sinhθ coshθ<br />
x ′<br />
(3.45)<br />
θ = atanh(v/c) (3.46)<br />
Um das Verhalten in 3+1 Dimensionen zu verstehen, wiederholen wir das Gedankenexperiment<br />
mit zwei parallelen Spiegeln in der xy-Ebene, die im Eigensystem des Wagens S ′ einen<br />
vertikalen Abstand b ′ besitzen, so dass ein in z-Richtung hin- <strong>und</strong> zurücklaufender Lichtblitz<br />
eine Gesamtlaufzeit τ ′ = 2b ′ /c benötigt. Bewegt sich dieser Wagen wiederum gegenüber dem<br />
Laborsystem S mit der Geschwindigkeit v in x-Richtung, hat der Lichtstrahl einen längeren Weg<br />
2 � b 2 + v 2 (τ/2) 2 zurückzulegen, so dass c 2 τ 2 = 4b 2 + v 2 τ 2 bzw. τ = 2bγ/c ist. Wegen τ = γτ ′<br />
muss dann aber b = b ′ sein, d.h. der vertikale Abstand der Spiegel bleibt unverändert. Folglich<br />
werden die Freiheitsgrade, die senkrecht auf der Relativgeschwindigkeit v stehen, nicht transformiert.<br />
Für v in x-Richtung lautet folglich die Lorentz-Transformation in 3+1 Dimensionen:<br />
⎛ ⎞<br />
ct<br />
⎜ x ⎟<br />
⎝ y ⎠<br />
z<br />
=<br />
⎛<br />
coshθ sinhθ 0<br />
⎞⎛<br />
0 ct<br />
⎜<br />
⎜sinhθ<br />
⎝ 0<br />
coshθ<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0⎟⎜<br />
⎟⎜<br />
0⎠⎝<br />
0 0 0 1<br />
′<br />
x ′<br />
y ′<br />
z ′<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(3.47)<br />
Die Lichtgeschwindigkeit hat hier lediglich die Bedeutung eines Umrechnungsfaktors zwischen<br />
Zeit <strong>und</strong> Länge. Deshalb ist es in der <strong>Relativitätstheorie</strong> üblich, c = 1 zu setzen.<br />
Merke: Zeitabstände werden durch Bezugssystemwechsel um den Faktor γ gedehnt. Räumliche Ab-<br />
stände werden in Richtung der Relativgeschwindigkeit um den Faktor γ −1 kontrahiert. Abstände senk-<br />
recht auf der Relativgeschwindkeit bleiben unverändert.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
3.2 Spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong> – Minkowski-Raum 77<br />
3.2.3 Minkowskiraum <strong>und</strong> Lorentz-Gruppe<br />
1907, also zwei Jahre nach Einsteins Veröffentlichung, erkannte Herrmann Minkowski, dass die<br />
spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong> elegant in einem vierdimensionalen Vektorraum formuliert werden<br />
kann, der die eindimensionale Zeit <strong>und</strong> den dreidimensionalen Ortsraum zu einer vierdimensionalen<br />
“Raumzeit” vereinigt. Dieser sogenannte Minkowskiraum ist ein vierdimensionaler reeller<br />
Vektorraum R 3+1 , dessen Vektoren als Vierervektoren bezeichnet werden. In der Standardbasis<br />
sind die Komponenten eines Vierervektors x durch (x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ) := (ct,x,y,z) gegeben. Dabei<br />
ist es üblich, <strong>für</strong> die Indices der Komponenten x µ griechische Indices von 0...3 zu verwenden,<br />
während lateinische Indices weiterhin <strong>für</strong> die räumlichen Komponenten 1...3 vorbehalten sind.<br />
Der Minkowskiraum R 3+1 ist mit einem indefiniten Pseudoskalarprodukt<br />
x · y = η(x,y) = ηµνx µ y ν<br />
ausgestattet, wobei die Komponenten des metrischen Tensors η in der Standardbasis durch<br />
η µν = ηµν<br />
⎛<br />
−1<br />
⎜<br />
= ⎜<br />
⎝<br />
1<br />
1<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(3.48)<br />
(3.49)<br />
gegeben sind. 3 Man verwendet hier das Symbol η statt g, um anzudeuten, dass es sich um eine<br />
flache (gravitationsfreie) Raumzeit handelt. Die Signatur mit dem Minuszeichen in der nullten<br />
Komponente ist das einzige Element der Theorie, das der Zeit eine gesonderte Rolle zuschreibt. 4<br />
Lorentz-Transformationen sind nichts anderes als Koordinatentranformationen 5<br />
Λ : x → x ′ : x µ ′ = Λ µ νx ν , (3.50)<br />
unter denen dieses Skalarprodukt invariant ist, ähnlich wie das gewöhnliche Skalarprodukt des<br />
R 3 unter Drehungen invariant ist. Aus x · y = (Λx) · (Λy) folgt die Bedinungsgleichung<br />
Λ T ηΛ = η bzw. Λ ρ<br />
µ ηρτΛ τ ν = ηµν . (3.51)<br />
Diese Transformationen bilden eine Gruppe, die sogenannte Lorentz-Gruppe, welche die räumlichen<br />
Drehungen <strong>und</strong> die sogenannten Lorentz-Boosts, also Bezugssystemwechsel, umfasst.<br />
Lorentztransformationen sind passive Transformationen, d.h. sie beschreiben einen Wechsel<br />
zwischen Koordinatensystemen, nicht jedoch eine Veränderung der physikalischen Realität. Ein<br />
Koordinatensystem ist dabei nichts anderes als ein Bezugssystem eines Beobachters. Lorentztransformationen<br />
verknüpfen eine bestimmte Klasse von Koordinatensystemen, nämlich solche,<br />
in denen der metrische Tensor die oben angegebene Gestalt hat. Solche Bezugssysteme sind<br />
beschleunigungsfrei <strong>und</strong> werden als Intertialsysteme bezeichnet.<br />
3 Zum Begriff der Metrik vgl. Abschnitt 1.6.1 auf S. 24.<br />
4 In älteren Büchern wird manchmal noch die Zeit t durch eine imaginäre Zeit it ersetzt wird. Mit diesem Trick<br />
wird das Minuszeichen eingeführt, ohne überhaupt einen metrischen Tensor definieren zu müssen. Allerdings<br />
lässt sich diese Notation nicht auf die allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong> übertragen, weil dort beliebige metrische<br />
Tensoren auftreten können.<br />
5 vgl. Abschnitt 2.3.6 auf S. 53, wobei Λ µ ν der Transformationsmatrix M i j entspricht.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
78 Spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
Abbildung 3.2: Die Poincaré-Gruppe <strong>und</strong> ihre wichtigsten Untergruppen (siehe Text).<br />
Bemerkung: Für die jeweiligen Gruppen <strong>und</strong> Untergruppen werden folgende Bezeichnungen ver-<br />
wendet (siehe Abb. 3.2). Die Gesamtheit aller metrikerhaltender Transformation, also Drehungen,<br />
Lorentz-Boosts <strong>und</strong> Spiegelungen, bezeichnet man als Poincaré-Gruppe. Die Untergruppen orientie-<br />
rungserhaltender Transformationen mit Determinante +1 heissen speziell <strong>und</strong> werden durch ein vor-<br />
angestelltes ‘S’ gekennzeichnet. Die Untergruppe von Transformationen, welche die Orientierung des<br />
Zeitstrahls unverändert lassen, heissen orthocron <strong>und</strong> werden durch ein hochgestelltes ‘+’ markiert.<br />
Ohne nähere Angabe verstehen wir unter einer Lorentz-Transformation ein Element der speziellen<br />
orthochronen Lorentz-Gruppe SO + (3,1).<br />
3.2.4 Lorentz-Algebra<br />
Um die Generatoren der Lorentz-Gruppe SO + (3,1) zu bestimmen, betrachten wir infinitesimale<br />
Transformationen<br />
Λ = � + λ bzw. Λ µ ν = δ µ ν + λ µ ν , (3.52)<br />
wobei λ ≪ � ist. Die Bedingungsgleichung ΛT ηΛ = η führt auf λ T η = −ηλ, d.h. λ hat die<br />
Form<br />
λ µ ⎛<br />
0 a b<br />
⎞<br />
c<br />
ν<br />
⎜<br />
= ⎜a<br />
⎝b<br />
0<br />
−d<br />
d<br />
0<br />
e ⎟<br />
f ⎠<br />
(3.53)<br />
c −e − f 0<br />
<strong>und</strong> ist demzufolge eine Linearkombination der folgenden 6 linear unabhängigen Generatoren<br />
⎛<br />
⎜<br />
λ (01) = ⎜ 1<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
λ (03) = ⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
λ (13) = ⎜<br />
⎝<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
−1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
λ (02) = ⎜<br />
⎝ 1<br />
⎛<br />
⎜<br />
λ (12) = ⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
1<br />
1<br />
−1<br />
⎜<br />
λ (23) = ⎜<br />
⎝ −1<br />
1<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(3.54)
3.2 Spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong> – Minkowski-Raum 79<br />
Dabei gibt der Doppelindex in Klammern die Ebene an, in der die Transformation wirkt. Die<br />
eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe SO + (3,1) ist damit eine 6-dimensionale Lie-Gruppe,<br />
da sie 6 linear unabhänge Generatoren besitzt. Die Transformationen Λ erhält man durch An-<br />
wendung der Exponentialfunktion<br />
Λ = exp �<br />
∑<br />
0≤α
80 Spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
3.3 Relativistische Mechanik<br />
3.3.1 Hamiltonsche Systeme<br />
Ein mechanisches Hamiltonsches System ist definiert durch einen Konfigurationsraum, beschrieben<br />
durch die Variablen q α , der durch Hinzunahme der generalisierten Impulse p α zum Phasenraum<br />
Γ erweitert wird, sowie durch eine Funktion H({q α , p α }). <strong>Physik</strong>alische Teilchenbahnen<br />
sind Kurven c im Phasenraum, die folgenden Prinzipien unterliegen:<br />
• Hamiltonian constraint:<br />
Alle physikalischen Bahnen c liegen in der durch H = 0 gegebenen Hyperfläche<br />
Σ.<br />
• Prinzip der kleinsten Wirkung:<br />
Eine Kurve c in Σ vom Punkt {qα 1 } zum Punkt {qα 2 } ist eine physikalische<br />
Lösung, wenn das Wirkungsfunktional<br />
� �<br />
S[c] = θ =<br />
c c∑ α<br />
p α dq α<br />
eingeschränkt auf die Hyperfläche Σ extremal ist.<br />
Jedes elementare System der klassischen <strong>Physik</strong>, ob Punktteilchen oder Feldtheorie, ob relativistisch<br />
oder nichtrelativistisch, kann mit Hilfe einer Hamiltonschen Formulierung beschrieben<br />
werden. Das liegt vermutlich an der Tatsache, dass die Hamiltonsche Theorie als klassischer<br />
Grenzfall der Quantentheorie im Limes ¯h → 0 betrachtet werden kann.<br />
3.3.2 Hamiltonsche Bewegungsgleichungen<br />
Wie bereits im Abschnitt 3.1.5 auf S. 71 angedeutet, können die Bewegungsgleichungen elegant<br />
in einem geometrischen Formalismus ausgedrückt werden. Dazu betrachten wir die Differentialform<br />
Ω = dθ = ∑ dp<br />
α<br />
α ∧ dq α<br />
(3.66)<br />
eingeschränkt auf die Hyperfläche Σ. Diese 2m − 1-Form hat eine ungerade Stufe <strong>und</strong> besitzt<br />
deshalb ein nichttriviales Nullvektorfeld X, d.h.<br />
dθ(X) = 0, (3.67)<br />
wobei die Gleichung zu lesen ist als dθ(X,Y) = 0 <strong>für</strong> alle Tangentialvektoren Y in Σ. Die<br />
physikalisch realisierten Bahnen folgen dem Nullvektorfeld X, sind also Orbits dieser Differentialform.<br />
Beweisskizze: Man kann das Prinzip der kleinsten Wirkung direkt mit Differentialformen beweisen.<br />
Sei c eine Bahn auf Σ, die dem obigen Vektorfeld X folgt, <strong>und</strong> c ′ eine infinitesimal variierte Bahn.<br />
Wie üblich werden die Koordinaten an den Endpunkten bei der Variation festgehalten, nicht jedoch<br />
die Impulse, d.h. die beiden Kurven haben geringfügig unterschiedliche Endpunkte im Phasenraum.<br />
Diese werden mit zwei weitere Kurvensegmente δc1 <strong>und</strong> δc2 miteinander verb<strong>und</strong>en. Verbindet man<br />
alle Teile, bildet δc1,c,δc2,−c ′ eine geschlossene Kurve auf Σ, die ein Gebiet G ⊂ Σ in Form eines<br />
länglichen Streifens umschließt. Es ist plausibel, dass das Flächenintegral �<br />
G Ω in erster Ordnung<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
3.3 Relativistische Mechanik 81<br />
gleich Null ist, also verschwindet nach dem Stokeschen Theorem auch �<br />
∂G θ entlang dieser geschlossenen<br />
Kurve. Da die Koordinaten an den Endpunkten bei der Variation festgehalten werden, liefert<br />
dieses Integral auf den Ergänzungssegementen δc1,2 keinen Beitrag, d.h.<br />
�<br />
c<br />
�<br />
θ +<br />
−c ′<br />
�<br />
θ = 0 ⇒ δS[c] = δ θ = 0.<br />
c<br />
Die obige Formulierung mit Differentialformen hat den Vorteil, dass sie automatisch invariant<br />
unter kanonischen Transformationen ist. In vielen Fällen ist es aber praktischer, in einem gegebenen<br />
Koordinatensystem zu arbeiten. Dazu wird die Bahn c des Teilchens mit einem Parameter<br />
τ ∈ (τa,τb) parametrisiert. Es gibt wie immer viele mögliche Parametrisierungen, - der Parameter<br />
τ hat deshalb keine direkte physikalische Bedeutung, insbesondere nicht die Bedeutung einer<br />
Zeit. Das Wirkungsfunktional ist gegeben durch das Kurvenintegral<br />
S[c] =<br />
�<br />
c<br />
θ =<br />
� τb<br />
τa<br />
dτ ∑ α<br />
p α (τ) dqα (τ)<br />
. (3.68)<br />
dτ<br />
Dieses Funktional soll nun auf der Hyperfläche Σ, d.h. unter der Nebenbedingung H = 0, extremalisiert<br />
werden. Dies erreicht man wie üblich mit der Methode der Lagrangeschen Multiplikatioren,<br />
wobei man <strong>für</strong> jeden Bahnpunkt einen eigenen Multiplikator λ(τ) benötigt. Das<br />
Wirkungsintegral lautet dann<br />
�<br />
�<br />
S[c] � =<br />
Σ<br />
� τb<br />
τa<br />
�<br />
dτ λ(τ)H(q 1 ,...,q m , p 1 ,..., p m ) +∑<br />
α<br />
p α (τ) dqα (τ)<br />
�<br />
dτ<br />
Standardmethoden der Variationsrechnung führen auf die Differentialgleichungen<br />
H = 0,<br />
dq α<br />
dτ<br />
∂H<br />
= λ(τ) ,<br />
∂ pα dp α<br />
dτ<br />
(3.69)<br />
∂H<br />
= −λ(τ) , (3.70)<br />
∂qα Die Multiplikatorfunktion λ(τ) ist die sogenannte Verlaufsfunktion (engl. lapse function), mit<br />
der die Freiheit bei der Parametrisierung der Kurve kompensiert wird. Ändert man also die<br />
Parametrisierung, wird sich auch die lapse function genau so ändern, dass die Bahn des Teilchens<br />
unverändert bleibt. Diese Parametrisierungsinvarianz kann als ein einfaches Beispiel einer<br />
Eichinvarianz interpretiert werden. Eine oft gewählt spezielle Eichung ist die lapse=1 gauge<br />
λ(τ) = 1, mit der die Bewegungsgleichungen die übliche Form der Hamiltonschen Gleichungen<br />
annehmen.<br />
H = 0,<br />
dq α<br />
dτ<br />
∂H<br />
= ,<br />
∂ pα dp α<br />
dτ<br />
= − ∂H<br />
∂q α<br />
(3.71)<br />
Der Hamiltonformalismus ergibt sich als klassischer Grenzfall der Quantenphysik. Ob ein<br />
System relativistisch oder nichtrelativistisch ist, hängt nicht vom Hamiltonformalismus, sondern<br />
von der gewählten Geometrie <strong>und</strong> der Invarianzgruppe von H ab. Ein System ist<br />
nichtrelativistisch ⇔ H = pt + H0<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
82 Spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
Abbildung 3.3: Schematische Skizze der wesentlichen Komponenten klassischer Theorien. Im Zentrum steht der<br />
Hamiltonsche Formalismus als Näherung der Quantenphysik im Limes ¯h → 0. Ob ein System relativistisch<br />
ist oder nicht, hängt von der gewählten Geometrie (Metrik) des Konfigurationsraums<br />
<strong>und</strong> damit der Struktur des gewählten Phasenraums ab. Die konkreten physikalischen Eigenschaften<br />
(Harmonischer Oszillator, Wasserstoffatom usw.) werden durch eine Hamiltonsche Zwangsbedingung<br />
H = 0 implementiert.<br />
wobei H0 die gewöhnliche nichtrelativistische Hamiltonfunktion ist. In diesem Fall haben die<br />
Bewegungsgleichungen <strong>für</strong> t <strong>und</strong> pt die Form<br />
∂ ∂H<br />
t =<br />
∂τ ∂ pt<br />
= 1,<br />
∂<br />
∂τ pt = − ∂H<br />
. (3.72)<br />
∂qt<br />
Die erste Gleichung besagt, dass die Zeit t entkoppelt <strong>und</strong> nichts weiter tut als mit konstanter Geschwindigkeit<br />
1 bezüglich des Parameters τ voranzuschreiten, so dass man τ = t setzen darf. Die<br />
zweite Gleichung besagt, dass man pt als negative Energie −E interpretieren darf, die erhalten<br />
ist, sofern H0 nicht explizit von der Zeit abhängt. Die übrigen Bewegungsgleichungen reduzieren<br />
sich auf die üblichen Hamiltonschen Bewegungsgleichungen in der nichtrelativistischen <strong>Physik</strong>.<br />
3.3.3 Relativistisches freies Teilchen<br />
Im Rahmen der speziellen <strong>Relativitätstheorie</strong> ist ein relativistisches mechanisches System definiert<br />
durch<br />
• einen Konfigurationsraum mit Minkowski-Metrik,<br />
• durch Hinzunahme der generalisierten Impulse einen dazugehörigen Phasenraum,<br />
• eine skalare Funktion H auf dem Phasenraum.<br />
Lorenz-Invarianz kommt dadurch zum Ausdruck, dass die Funktion H skalar ist, also invariant<br />
unter Wechseln des Koordinatensystems bezüglich der gewählten Metrik.<br />
Wir betrachten zunächst ein freies relativistisches Teilchen. Der Konfigurationsraum ist der<br />
4-dimensionale Minkowskiraum, in dem wir ein Koordinatensystem x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 wählen. Dieser<br />
Konfigurationsraum wird durch Hinzunahme der generalisierten Impulse p 0 , p 1 , p 2 , p 3 zu einem<br />
relativistischen 8-dimensionalen Phasenraum erweitert. Punkte in diesem Phasenraum werden<br />
also durch den Viererortsvektor x = (x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ) <strong>und</strong> den Viererimpuls p = (p 0 , p 1 , p 2 , p 3 ) charakterisiert.<br />
Die Hamiltonfunktion H eines freien relativistischen Teilchens muss translationsinvariant<br />
(x-unabhängig) <strong>und</strong> skalar sein, d.h. konstant oder durch Kontraktion von p gebildet sein.<br />
Die einzige Möglichkeit ist<br />
H(p 0 , p 1 , p 2 , p 3 ) = p · p + m 2 c 2 = p µ pµ + m 2 c 2 . (3.73)<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
3.3 Relativistische Mechanik 83<br />
Die Konstante m bezeichnet man als Masse des Teilchens. Die Bewegungsgleichungen <strong>für</strong> dieses<br />
Problem lauten:<br />
p µ pµ = −m 2 c 2 ,<br />
d<br />
dτ pµ = 0,<br />
d<br />
dτ xµ = p µ<br />
mit der Lösung<br />
(3.74)<br />
x(τ) = pτ + x0 bzw. x µ (τ) = p µ τ + x µ<br />
0 . (3.75)<br />
Die Hamiltonian constraint H = 0 impliziert, dass der Viererimpuls auf der Impulsschale (engl.<br />
momentum shell) p 2 = −m 2 c 2 liegen muss. Man beachte, dass τ weder die Zeit noch die Eigenzeit<br />
des Teilchens ist.<br />
Bemerkung: Um im gewählten Bezugssystem den Teilchenort �x als Funktion der tatsächlich gemessenen<br />
Zeit t zu erhalten, muss der artifizielle Parameter τ durch Auswertung der Hamiltonschen<br />
Zwangsbedingung eliminiert werden. In Komponenten lautet die obige Bewegungsgleichung<br />
⎛ ⎞<br />
ct<br />
⎜ x ⎟<br />
⎝ y ⎠<br />
z<br />
=<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
E/c ct0<br />
⎜ px ⎟ ⎜<br />
⎟<br />
⎝ py ⎠τ + ⎜ x0<br />
⎟<br />
⎝ y0 ⎠ . (3.76)<br />
pz z0<br />
Die erste Komponente entspricht der Gleichung t = t0 + E<br />
c 2 τ, wobei E die Teilchenenergie ist. Die<br />
Teilchenenergie erhält man aus der Hamiltonschen Zwangsbedingung −m 2 c 2 = p µ pµ = �p 2 − E 2 /c 2<br />
mit der positiven Lösung E = � p 2 c 2 + m 2 c 4 . Durch Einsetzen lässt sich τ eliminieren:<br />
�p<br />
�x(t) = �<br />
�p 2<br />
c2 + m2 t (3.77)<br />
An diesem Ergebnis sieht man: Auch wenn man einem Teilchen wie am CERN durch enorme Beschleunigung<br />
einen riesigen Impuls gibt, wird das Teilchen nie die Lichtgeschwindigkeit überschreiten<br />
können.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
4 Differentialgeometrie<br />
4.1 Elementare Konzepte der Differentialgeometrie<br />
4.1.1 Mannigfaltigkeiten<br />
Die Differentialgeometrie befasst sich mit der Geometrie gekrümmter<br />
Räume, sogenannter Mannigfaltikeiten. Ein einfaches<br />
Beispiel ist die Oberfläche einer Kugel. Eine Mannigfaltigkeit<br />
M besitzt eine bestimmte Dimension n <strong>und</strong> hat die<br />
besondere Eigenschaft, dass sie auf kleinen Abständen nahezu<br />
wie ein R n aussehen, ähnlich wie die Meeroberfläche lokal<br />
wie eine Ebene aussieht.<br />
Genauer: Eine reelle (komplexe) n-dimensionale Mannigfaltigkeit M ist ein Hausdorff-Raum, in<br />
dem jeder Punkt eine Umgebung besitzt, die homöomorph zum R n (C n ) ist. Ein Homöomorphismus<br />
ist eine bijektive stetige Abbildung, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.<br />
Oft ist eine solche Mannigfaltigkeit in einen höherdimensionalen ungekrümmten Vektorraum<br />
eingebettet, so wie z.B. die oben abgebildete zweidimensionale Kugeloberfläche in den R 3 eingebettet<br />
ist. Bei der Entwicklung der Differentialgeometrie hat es sich allerdings herausgestellt,<br />
dass es auch sogenannte abstrakte Mannigfaltigkeiten gibt, die sich nicht einbetten lassen. Wie<br />
wir sehen werden, ist die 4-dimensionale gekrümmte Raumzeit der ART eine solche abstrakte<br />
Mannigfaltigkeit, die sich nicht in einen übergeordneten 5-dimensionalen ungekrümmten Vektorraum<br />
einbetten lässt. Um solche Mannigfaltigkeiten mathematisch beschreiben zu können,<br />
muss die Differentialgeometrie so formuliert werden, dass sie ohne einen Einbettungsraum auskommt.<br />
Auf das Beispiel einer Kugeloberfläche bezogen würde das bedeuten, dass man deren<br />
gekrümmte Geometrie beschreibt, ohne sich dabei in radialer Richtung von der Kugeloberfläche<br />
zu entfernen. Die moderne Differentialgeometrie sucht also nach einer intrinsischen Beschreibung<br />
des gekrümmten Raums, ohne dabei auf einen umgebenden Einbettungsraum zurückgreifen<br />
zu müssen. Eine intrinsische Krümmung wäre z.B. daran erkennbar, dass die Winkelsumme<br />
in einem Dreieck ungleich 180 ◦ ist (siehe Abbildung).<br />
Bemerkung: Nicht jede in einem Einbettungsraum gekrümmte Fläche ist auch intrinsich gekrümmt.<br />
Ein Dreieck auf einem Zylinder hat beispielsweise immer die Winkelsumme 180 ◦ . Ein auf Zylinde-<br />
roberfläche gefangenes Lebewesen, dem die dritte Dimension nicht zugänglich ist, würde also keine<br />
lokale Krümmung feststellen können.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
86 Differentialgeometrie<br />
4.1.2 Karten<br />
Im R n sind wir gewohnt, Punkte durch Angabe eines Vektors in einem bestimmten Koordinatensystem<br />
zu charakterisieren, wir sagen z.B. dass sich ein Teilchen am Ort x ∈ R n befindet.<br />
Gleiches gilt <strong>für</strong> den Minkowskiraum der speziellen <strong>Relativitätstheorie</strong>, in dem Ereignisse<br />
(Punkte) durch Vierervektoren repräsentiert werden. Auf einer Mannigfaltigkeit ist es dagegen<br />
nicht so einfach, die Lage eines Punktes zu beschreiben. Wenn ein Einbettungsraum zur Verfügung<br />
steht, kann man zwar weiterhin Vektoren benutzen, z.B. kann man die Oberfläche einer<br />
Kugel durch die Menge der Vektoren {r} mit ||r−r0|| = R beschreiben, die vom Mittelpunkt zur<br />
Oberfläche zeigen. Will man jedoch auf einen umgebenden Einbettungsraum verzichten, versagt<br />
dieses Konzept, z.B. liegt der Mittelpunkt einer Kugel außerhalb ihrer Oberfläche. Die Vektoren<br />
müssten gewissermaßen innerhalb der Mannigfaltigkeit definiert sein, doch wie soll man mit<br />
verbogenen Vektoren arbeiten?<br />
Um dieses Problem zu umgehen, bildet man die<br />
Mannigfaltigkeit auf Karten ab, ähnlich wie die<br />
Erdoberfläche auf Landkarten abgebildet wird.<br />
Da die Mannigfaltigkeit auf kurzen Distanzen<br />
annähernd eben ist, gibt es nämlich zu jedem<br />
Punkt p ∈ M eine Umgebung U(p) ⊂ M mit<br />
einer Abbildung ϕ : U → R n . Eine solche Karte<br />
wird auch als lokales Koordinatensystem bezeichnet.<br />
Oft reicht eine einzige Karte nicht<br />
aus, um die gesamte Mannigfaltigkeit abzubilden,<br />
man braucht deshalb eine Kollektion mehrerer<br />
sich überlappender Karten, mit der die gesamte<br />
Mannigfaltigkeit abgedeckt wird. Eine solche<br />
Kollektion nennt man einen Atlas.<br />
Genauer: Eine Karte (auch lokales Koordinatensystem genannt) ist definiert als ein Paar (U,ϕ) bestehend<br />
aus einer offenen Teilmenge U ⊂ M <strong>und</strong> einem Homöomorphismus ϕ : U → R n . Eine Menge<br />
heißt offen. wenn es zu jedem Punkt p ∈ U eine Umgebung gibt, die vollständig in U liegt, wenn U<br />
also gewissermaßen keinen Rand hat. Eine Menge {Ui} von offenen Teilmengen von M heißt offene<br />
Überdeckung von M , wenn �<br />
iUi = M ist. Mit der Offenheit wird sichergestellt, dass aneinandergrenzende<br />
Teilmengen überlappen, also eine nicht-leere Schnittmenge besitzen. Eine Kollektion von<br />
Karten {(Uiϕi)}, deren Teilmengen Ui die Mannigfaltigkeit M offen überdecken, heißt Atlas von M .<br />
Atlanten geben uns also die Möglichkeit, eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit auf Teilgebiete<br />
des R n abzubilden <strong>und</strong> damit auf gewohnte Weise darzustellen. Atlanten sind nicht eindeutig, da<br />
es unendlich viele mögliche Projektionen <strong>und</strong> Aufteilungen gibt. Will man also eine abstrakte<br />
Eigenschaft einer Mannigfaltigkeit mit Hilfe von Karten berechnen, muss das Ergebnis von der<br />
gewählten Darstellung unabhängig sein, also <strong>für</strong> alle Atlanten übereinstimmen.<br />
Bereits die Kugeloberfläche S 2 ⊂ R 3 lässt sich nicht mit einer einzigen Karte abbilden, sondern<br />
man benötigt mindestens zwei Karten, z.B. <strong>für</strong> die Nord- <strong>und</strong> Südhalbkugel. In der Differentialgeometrie<br />
sind aneinandergrenzende Karten so beschaffen, dass sie überlappen. Diese<br />
Überlapplungsgebiete stellen sicher, dass man auf einfache Weise von einer Karte zur anderen<br />
wechseln kann. Mit Kartenwechseln werden wir uns im folgenden Abschnitt auseinandersetzen.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
4.1 Elementare Konzepte der Differentialgeometrie 87<br />
Abbildung 4.1: Kartenwechsel: Die Abbildung zeigt eine Mannigfaltigkeit mit zwei Karten (Uα,ϕα) <strong>und</strong><br />
(U β ,ϕ β ), deren offene Urbilder überlappen, also eine offene nicht-leere Schnittmenge Uα ∩U β<br />
besitzen. Ein Kartenwechsel ist eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Bildmengen<br />
ϕα(Uα ∩U β ) <strong>und</strong> ϕ β (Uα ∩U β ), die sich wie oben dargestellt durch Hintereinanderausführung<br />
von ϕ −1<br />
α <strong>und</strong> ϕ β konstruieren lässt.<br />
4.1.3 Kartenwechsel<br />
Wir betrachten nun zwei Karten eines Atlanten, deren Urbildmengen Uα <strong>und</strong> U β auf der Mannigfaltigkeit<br />
überlappen (siehe Abb. 4.1), d.h. die gemeinsame Schnittmenge Us := Uα ∩U β wird<br />
in beiden Karten dargestellt. Wie in der Abbildung illustriert, kann man die beiden Bildmengen<br />
ϕα(Us) ∈ R n <strong>und</strong> ϕ β (Us) ∈ R n mit Hilfe der Abbildung<br />
f := ϕ β ◦ ϕ −1<br />
α<br />
<strong>und</strong> ihrem Inversen f −1 := ϕα ◦ ϕ −1<br />
β aufeinander abbilden. Eine solche Abbildung ist per Konstruktion<br />
stetig <strong>und</strong> wird als Koordinatentransformation bezeichnet.<br />
Bemerkung: Obwohl eine Koordinatentransformation f Teilmengen<br />
von R n nach R n abbildet, also einen gewöhnlichen Vektorraum auf sich<br />
selbst, heißt das nicht, dass f linear ist. Beispielsweise überlappen die<br />
beiden auf der rechten Seite zu sehenden Karten im Bereich der Ant-<br />
arktis. Die Antarktis hat aber in der oben in der Mercator-Projektion<br />
eine extrem verzerrte Form, die sich stark von der unten dargestellten<br />
Draufsicht unterscheidet. Die Abbildung f , die zwischen diesen beiden<br />
Darstellungen vermittelt, ist also in diesem Fall nichtlinear.<br />
Zwei Karten heißen C k -kompatibel, wenn die Koordinatentransformation zwischen ihnen k-fach<br />
differenzierbar sind, wenn also alle partiellen Ableitungen k-ter Ordnung existieren. Eine Mannigfaltigkeit<br />
heißt differenzierbar bzw. glatt, wenn die Karten ihrer Atlanten C ∞ -kompatibel<br />
sind, Koordinatentransformationen also unendlich oft differenziert werden können. Eine Mannigfaltigkeit<br />
heißt analytisch, wenn die Koordinatentransformationen Taylor-entwickelt werden<br />
können.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
(4.1)
88 Differentialgeometrie<br />
Abbildung 4.2: Funktion f : M → R <strong>und</strong> ihre Darstellung f ◦ ϕ −1 auf einer Karte (U,ϕ).<br />
4.1.4 Funktionen auf Mannigfaltigkeiten<br />
Auf einer Mannigfaltigkeit M können Funktionen f erklärt sein, die jedem Punkt p ∈ M einen<br />
Wert f (p) zuordnen. Die Temperatur auf der Erdoberfläche ist beispielsweise eine Abbildung<br />
f : M → R. Natürlich kann man die Funktionswerte auch in die Karten der Mannigfaltigkeit<br />
eintragen. Eine Abbildung f : M → R induziert auf diese Weise eine entsprechende Funktion<br />
F = f ◦ ϕ −1 : ϕ(U) → R, die einen Ort x auf der Karte auf den dazugehörigen Funktionswert<br />
F(x) := f (ϕ −1 (x)) abbildet. Diese Abbildungsverkettung ist anschaulich in Abb. 4.2 dargestellt.<br />
Eine Funktion f : Up → R auf einer Umgebung p ∈ Up ⊂ M heißt differenzierbar im Punkt p,<br />
wenn die zugeordnete Funktion auf der Karte F : ϕ(Up) → R an der entsprechenden Stelle ϕ(p)<br />
im gewöhnlichen Sinne differenzierbar ist. Man kann beweisen, dass der Begriff der Differenzierbarkeit<br />
darstellungsunabhängig, also unabhängig von der Wahl der Karten ist. Die Menge<br />
aller im Punkt p differenzierbaren Funktionen f : Up → R wollen wir mit Fp(M ) bezeichnen.<br />
Eine Funktion f : M → R heißt (global) differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt p ∈ M differenzierbar<br />
ist. Die Menge aller differenzierbaren Funktionen auf M wollen wir im folgenden<br />
mit F (M ) bezeichnen.<br />
4.1.5 Tangentialraum <strong>und</strong> Kotangentialraum<br />
Der Steuermann bekommt die Anweisung, mit 20<br />
Knoten Geschwindigkeit in nordwestliche Richtung<br />
zu fahren. Diese Information lässt sich als Vektor<br />
v in einer Ebene interpretieren, die Tangentialraum<br />
genannt wird.<br />
Wie oben dargestellt bezieht sich der Tangentialraum auf einen bestimmten Punkt p der Mannigfaltigkeit<br />
<strong>und</strong> wird deshalb mit TpM (Tangentialraum von M in p) bezeichnet. Man darf<br />
sich TpM als einen in p tangential angehefteten lokalen Raum vorstellen, der im Gegensatz zur<br />
Mannigfaltigkeit immer flach, also isomorph zum R n ist.<br />
Die anschauliche Darstellung suggeriert, dass der Tangentialraum Teilmenge eines umgebenden<br />
Einbettungsraums sei. Wie aber definiert man den Tangentialraum, wenn kein Einbettungsraum<br />
zur Verfügung steht? Vektoren, die aus der Mannigfaltigkeit ‘herausragen’ machen hier<br />
keinen Sinn. Wie also lässt sich die Geschwindigkeit eines Schiffes auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit<br />
charakterisieren? Die Lösung dieses Problems wurde bereits in Abschnitt 2.3.1 auf<br />
S. 46 angesprochen <strong>und</strong> soll hier noch einmal in Erinnerung gerufen werden.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
4.1 Elementare Konzepte der Differentialgeometrie 89<br />
Richtungsableitungen <strong>und</strong> Differentiale:<br />
Der Weg des Schiffes als Funktion der Zeit wird durch eine parametrisierte glatte Bahnkurve<br />
c : R → M beschrieben, wobei wir ohne Einschränkung annehmen wollen, dass c(0) = p ist.<br />
Naiv würde man zunächst versuchen, die Geschwindigkeit des Schiffes als Ableitung<br />
c ′ (0) = d<br />
dt c(t)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� t=0<br />
c(τ) − c(0)<br />
= lim<br />
τ→0 τ<br />
zu definieren, was aber unmöglich ist, da die Mannigfaltigkeit keine Vektorraumstruktur besitzt,<br />
so dass die Differenz von Punkten c(τ) − c(0) gar nicht erklärt ist.<br />
Um diese Schwierigkeit zu umgehen, stellt man sich die Frage, wie sich Funktionen auf der<br />
Mannigfaltigkeit entlang der Bahn ändern, wie sich also beispielsweise die Temperatur beim<br />
Durchfahren des Punktes p als Funktion der Zeit ändert. Für eine in p differenzierbare Funktion<br />
f ∈ F (M ) ist nämlich <strong>für</strong> die verkettete Abbildung f ◦ c : R → R die Ableitung<br />
∂c f := d<br />
dt<br />
�<br />
�<br />
f (c(t))<br />
wohldefiniert (vgl. Gl. 2.64). Für einen gegebenen Punkt p ∈ M hängt der Wert dieser Ableitung<br />
offenbar nur von den lokalen Eigenschaften der Kurve c <strong>und</strong> der Funktion f im Punkt p ab,<br />
nicht aber von deren Beschaffenheit außerhalb dieses Punktes. Man kann deshalb <strong>für</strong> gegebenes<br />
p sowohl <strong>für</strong> die Bahnen als auch <strong>für</strong> die Funktionen Äquivalenzklassen bilden:<br />
� t=0<br />
(4.2)<br />
(4.3)<br />
• Äquivalente Bahnen: c1 ∼ c2 ⇔ ∂c1 f = ∂c2 f ∀ f ∈ Fp(M )<br />
Zwei Bahnen heißen äquivalent in p, wenn sie mit gleicher Richtung <strong>und</strong> Geschwindigkeit<br />
den Punkt p passieren. Die Menge der entsprechenden Äquivalenzklassen bezeichnet<br />
man als Tangentialraum TpM , dessen Elemente Xp ∈ TpM als Richtungsableitungen interpretiert<br />
werden. Man kann zeigen, dass der Tangentialraum TpM ein Vektorraum ist.<br />
• Äquivalente Funktionen: f1 ∼ f2 ⇔ Xp f1 = Xp f2 ∀Xp ∈ TpM.<br />
Zwei Funktionen heißen äquivalent in p, wenn sie in all ihren Richtungsableitungen in<br />
p übereinstimmen. Die Menge der entsprechenden Äquivalenzklassen bezeichnet man als<br />
Kotangentialraum T ∗ p M . Dessen Elemente d fp ∈ T ∗ p M werden als Differentiale interpretiert,<br />
also als 1-Formen auf dem Tangentialraum mit der Wirkungsweise<br />
Tangential- <strong>und</strong> Kotangentialbündel<br />
Jedem Punkt p ∈ M der Mannigfaltigkeit wird ein individueller<br />
Tangentialraum TpM zugeordnet. Obwohl all diese Räume isomorph<br />
zum R n sind, handelt es sich um verschiedene Räume, also<br />
um disjunkte Mengen.<br />
d fp(Xp) = Xp( f ). (4.4)<br />
Die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume, sozusagen der Strauß der Tangentialebenen<br />
aller Punkte p ∈ M , wird als Tangentialbündel T M bezeichnet. Auf ähnliche Weise erhält man<br />
das Kotangentialbündel T ∗ M als disjunkte Vereinigung der Kotangentialräume T ∗ p M .<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
90 Differentialgeometrie<br />
Bemerkung: Man sollte sich vergegenwärtigen, dass der Tangentialraum<br />
• stets flach ist, während die Mannigfaltigkeit gekrümmt sein kann.<br />
• nicht die Existenz eines Einbettungsraums voraussetzt <strong>und</strong> deshalb – anders als es die obige<br />
Abbildung suggeriert – nicht als Teilraum eines Einbettungsraums interpretiert werden sollte.<br />
• genau wie die Bildräume der Karten isomorph zum R n ist, jedoch keinesfalls mit Karten verwechselt<br />
werden darf.<br />
Exkurs: Faserbündel<br />
Tangential- <strong>und</strong> Kotangentialbündel sind sogenannte Faserbündel. Um diesen Begriff anhand<br />
eines einfachen Beispiels zu verstehen, stelle man sich die in Abb. 4.3 gezeigte xy-Ebene vor.<br />
Diesen Totalraum E = R 2 kann man interpretieren als einen Basisraum B = R (x-Achse), an<br />
dem in jedem Punkt eine senkrechte Faser in y-Richtung angebracht ist, so dass der Totalraum<br />
die disjunkte Vereinigung aller Fasern ist <strong>und</strong> deshalb als Faserbündel (engl. fiber b<strong>und</strong>le) bezeichnet<br />
wird. In diesem Raum gibt es eine natürliche Projektionsabbildung π : E → B, die<br />
sogenannte Bündelprojektion, die jeder Faser ihren Basispunkt. also den entsprechenden Punkt<br />
auf der x-Achse zuordnet.<br />
Wir stellen uns nun eine Funktion f (x) in der xy-Ebene vor. Diese Funktion schneidet jede<br />
Faser in zwei Hälften <strong>und</strong> definiert damit einen Schnitt im Faserbündel. Ist die Funktion stetig<br />
differenzierbar, spricht man von einem glatten Schnitt.<br />
In der Mathematik kann der Basisraum ein beliebiger topologischer Raum sein, im Kontext<br />
der allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong> handelt es sich in der Regel um eine differenzierbare Mannigfaltigkeit,<br />
nämlich die gekrümmte Raumzeit. Je nachdem, wie die Fasern beschaffen sind,<br />
d.h. welche Art von mathematischen Objekten in den Punkten des Basisraums angeklebt werden,<br />
unterscheidet man unterschiedliche Typen von Faserbündeln. Im Normalfall handelt es sich<br />
um Vektorräume, in diesem Fall spricht man von Vektorbündeln oder Vektorraumbündeln, also<br />
Familien von Vektorräumen, die durch die Punkte einer Mannigfaltigkeit parametrisiert sind.<br />
Ein Tangentialbündel T M ist ein spezielles Vektorraumbündel, dessen Fasern gerade die<br />
Tangentialräume TpM sind. Die Fasern des entsprechenden Kotangentialbündels T ∗ M sind die<br />
dazu dualen Kotangentialräume T ∗ p M . Ein Vektorfeld ist ein Kontinuum von Vektoren in T M ,<br />
Abbildung 4.3: Einfaches Beispiel eines Faserbündels (siehe Text).<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
4.1 Elementare Konzepte der Differentialgeometrie 91<br />
deren Komponenten auf allen Karten stetig differenzierbare Funktionen der Koordinaten sind.<br />
Ein Vektorfeld ist also ein Schnitt im Tangentialbündel. Ein Feld von 1-Formen oder Differentialen<br />
ist dementsprechend ein Schnitt im Kotangentialbündel.<br />
Koordinatenbasis<br />
Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit wird durch eine Kollektion von Karten dargestellt. Sei<br />
ϕ : U → R n eine solche Karte von einer Teilmenge U ∈ M . Die Vektorkomponenten x µ auf<br />
der Karte können dann als n differenzierbare Funktionen x µ : U → R aufgefasst werden, die<br />
Koordinaten genannt werden. Wie bereits in Abschnitt 2.3.4 auf S. 51 beschrieben, wird dadurch<br />
eine Basis ausgezeichnet:<br />
• Die Kurven, <strong>für</strong> die alle Koordinaten bis auf x µ konstant sind, repräsentieren in jedem<br />
Punkt p ∈ M Richtungsableitungen eµ = ∂µ = ∂<br />
∂x µ , die eine Basis von TpM sind.<br />
• Die Differentiale dx ν der Koordinatenfunktionen erfüllen wegen (4.4) die Relation<br />
dx ν (∂µ) = ∂µx ν = δ ν µ <strong>und</strong> bilden deshalb die dazugehörige Basis des Dualraums T ∗ p M .<br />
Die so definierte Koordinatenbasis hängt stark von der Wahl der Kartenabbildung ab. Bezüglich<br />
einer gegebenen Metrik g sind die Basisvektoren ∂µ im allgemeinen weder normiert noch<br />
orthogonal. In der allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong> ist es üblich, Indices bezüglich der Koordinatenbasis<br />
durch griechische Indices zu kennzeichnen.<br />
Darstellung in Koordinatenbasis ⇔ Griechische Indices<br />
Koordinatenbasen zeichnen sich, wie wir im folgenden Abschnitt sehen werden, durch verschwindende<br />
Strukturkoeffizienten aus <strong>und</strong> spielen deshalb eine besondere Rolle.<br />
Strukturkoeffizienten<br />
Die Wahl der Darstellung bzw. Basis ist beliebig <strong>und</strong> hat keinen Einfluss auf die <strong>Physik</strong>, wohl<br />
aber auf den Rechenaufwand. In manchen Fällen kann es vorkommen, dass sich die Koordinatenbasis<br />
als unzweckmäßig erweist <strong>und</strong> man lieber mit einer anderen Basis {ei} arbeiten möchte,<br />
die wir – um sie von der Koordinatenbasis unterscheiden zu können – wie am Anfang der Vorlesung<br />
mit lateinischen Indices versehen wollen. Eine solches Basisvektorfeld lässt sich natürlich<br />
wiederum in der Koordinatenbasis darstellen:<br />
Die Umkehrabbildung lautet<br />
ei = e µ<br />
i ∂µ<br />
(4.5)<br />
∂µ = e k µek , (4.6)<br />
wobei e k µ die zu e µ<br />
i inverse Matrix ist. Was zeichnet die Koordinatenbasis gegenüber einer beliebigen<br />
Basis aus? Dazu bilden wir die Lie-Klammer zweier Basisvektoren.<br />
Zur Erinnerung: Vektoren ergeben angewandt auf eine Funktion die Richtungsableitung, also wiederum<br />
eine Funktion. Das ermöglicht die Mehrfachanwendung von Vektoren, doch ist eine solche<br />
Mehrfachverknüpfung im allgemeinen kein Vektor mehr, da höhere Ableitungen entstehen. Bei der<br />
Lie-Klammer (Kommutator) heben sich allerdings die zweiten Ableitungen heraus, so dass die Lie-<br />
Klammer zwei Vektoren auf einen neuen abbildet. Vgl. Abschnitt 2.4.6 auf S. 59.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
92 Differentialgeometrie<br />
Die Lie-Klammer lautet<br />
bzw.<br />
wobei die Zahlen<br />
[ei,ej] =<br />
�<br />
(∂νe µ<br />
j )eνi − (∂νe µ<br />
i )eν �<br />
j ∂µ<br />
(4.7)<br />
[ei,ej] = c k i jek , (4.8)<br />
c k i j = (∂νe µ<br />
j )eν i e k µ − (∂νe µ<br />
i )eν j e k µ<br />
die sogenannten Strukturkoeffizienten der Basis sind. Eine einfache Rechnung zeigt sofort, dass<br />
die Strukturkoeffizienten in der Koordinatenbasis verschwinden. Diese spezielle Eigenschaft<br />
zeichnet Koordinatenbasen gegenüber allgemeinen Basen aus.<br />
Dieses Ergebnis lässt sich anschaulich folgendermaßen interpretieren. Die Lie-Klammer [X,Y]<br />
lässt sich als Kommutator zweier Verschiebungen auffassen. Sie beschreibt anschaulich, ob es<br />
in niedrigster Ordnung einen Unterschied macht, sich zuerst in X- <strong>und</strong> dann in Y-Richtung zu<br />
bewegen oder umgekehrt. Man kann leicht Beispiele finden, <strong>für</strong> die dieser Kommutator ungleich<br />
Null ist. 1 Koordinatensysteme sind aber per Definition so gebaut, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge<br />
man die Koordinaten abzählt, ob man also zuerst in x- <strong>und</strong> dann in y-Richtung wandert<br />
oder umgekehrt, – man gelangt immer zu einem eindeutig durch die Koordinaten beschriebenen<br />
Punkt.<br />
4.2 Paralleltransport<br />
4.2.1 Transport geometrischer Objekte<br />
Obwohl die Erdoberfläche gekrümmt ist, wissen Kapitäne oder Piloten nach wie vor, wie man<br />
sich ’geradeaus’ fortbewegt, nämlich indem man das Ruder in neutraler Position hält. Eine<br />
solche Bahn, die eine Geradeausbewegung auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit beschreibt,<br />
nennt man eine geodätische Linie oder kurz Geodäte. Wie wir sehen werden, sind geodätische<br />
Linien dadurch charakterisiert, dass sie zwei Punkte auf kürzestem Wege verbinden. Flugzeuge<br />
<strong>und</strong> Schiffe bewegen sich deshalb in der Regel auf geodätischen Linien, d.h. auf Großkreisen.<br />
Obwohl geodätische Linien <strong>für</strong> ‘Geradeausbewegung’ stehen, erscheinen sie auf einer Karte im<br />
Regelfall nicht als Geraden, sondern sind gekrümmt dargestellt (siehe Abb. 4.4).<br />
Eine zentrales Problem in der Differentialgeometrie ist der Transport von Information von<br />
einem Ort zum anderen, also die Frage, wie man ein mathematisches Objekt auf einem Schiff<br />
transportieren kann. Bei Skalaren ist das sehr einfach: Der Skalar, also z.B. die Zahl 27, wird<br />
an Bord genommen, transportiert <strong>und</strong> schließlich unverändert am Zielort ausgeladen. Wie aber<br />
transportiert man Tangentialvektoren?<br />
1 z.B. X = x∂x <strong>und</strong> Y = ∂y im R 2<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
(4.9)
4.2 Paralleltransport 93<br />
Abbildung 4.4: Obwohl Flugzeuge auf dem kürzesten weg geradeaus fliegen, erscheinen die Flugrouten auf einer<br />
Karte gekrümmt. [Bild: T. Geisel, Göttingen]<br />
Für den Kapitän des Schiffes ist der zu transportierende Tangentialvektor ein Pfeil, der in eine<br />
bestimmte Richtung weist. So lange das Schiff geradeaus fährt, ist es vernünftig, den Pfeil so<br />
zu transportieren, dass der relative Winkel zwischen Schiff <strong>und</strong> Pfeil konstant bleibt. Bei einer<br />
Kursänderung des Schiffes um den Winkel φ ist es dagegen vernünftig, den Pfeil relativ zum<br />
Schiff entgegengesetzt um den Winkel −φ zu drehen, damit dessen ‘wirkliche’ Orientierung<br />
erhalten bleibt. Dieses einfache Protokoll erlaubt es, Tangentialvektoren auf jeder beliebigen<br />
Bahn zu transportieren.<br />
4.2.2 Paralleltransport von Tangentialvektoren<br />
Während der Transport eines Tangentialvektors aus der Perspektive des Kapitäns noch recht<br />
einfach zu verstehen ist, kann die entsprechende Situation auf einer Karte sehr viel unübersichtlicher<br />
aussehen. Dazu stellen wir uns ein Schiff vor, das auf einem Großkreis geradeaus fährt,<br />
der nicht in der Äquatorialebene liegt (siehe Abb. 4.5). Auf einer Seekarte hat diese Route eine<br />
Form, die einer Sinuskurve ähnelt <strong>und</strong> der transportierte Vektor scheint ständig seine Richtung<br />
zu ändern. Natürlich ist diese Richtungsänderung nur eine scheinbare, die durch die Wahl der<br />
Karte bedingt ist. Auf einer Karte sind also scheinbare (koordinatenbedingte) <strong>und</strong> echte (durch<br />
Kurswechsel des Schiffes verursachte) Richtungsänderungen im allgemeinen überlagert <strong>und</strong> auf<br />
den ersten Blick nicht ohne weiteres leicht zu trennen.<br />
Abbildung 4.5: Ein Schiff transportiert einen Tangentialvektor (siehe Text).<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
94 Differentialgeometrie<br />
Abbildung 4.6: Paralleltransport eines Tangentialvektors entlang einer Kurve c (siehe Text).<br />
Wir wollen dieses Phänomen nun etwas genauer formulieren. Abb. 4.6 zeigt einen Teil der<br />
Bahnkurve eines Schiffes dargestellt auf einer Karte. Dieses Schiff transportiert einen Tagentialvektor<br />
Z vom Punkt c(λ) zum Punkt c(λ + δλ) gemäß des oben beschriebenen Protokolls. Das<br />
Resultat dieser Verschiebung sei der Vektor Z ′ . Obwohl der Vektor in Wirklichkeit seine Richtung<br />
beibehält, wird er in der Darstellung auf einer Karte im allgemeinen seine Richtung ändern,<br />
d.h. Z ′ weist auf der Karte in eine andere Richtung als Z. Auf der Karte reicht es also nicht aus,<br />
den Vektor Z lediglich zu verschieben (das ergäbe den gestrichelten Vektor), sondern es ist eine<br />
zusätzliche Korrektur erforderlich, die in der Abbildung als roter Differenzvektor dargestellt ist.<br />
Dieser rote Differenzvektor wird um so größer sein, je größer die Verschiebung δλ ist <strong>und</strong> je<br />
länger der zu verschiebende Vektor ist. Für δλ ≪ 1 ist es deshalb vernünftig anzunehmen, dass<br />
beide Abhängigkeiten linear sind. Wir erwarten also, dass<br />
δZ = δλ Γ(X,Z) (4.10)<br />
ist, wobei X = d<br />
dλ c(λ) der Tangentialvektor entlang der Kurve <strong>und</strong> Γ(X,Z) eine in einem noch<br />
zu präzisierenden Sinne bilineare Abbildung zweier Vektoren X <strong>und</strong> Y auf einen Vektor ist. Für<br />
gegebenes X ist hat man damit also eine lineare Abbildung zur Verfügung, welche auf der Karte<br />
die erforderliche Richtungskorrektur von Y generiert, damit dieser Vektor seine ‘wirkliche’<br />
Richtung auf T M beibehält.<br />
4.2.3 Ableitung von Vektorfeldern<br />
Wir betrachten nun ein Tangentialvektorfeld Y auf der Mannigfaltigkeit. Ein Beispiel wäre die<br />
Windgeschwindigkeit auf der Erdoberfläche, die wir uns als ortsabhängig jedoch zeitunabhängig<br />
vorstellen. Von einer Richtungsableitung ∇XY dieses Vektorfeldes erwarten wir, dass sie darüber<br />
Auskunft gibt, wie sich das Vektorfeld in niedrigster Ordnung ändert, wenn man sich ein kleines<br />
Stück in die Richtung X geradeaus bewegt. Mit anderen Worten: Die Richtungsableitung liefert<br />
die Änderungsrate von Y bei Bewegung in Richtung X <strong>und</strong> ist damit selbst vektorwertig.<br />
Aus der Perspektive des Kapitäns ist diese Ableitung einfach zu bilden. Zunächst misst er<br />
Windgeschwindigkeit, stellt also den aktuellen Wert des Vektorfeldes am Aufenthaltsort des<br />
Schiffes fest. Der Kapitän segelt dann ein Stück in eine gegebene Richtung, wobei er den gemessenen<br />
Vektor unverändert lässt, also gemäß dem oben beschriebenen Protokoll parallel transportiert.<br />
Danach wird die Windrichtung erneut gemessen <strong>und</strong> mit der alten, d.h. mit dem parallel<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
4.2 Paralleltransport 95<br />
Abbildung 4.7: Heuristische Motivation der kovarianten Ableitung eines Vektorfeldes (siehe Text).<br />
transportierten Vektor, verglichen. Die Differenz dividiert durch die zurückgelegte Distanz ergibt<br />
die Richtungsableitung.<br />
Weil diese Prozedur die Parallelverschiebung eines Vektors erfordert, muss die Darstellung<br />
einer solchen Richtungsableitung auf einer Karte die zuvor beschriebene Richtungskorrektur<br />
berücksichtigen. Dieser Mechanismus ist in Abb. 4.7 skizziert. Im Vergleich zur vorherigen<br />
Abbildung ist hier zusätzlich ein Vektorfeld Y gezeigt, dessen Verlauf durch orange Feldlinien<br />
angedeutet wird. Im Startpunkt c(λ) hat dieses Vektorfeld den Wert Y = Y(λ). Das Schiff nimmt<br />
diesen Vektor an Bord <strong>und</strong> transportiert ihn parallel bis zum Zielort c(λ + δλ). Die Richtung<br />
des transportierten Vektors Y ′ ist am Zielort in Wirklichkeit unverändert, erscheint aber auf der<br />
Karte gegenüber dem ursprünglichen Vektor Y verdreht mit einer Korrektur δY ≈ δλ Γ(X,Y).<br />
Das Vektorfeld am Zielort Y(λ + δλ) wird mit dem parallel transportierten Vektor verglichen<br />
<strong>und</strong> durch die Distanz dividiert, d.h. die Richtungsableitung entlang der Kurve ist gegeben durch<br />
Folglich ist<br />
Y(λ + δλ) − Y<br />
∇XY = lim<br />
δλ→0<br />
′<br />
. (4.11)<br />
δλ<br />
(Y(λ + δλ) − Y) + (Y − Y<br />
∇XY = lim<br />
δλ→0<br />
′ )<br />
δλ<br />
= ∂XY + Γ(X,Y) (4.12)<br />
Die ‘wirkliche’ Richtungsableitung, die als kovariante Ableitung bezeichnet wird, unterscheidet<br />
sich also von der gewohnten Richtungsableitung auf der Karte durch eine Korrektur in Form<br />
einer bilinearen Abbildung Γ(X,Y).<br />
4.2.4 Zusammenhänge<br />
In der Differentialgeometrie wird der oben anschaulich beschriebene Vorgang der Richtungskorrektur<br />
durch sogenannte Zusammenhänge (engl. connections) realisiert. Ein Zusammenhang<br />
ist eine mathematische Vorschrift, wie man bei einer Bewegung auf der Mannigfaltigkeit vom<br />
einen zum nächsten Tangentialraum gelangt (allgemeiner: wie man in einem Faserbündel von<br />
einer Faser zur nächsten gelangt). Vereinfacht ausgedrückt gibt diese Vorschrift an, durch welche<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
96 Differentialgeometrie<br />
Transformation benachbarte Tangentialräume miteinander ‘verklebt’ sind, wie also die Raumpunkte<br />
zusammenhängen. Wie wir später sehen werden, kann man sich intrinsische Krümmung<br />
vorstellen als eine Art Verdrehung in dieser Verklebung.<br />
Zusammenhänge können auf unterschiedliche Weise eingeführt <strong>und</strong> darstellt werden. Wir beginnen<br />
hier mit einer darstellungsfreien Formulierung, die von Koszul 1950 eingeführt wurde.<br />
Demnach ist ein Zusammenhang definiert als Abbildung ∇, die auf zwei stetig differenzierbare<br />
Vektorfelder X <strong>und</strong> Y wirkt. Die Wirkungsweise lässt sich anschaulich so beschreiben:<br />
∇XY ist die Änderungsrate des VektorfeldesY bezüglich eines<br />
parallel mitgeführten Vektors, wenn man sich in Richtung X bewegt.<br />
Der Zusammenhang ∇ erfüllt folgende Axiome:<br />
(1) ∇X1+X2Y = ∇X1Y + ∇X1Y (2) ∇X(Y1 + Y2) = ∇XY1 + ∇XY2<br />
(3) ∇ f XY = f ∇XY<br />
(4) ∇X(gY) = g∇XY + X(g)Y,<br />
wobei f ,g stetig differenzierbare Funktionen auf der Mannigfaltigkeit sind. Die ersten drei Axiome<br />
besagen, dass ∇ ein bilinearer Operator ist. Auch (4) ist eine Art Linearitätsgesetz, wobei es<br />
aber wegen der möglichen Ortsabhängigkeit von g zu einer Art Produktregel kommt.<br />
Stellt man sich das Vektorfeld X als Führungsfeld <strong>für</strong> Bahnen vieler Schiffe vor, die jeweils<br />
einen Tangentialvektor Y richtungserhaltend mit sich führen, dann würde der im vorherigen<br />
Abschnitt beschriebene Paralleltransport zu einem Vektorfeld Y führen, dessen Zusammenhang<br />
gleich Null ist:<br />
∇XY = 0. (4.13)<br />
Das Vektorfeld X beschreibt geodätische Linien, wenn sich seine eigene Richtung bei Bewegung<br />
entlang dieser Linien nicht ändert, wenn also gilt:<br />
4.2.5 Darstellung des Zusammenhangs<br />
∇XX = 0 (4.14)<br />
Sei {ei} ein beliebiges Basisvektorfeld auf T M . Da die Abbildung ∇ bilinear ist, kann man<br />
sie vollständig durch ihre Wirkungsweise auf die Basisvektoren charakterisieren, d.h. die Tangentialvektoren<br />
∇ei e j =: ∇ie j legen den Zusammenhang ∇ vollständig fest. Diese durch i, j indizierten<br />
Ergebnisvektoren kann man wiederum als Linearkombination über den Basisvektoren<br />
darstellen, d.h.<br />
∇ jei = Γ k i jek . (4.15)<br />
Die Linearfaktoren Γk i j bezeichnet man als Zusammenhangskoeffizienten. Sie beschreiben, mit<br />
welcher Rate sich die k-te Komponente des Basisvektorfeldes ei ändert, wenn man sich in Richtung<br />
e j bewegt.<br />
Stellt man die im letzten Abschnitt verwendeten Vektorfelder in dieser Basis durch<br />
X = X j e j , Y = Y i ei , ∇XY = [∇XY] k ek (4.16)<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
4.2 Paralleltransport 97<br />
dar, so ergibt sich mit den Axiomen (3) <strong>und</strong> (4) die Darstellung<br />
[∇XY] k = � ∇ (X j e j)(Y i ei) � k = X j � ∇ j(Y i ei) � k<br />
� k<br />
= X j� Y i ∇ jei + e j(Y i )ei<br />
= X j Y i Γ k i j + X j e j(Y i ) [ei] k<br />
����<br />
=δ k<br />
i<br />
= X j e j(Y k ) + Y i Γ k i jX j<br />
(4.17)<br />
Der erste Term in der letzten Zeile enthält den Basisvektor ei, der als Richtungsableitung interpretiert<br />
werden kann, – dieser Term beschreibt also die Richtungsableitung der Vektorkomponente<br />
Y k in der gegebenen Darstellung. Da man Ableitungen als Generatoren von Translationen<br />
auffassen kann, beschreibt der erste Term eine Verschiebung des Vektors Y derart, dass er seine<br />
Richtung in der gewählten Darstellung nicht ändert. Im zweiten Term können die Zusammenhangskoeffizienten<br />
als eine von der Verschiebungsrichtung abhängige lineare Abbildung interpretiert<br />
werden, welche den verschobenen Vektor der gewählten Darstellung gerade so korrigiert,<br />
dass ‘in Wirklichkeit’ eine Parallelverschiebung stattfindet. Den gesamten Ausdruck bezeichnet<br />
man, wie bereits erwähnt, als kovariante Ableitung des Vektorfeldes.<br />
4.2.6 Darstellung des Zusammenhangs in der Koordinatenbasis<br />
Die Resultate des letzten Abschnitts gelten <strong>für</strong> jede Basis. Wir betrachten jetzt den Spezialfall<br />
einer Darstellung in der Koordinatenbasis {∂µ} eines gegebenen Koordinatensystems. Wie<br />
bereits zuvor erwähnt, sind solche Basen dadurch ausgezeichnet, dass die Lie-Klammer der<br />
Richtungsableitungen verschwindet. Um hervorzuheben, dass es sich um eine Koordinatendarstellung<br />
handelt, benutzen wir griechische Indices.<br />
In einer Koordinatenbasis ist eµ = ∂µ, so dass die Gl. (4.17) die Form<br />
[∇XY] α = X ν ∂νY α +Y µ Γ α µνX ν<br />
(4.18)<br />
annimmt. Die Koeffizienten Γ α µν werden in der Koordinatendarstellung als Christoffelsymbole<br />
bezeichnet. Man kann durch eine Auswertung der Lie-Klammer zeigen, dass die Christoffelsymbole<br />
im Gegensatz zu Zusammenhangskoeffizienten in allgemeinen Basen symmetrisch in<br />
den beiden unteren Indices sind:<br />
Γ α µν = Γ α νµ . (4.19)<br />
Man spricht hier auch von einem Levi-Civitá-Zusammenhang.<br />
Genauer: Ein Levi-Civitá-Zusammenhang ist (a) winkeltreu, d.h. der relative Winkel zwischen zwei<br />
Vektoren bezüglich der Metrik ändert sich unter Parallelverschiebung nicht, <strong>und</strong> (b) torsionsfrei, d.h.<br />
die transportierten Vektoren rotieren nicht schraubenartig um die Transportrichtung. Die Raumzeit der<br />
allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong> erfüllt diese Eigenschaft, was sich in einer Koordinatendarstellung in<br />
einer Symmetrie der beiden unteren Indices äußert.<br />
In der Differentialgeometrie haben sich in der koordinatenbasierten Indexnotation folgende Schreibweisen<br />
durchgesetzt:<br />
Y α ,ν Komma: Richtungsableitung Y α ,ν = ∂ν(Y α )<br />
Y α ;ν<br />
Semikolon: kovariante Ableitung Y α ;ν = [∇eν Y]α = ∂ν(Y α ) +Y µ Γ α µν<br />
Mit diesen Abkürzungen kann Gl. (4.17) kurz geschrieben werden als<br />
Y α ;ν = Y α ,ν +Y µ Γ α µν (4.20)<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
98 Differentialgeometrie<br />
4.2.7 Kovariantes Transformationsverhalten<br />
Warum heißt die kovariante Ableitung kovariant? Um das zu verstehen, untersuchen wir das<br />
Transformationsverhalten bei einem Kartenwechsel, d.h. bei einem Wechsel des Koordinatensystems<br />
{x µ } ⇔ {x µ ′ }. Wir betrachten zunächst die gewöhnliche partielle Ableitung ∂ν auf der<br />
Karte. Wenn diese partielle Ableitung auf eine Funktion wirkt, erhält man<br />
f,ν = ∂<br />
∂xν f (x) → f,ν ′ = ∂<br />
∂xν ′ f (x′ ) = ∂xρ ∂<br />
ρ<br />
∂xν ′ f (x) = Λ<br />
∂xρ ν f,ρ . (4.21)<br />
Mit anderen Worten, die partielle Ableitung ∂/∂x ν transformiert sich, sofern sie auf eine Funktion<br />
wirkt, wie die Komponenten einer 1-Form, also kovariant. Ganz anders sieht die Situation<br />
allerdings aus, wenn dieselbe partielle Ableitung auf ein Vektorfeld Y(x) wirkt<br />
Y µ ,ν = ∂<br />
∂x ν Y µ (x) →<br />
�<br />
Y µ � ′<br />
,ν<br />
= ∂xρ ∂<br />
∂xν ′ ∂xρ �<br />
∂x µ ′<br />
= ∂xρ ∂x µ ′<br />
∂xν ′ ∂xτ Y τ ,ρ + ∂xρ<br />
∂xν ′<br />
∂xτ Y τ (x ′ �<br />
)<br />
∂ 2x µ ′<br />
τ<br />
Y τ<br />
∂xρ ∂x<br />
= Λ ρ<br />
ν Λ µ τ Y τ ,ρ + Λ ρ ∂<br />
ν<br />
2x µ ′<br />
∂xρ τ<br />
Y<br />
∂xτ (4.22)<br />
Wäre nur der erste Term vorhanden, würde sich Y µ ,ν wie ein Tensor der Stufe (1,1) transformieren.<br />
Der zweite Term allerdings verletzt dieses Transformationsverhalten, so dass die partielle<br />
Ableitung eines Vektorfeldes kein Tensor ist. Die Mathematik gibt an dieser Stelle gewissermaßen<br />
einen Hinweis darauf, dass die partielle Ableitung auf gekrümmten Mannigfaltigkeiten<br />
nicht die korrekte Richtungsableitung ist.<br />
Die kovariante Ableitung Y α ;ν transformiert sich dagegen auf korrekte Weise als Tensor vom<br />
Rang (1,1). Ein Beweis erübrigt sich, da der Zusammenhang ∇ auf darstellungsfreie Weise definiert<br />
ist <strong>und</strong> Y α ;ν lediglich aus den Komponenten von ∇eν Y besteht. Wegen Gl. (4.20) folgt<br />
daraus sofort, dass die Christoffelsymbole Γα µν keine Tensoreigenschaft besitzen, weshalb man<br />
sie als ‘Symbole’ bezeichnet.<br />
4.2.8 Geodätische Linien<br />
Sei c(λ) eine Kurve <strong>und</strong> u(λ) = d<br />
dλ x(λ) das Tangentialvektorfeld entlang der Kurve. Wie bereits<br />
besprochen heißt eine Kurve geodätische Linie oder kurz Geodäte, wenn ihr Tangentialvektor<br />
seine Richtung beibehält, wenn es sich also um eine Geradeausbewegung handelt:<br />
∇uu = 0. (4.23)<br />
In einer Koordinatenbasis u = X µ ∂µ dargestellt lautet diese Bedingung<br />
bzw.<br />
[∇ u µ ∂µ u]α = u µ [∇µu] α = u µ u α ;µ = 0 (4.24)<br />
¨x α + Γ α µν ˙x µ ˙x ν = 0, (4.25)<br />
wobei ˙x µ = u µ ist. Diese sogenannte geodätische Gleichung beschreibt die Trajektorie von Teilchen<br />
in der Allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong>.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
4.2 Paralleltransport 99<br />
4.2.9 Berechnung des Zusammenhangs<br />
Die obige Formel ermöglicht die Berechnung einer Teilchentrajektorie, sofern der Zusammenhang<br />
∇ bzw. in einer Koordinatendarstellung die Christoffelsymbole bekannt sind. Im Prinzip<br />
könnten diese beliebig gewählt werden <strong>und</strong> beschreiben dann eine bestimmte Art <strong>und</strong> Weise, wie<br />
die Tangentialräume der Mannigfaltigkeit miteinander verklebt sind. Streng genommen muss die<br />
Mannigfaltigkeit dazu nicht einmal eine Metrik besitzen. Wenn jedoch eine Metrik gegeben ist,<br />
gibt es einen speziellen Zusammenhang, <strong>für</strong> den folgendes Prinzip gilt:<br />
Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist eine geodätische Linie.<br />
Dabei bezieht sich der Begriff der Länge der Kurve auf die gewählte Metrik. Die gekrümmte<br />
Raumzeit der allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong> erfüllt dieses Prinzip.<br />
Für eine Mannigfaltigkeit, die dieses Extremalprinzip erfüllt, können die Christoffelsymbole<br />
explizit als Funktion der Metrik berechnet werden. Dazu benutzt man die aus der Lagrange’schen<br />
Mechanik bekannte Variationsrechnung. Demnach ist die Länge �<br />
c ds der Kurve extremal, wenn<br />
sie sich bei infinitesimaler Variation der Kurve mit festgehaltenen Endpunkten in niedrigster<br />
Ordnung nicht ändert, wenn also<br />
�<br />
δ ds = 0 (4.26)<br />
ist. Dabei ist das Wegelement durch ds 2 = gµν dx µ dx ν gegeben, d.h.<br />
ds =<br />
� ���� gµν<br />
dx µ<br />
dλ<br />
c<br />
dxν �<br />
�<br />
�<br />
dλ � dλ 2 �<br />
= |gµν ˙x µ ˙x ν |dλ (4.27)<br />
<strong>und</strong> spielt die Rolle eine Lagrangefunktion L(x, ˙x) = � |gµν(x) ˙x µ ˙x ν | mit<br />
δ<br />
� λ2<br />
Die Lösung ist bekanntlich durch die Lagrange’schen Gleichungen<br />
λ1<br />
L(x, ˙x)dλ = 0 (4.28)<br />
d ∂L ∂L<br />
− = 0 (4.29)<br />
dλ ∂ ˙x µ ∂x µ<br />
gegeben. Dabei ist zu beachten, dass die Metrik g in der ART ortsabhängig ist, denn die spezifische<br />
Ortsabhängigkeit codiert das Gravitationsfeld. Mit etwas Geduld (siehe unten) erhält man<br />
die Differentialgleichung<br />
¨x α + 1<br />
2 gαβ (g β µ,ν + g βν,µ − g µν,β ) ˙x µ ˙x ν = 0 (4.30)<br />
Ein Vergleich mit Gl. (4.25) ergibt sofort, dass die Christoffelsymbole durch<br />
Γ α µν = 1<br />
2 gαβ (g β µ,ν + g βν,µ − g µν,β ) (4.31)<br />
gegeben sind. Wir sind also nun in der Lage, bei gegebener Metrik die Trajektorien von Teilchen<br />
auszurechnen.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
100 Differentialgeometrie<br />
Beweis: Wir beschränken uns auf zeitartige Kurven mit ds ≥ 0, so dass wir die Betragstriche weglassen<br />
können, d.h. L = � gµν(x) ˙x µ ˙x ν . Wir bilden zunächst<br />
∂L 1 ∂gµν<br />
=<br />
∂xρ 2L ∂xρ ˙xµ ˙x ν ∂L 1<br />
,<br />
=<br />
∂ ˙x ρ 2L (gρν ˙x ν + gµρ ˙x µ ) = 1<br />
L gρκ ˙x κ<br />
Vom zweiten Term ist die totale Ableitung nach λ zu bilden, die wir mit der Kettenregel durch<br />
d<br />
�<br />
∂L<br />
dλ ∂ ˙x ρ<br />
�<br />
= ∂<br />
∂xτ �<br />
∂L<br />
∂ ˙x ρ<br />
�<br />
dxτ ∂<br />
+<br />
dλ ∂ ˙x τ<br />
�<br />
∂L<br />
∂ ˙x ρ<br />
�<br />
d ˙x τ<br />
dλ = ∂ 2L ∂xτ ∂ ˙x ρ ˙xτ + ∂ 2L ∂ ˙x τ ¨xτ<br />
∂ ˙x ρ<br />
ausdrücken. Die beiden Summanden enthalten die Ableitungen<br />
∂ 2L ∂xτ ∂ ˙x ρ =<br />
1<br />
−<br />
2L3 ∂gµν<br />
∂xτ ˙x µ ˙x ν gρκ ˙x κ + 1 ∂gρκ<br />
L ∂xτ ˙x κ<br />
∂ 2L ∂ ˙x τ∂ ˙x ρ =<br />
1<br />
−<br />
L3 gρν ˙x ν gτµ ˙x µ + 1<br />
L gρτ<br />
so dass die auf beiden Seiten mit 2L multiplizierten Lagrange’schen Gleichungen lauten:<br />
∂gµν<br />
∂xρ ˙xµ ˙x ν = − 1<br />
L2 ∂gµν<br />
∂xτ ˙x µ ˙x ν gρκ ˙x κ ˙x τ + 2 ∂gρκ<br />
∂xτ ˙x κ ˙x τ − 2<br />
L2 gρν ˙x ν gτµ ˙x µ ¨x τ + 2gρα ¨x α<br />
Diese recht komplizierten Gleichungen beschreiben den kürzesten Weg <strong>für</strong> eine beliebige Parametrisierung<br />
der Kurve. Man kann jetzt eine spezielle Parametrisierung wählen, so dass die Gleichungen<br />
einfach werden (ähnlich wie man in der Elektrodynamik eine spezielle Eichung <strong>für</strong> die Wellengleichung<br />
wählt). Wir wollen die Parametrisierung so wählen, dass die Kurve mit einer konstanten Geschwindigkeit<br />
durchlaufen wird, dass also ds/dλ = const bzw. L = const ist. Diese Eichung ist natürlich<br />
erst nach erfolgter Variationsrechnung zulässig <strong>und</strong> führt dazu, dass in der obigen Gleichung<br />
der erste <strong>und</strong> dritte Term auf der rechten Seite verschwinden. Die Gleichungen lauten nun<br />
gρα ¨x α + 1<br />
�<br />
2<br />
2<br />
∂gρκ<br />
∂xτ ˙x κ ˙x τ − ∂gµν<br />
∂xρ ˙xµ ˙x ν�<br />
= 0<br />
bzw.<br />
¨x α + 1<br />
2 gαρ�<br />
�<br />
2gρµ,ν − gµν,ρ ˙x µ ˙x ν = 0<br />
was sich in die gewünschte Form bringen lässt. Wir sehen daran, dass die geodätischen Differentialgleichungen<br />
geodätische Linien mit einer speziellen Parametrisierung erzeugen, die so beschaffen ist,<br />
dass die Kurve bezüglich ihres Parameters mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufen wird.<br />
Beispiel: R 2 in Polarkoordinaten<br />
Eine Ebene kann durch Polarkoordinaten (x1 ,x2 ) = (r,φ) dargestellt werden. In dieser Darstellung<br />
ist der metrische Tensor durch<br />
�<br />
1 0<br />
gµν =<br />
0 r2 �<br />
, g µν �<br />
1 0<br />
=<br />
0 r−2 �<br />
(4.32)<br />
gegeben. Die einzige nicht-verschwindende partielle Ableitung der Tensorkomponenten ist g22,1.<br />
Die nicht-verschwindenden Christoffelsymbole sind<br />
Γ 1 22 = 1<br />
2 g11 (g12,2 + g12,2 − g22,1) = − 1<br />
2 g11g22,1 = −r (4.33)<br />
Γ 2 12 = Γ 2 21 = 1<br />
2 g22(g21,2 + g22,1 − g12,2) = 1<br />
2 g22g22,1 = 1<br />
.<br />
r<br />
(4.34)<br />
Die Gleichungen <strong>für</strong> eine geodätische Linie lauten in diesem Fall<br />
¨x t + Γ 1 22 ˙x 2 ˙x 2 = ¨r − r ˙φ 2 = 0 (4.35)<br />
¨x 2 + 2Γ 2 12 ˙x 1 ˙x 2 = ¨φ + 2<br />
r ˙r ˙φ = 0 (4.36)<br />
Damit haben wir zwei relativ komplizierte Differentialgleichungen <strong>für</strong> eine Gerade im R 2 erhalten.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
4.2 Paralleltransport 101<br />
Beispiel: Kugeloberfläche S 2<br />
Die Oberfläche einer Kugel S 2 ∈ R 3 kann durch Kugelkoordinaten mit zwei Winkeln (x 1 ,x 2 ) =<br />
(θ,φ) parametrisiert werden, wobei der Winkel θ von der z-Achse, also vom Nordpol aus ge-<br />
zählt wird. Der metrische Tensor lautet<br />
gµν =<br />
�<br />
1 0<br />
0 sin 2 �<br />
, g<br />
θ<br />
µν �<br />
1 0<br />
=<br />
0 sin −2 �<br />
θ<br />
(4.37)<br />
gegeben. Die einzige nicht-verschwindende partielle Ableitung der Tensorkomponenten ist also<br />
wiederum g22,1. Die nicht-verschwindenden Christoffelsymbole lauten<br />
Γ 1 22 = 1<br />
2 g11 (g12,2 + g12,2 − g22,1) = − 1<br />
2 g11 g22,1 = −sinθ cosθ (4.38)<br />
Γ 2 12 = Γ 2 21 = 1<br />
2 g2 2(g21,2 + g22,1 − g12,2) = 1<br />
2 g22 g22,1 = cotθ . (4.39)<br />
Die Gleichungen <strong>für</strong> eine geodätische Linie lauten in diesem Fall<br />
¨x t + Γ 1 22 ˙x 2 ˙x 2 = ¨θ − ˙φ 2 sinθ cosθ = 0 (4.40)<br />
¨x 2 + 2Γ 2 12 ˙x 1 ˙x 2 = ¨φ − 2 ˙φ ˙θ cotθ = 0 (4.41)<br />
Sie beschreiben Großkreise auf der Kugeloberfläche, die allerdings gegenüber der Äquatorialebene<br />
‘verkippt’ sein können <strong>und</strong> deshalb mit einer oszillierenden θ-Komponente dargestellt<br />
werden.<br />
4.2.10 Kovariante Ableitung beliebiger Tensorfelder<br />
Die oben eingeführte kovariante Ableitung wirkt auf Vektorfelder <strong>und</strong> generiert den Paralleltransport<br />
von Vektoren. Wir wollen die kovariante Ableitung nun auf Tensoren beliebiger Stufe<br />
verallgemeinern.<br />
Kovariante Ableitung von Funktionen<br />
Der Paralleltransport eines Skalars beeinflusst den Wert eines Skalars nicht, deshalb ist die kovariante<br />
Ableitung einer skalaren Funktion (0-Form) identisch mit der gewöhnlichen Richtungsableitung<br />
eines Skalars:<br />
∇X f = X( f ) (4.42)<br />
In Komponenten ist also ∇µ f = ∂µ f bzw. f;µ = f,µ.<br />
Kovariante Ableitung von 1-Formen<br />
Wir betrachten nun ein Feld von 1-Formen α(x), das auf ein Vektorfeld Y(x) wirkt. An jedem<br />
Punkt der Mannigfaltigkeit liefert α(Y) eine Zahl, also eine Funktion auf M . Bewegt man sich<br />
von einem dieser Punkte in Richtung X, so wird sich der Funktionswert ändern, wobei die Rate<br />
der Änderung durch die gewöhnliche Richtungsableitung X(α(Y)) = ∇X(α(Y)) gegeben ist.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
102 Differentialgeometrie<br />
Diese Änderung des Ergebnisses der 1-Form kann zweierlei Ursache haben, nämlich (a) auf<br />
einer Änderung des Vektorfeldes Y <strong>und</strong> (b) auf einer Änderung der 1-Form α beruhen, d.h.<br />
∇X(α(Y)) = α(∇XY) + (∇xα)(Y). (4.43)<br />
Diese Identität definiert die kovariante Ableitung ∇Xα einer 1-Form auf darstellungsunabhängige<br />
Weise:<br />
(∇Xα)(Y) = ∇X(α(Y)) − α(∇XY). (4.44)<br />
In einer Darstellung über einem beliebigen Basisvektorfeld {ei} von T M <strong>und</strong> dem dazugehörigen<br />
dualen Basisvektorfeld {e j } von T ∗M folgt aus der obigen Gleichung<br />
(∇ je k �<br />
)(ei) = ∇ j e k (ei)<br />
� �� �<br />
=δ k<br />
�<br />
− e<br />
i<br />
k (∇ jei) = −Γ k i j , (4.45)<br />
wobei ∇ j = ∇e j ist <strong>und</strong> der erste Term auf der rechten Seite (Ableitung einer Konstanten) verschwindet.<br />
Daraus folgt ∇ jek = −Γk i jei , so dass die kovariante Ableitung einer beliebigen 1-<br />
Form α in dieser Darstellung durch<br />
bzw.<br />
oder in einer Koordinatenbasis<br />
∇ jα = e j(αk)e k − αkΓ k i je i<br />
αi; j = e j(αi) − αkΓ k i j<br />
Kovariante Ableitung beliebiger Tensorfelder<br />
(4.46)<br />
(4.47)<br />
αµ;ν = αµ,ν − αρΓ ρ µν (4.48)<br />
Für Tensorfelder höhere Stufe, die sich als Tensorprodukt T = A ⊗ B schreiben lassen, gilt <strong>für</strong><br />
die kovariante Ableitung die Produktregel<br />
∇X(A ⊗ B) = (∇XA) ⊗ B + A ⊗ (∇XB). (4.49)<br />
Als Beispiel betrachten wir einen kovarianten Tensorfeld 2. Stufe T dargestellt in einer gegebenen<br />
Basis {ei} durch T = Ti je i ⊗ e j . Mit der Produktregel lässt sich die kovariante Ableitung<br />
leicht ausrechnen. Dabei ist zu beachten, dass die Komponenten Ti j eines Tensorfeldes vom Ort<br />
auf der Mannigfaltigkeit abhängen, also wie Funktionen abgeleitet werden müssen. Man erhält<br />
also drei Terme:<br />
∇kT = ∇k(Ti je i ⊗ e j ) = (∇kTi j)e i ⊗ e j + Ti j(∇ke i ) ⊗ e j + Ti je i ⊗ (∇ke j ) (4.50)<br />
bzw. in Komponenten<br />
Ti j;k = ek(Ti j) − Tm jΓ m ik − TimΓ m jk<br />
(4.51)<br />
Wie man sehen kann, wird jeder Index des Tensors durch einen eigenen additiven Term korrigiert,<br />
d.h. jeder Index wird durch Christoffelsymbole transformiert. Man kann auch gemischte<br />
Tensoren auf diese Weise ableiten:<br />
T i1...iq<br />
j1... jp ;k<br />
= ek(T i1...iq<br />
j1... jp<br />
) +<br />
q<br />
∑<br />
n=1<br />
T i1...m...iq<br />
j1...... jp Γin<br />
mk −<br />
p<br />
∑<br />
n=1<br />
T i1......iq<br />
j1...m... jp Γm jnk<br />
(4.52)<br />
Dabei ist der ganz rechts stehende Index der Christoffelsymbole immer der Index, nach dem<br />
abgeleitet wird. Kontravariante Indices haben positive, kovariante Indices negative Korrekturterme.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
4.2 Paralleltransport 103<br />
Kovariante Ableitung der Metrik<br />
Gl. (4.51) lässt sich natürlich auch auf den metrischen Tensor anwenden. In einer gegebenen<br />
Koordinatenbasis erhält man<br />
gµν;τ = gµν,τ − gρνΓ ρ µτ − gµρΓ ρ ντ . (4.53)<br />
In der ART hat der metrische Tensor eine besondere Bedeutung. Um das zu verstehen, kehren<br />
wir nochmal zum Beispiel des Schiffes zurück. Wenn der Kapitän zwei Vektoren X,Y an<br />
Bord nimmt <strong>und</strong> transportiert, erwarten wir, dass sich der Winkel zwischen den beiden Vektoren<br />
während der Fahrt nicht ändert, dass also g(X,Y) während der Reise erhalten bleibt. Man<br />
kann zeigen, dass es genau einen Zusammenhang gibt, der diese Eigenschaft erfüllt, <strong>und</strong> der<br />
deshalb als metrischer Zusammenhang bezeichnet wird. Ein solcher Zusammenhang erfüllt die<br />
Eigenschaft<br />
∇Xg = 0 ∀X bzw. gµν;τ = 0. (4.54)<br />
Der Zusammenhang der raumzeitlichen Mannigfaltigkeit in der ART ist metrisch. Man kann<br />
zeigen, dass ein metrischer Zusammenhang stets torsionsfrei ist.<br />
4.2.11 Äußere Ableitung tensorieller Formen *<br />
In Abschnitt 2.4.2 auf S. 57 wurde die äußere Ableitung von Differentialformen eingeführt. Sie<br />
unterscheidet sich von einer normalen Ableitung durch eine nachgeschaltete Antisymmetrisierung,<br />
wodurch die Operation die äußere Algebra nicht verlässt.<br />
Die äußere Ableitung auf reinen p-Formen funktioniert genau so wie in Abschnitt 2.4.2 auf<br />
S. 57 besprochen. Hier ändert sich also nichts. Anders ist es bei tensorwertigen Formen, die<br />
wir in Abschnitt 2.6 auf S. 62 kurz angesprochen haben. Diese besitzen p Eingänge, die antisymmetrisiert<br />
werden <strong>und</strong> den Rechenregeln der äußeren Algebra genügen, sowie eine gewisse<br />
Anzahl von vektoriellen Ausgängen, die nicht antisymmetrisiert sein müssen. Ein Vektorfeld<br />
ist z.B. eine vektorielle Null-Form. Die nicht antisymmetrisierten Komponenten werden mit Indices<br />
versehen, die p antisymmetrisierten Eingänge dagegen wie bei Differentialformen ohne<br />
Indices behandelt.<br />
Auf gekrümmten Mannigfaltigkeiten muss man spezifizieren, wie sich die indizierten Komponenten<br />
bei einer äußeren Ableitung transformieren. Als Beispiel betrachten wir ein beliebiges<br />
Basisvektorfeld ei.<br />
... wird fortgesetzt ...<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
104 Differentialgeometrie<br />
Abbildung 4.8: Konstruktion des Riemannschen Krümmungstensors. Ein Vektor Z (orange) wird auf zwei verschiedenen<br />
Wegen parallel transportiert, nämlich durch Anwendung von ∇X ◦ ∇Y entlang ADE<br />
<strong>und</strong> durch Anwendung von ∇Y ◦∇X entlang ABC. Wenn die Zielorte nicht übereinstimmen, muss<br />
der Vektor noch zusätzlich durch Anwendung der Lie-Klammer ∇ [X,Y] über die rot gestrichelte<br />
Distanz von C nach E parallel verschoben werden. Am Zielort E werden beide Vektoren verglichen.<br />
Die Differenz gibt Auskunft darüber, wie stark die Mannigfaltigkeit auf dem umr<strong>und</strong>eten<br />
Gebiet gekrümmt ist.<br />
4.3 Krümmung<br />
Krümmung äußert sich dadurch, dass die Winkelsumme<br />
eines Dreiecks ungleich 180 ◦ ist. Wie groß die Abweichung<br />
ist, kann der Kapitän eines Schiffes mit Hilfe<br />
der Parallelverschiebung feststellen. Wenn er wie in der<br />
nebenstehenden Abbildung einen aus drei Viertelgroßkreisen<br />
bestehenden geschlossenen Weg befährt (rot)<br />
<strong>und</strong> dabei einen Tangentialvektor (grün) transportiert,<br />
zeigt dieser Vektor am Zielort in eine um 90 ◦ verdrehte<br />
Richtung. Dieser Drehwinkel entspricht genau der Abweichung<br />
der Winkelsumme von 90 ◦ . Eine solche Messung<br />
ist auch auf abstrakten (nicht eingebetteten) Mannigfaltigkeiten<br />
möglich.<br />
4.3.1 Riemannscher Krümmungstensor<br />
Die oben beschriebene Prozedur ermöglicht es, die Krümmung der Mannigfaltigkeit auf dem<br />
umr<strong>und</strong>eten Gebiet zu beschreiben. Mathematisch kann dieser Vorgang folgendermaßen beschrieben<br />
werden: Man nehme zwei linear unabhängige Vektorfelder X,Y <strong>und</strong> bewege sich<br />
zunächst entlang einer geodätischen Linie zuerst in Y-Richtung <strong>und</strong> dann entlang einer anderen<br />
geodätischen Linie in X-Richtung. Danach wiederhole man den Vorgang in umgekehrter<br />
Reihenfolge (siehe Abb. 4.3.1). Falls die Vektorfelder so beschaffen sind, dass die Zielorte un-<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
4.3 Krümmung 105<br />
terschiedlich sind, ist die verbleibende Differenz zurückzulegen, um einen geschlossenen Weg<br />
herzustellen. Diese Differenz ist in niedrigster Ordnung durch die Lie-Klammer [X,Y] gegeben,<br />
siehe Abschnitt 2.4.6 auf S. 59. Auf diesen beiden Wegen ist nun ein Tangentialvektor Z mitzunehmen<br />
<strong>und</strong> nach dem üblichen Protokoll parallel zu verschieben <strong>und</strong> die Ergebnisse am Zielort<br />
zu vergleichen.<br />
Mathematisch wird diese Prozedur durch alternierende Anwendung der entsprechenden kovarianten<br />
Ableitungen ausgedrückt 2 . Die Krümmung wird also beschrieben durch die Abbildung<br />
R(X,Y)Z = ∇X∇YZ − ∇Y∇XZ − ∇ [X,Y]Z, (4.55)<br />
die als Riemannscher Krümmungstensor bezeichnet wird. Es handelt sich um einen Tensor der<br />
Stufe (1,3), der drei Vektoren als Argumente besitzt <strong>und</strong> einen Vektor ausgibt.<br />
4.3.2 Darstellung des Riemannschen Krümmungstensor<br />
In einer gegebenen Basis kann der Krümmungstensor als vierkomponentige Größe R µ<br />
ναβ dargestellt<br />
werden. Diese Komponenten sind gegeben durch<br />
eµR µ<br />
ναβ = � �<br />
[∇α,∇ β ] − ∇ [eα,eβ ] eν = � ∇α∇β − ∇β ∇α − c ρ<br />
αβ ∇ρ<br />
�<br />
eν , (4.56)<br />
wobei c ρ<br />
αβ die Strukturkoeffizienten sind. Durch Einsetzen der kovarianten Ableitung <strong>und</strong> Koeffizientenvergleich<br />
gelangt man zu<br />
R µ<br />
ναβ<br />
= Γµ<br />
νβ,α − Γµ<br />
να,β + Γρ<br />
νβ Γµ ρα − Γ ρ ναΓ µ<br />
ρβ − cρ<br />
αβ Γµ νρ . (4.57)<br />
In Koordinatenbasen entfällt der letzte Term. Da die Christoffelsymbole über Gl. (4.31) von<br />
der Metrik abhängen, kann der Riemannsche Krümmungstensor bei gegebener Metrik durch<br />
geduldiges Differenzieren berechnet werden. Allerdings sind, wie wir sehen werden, nicht alle<br />
seiner 4 4 = 256 Komponenten unabhängig.<br />
4.3.3 Symmetrien des Krümmungstensors<br />
Der Krümmungstensor dargestellt in Komponenten erfüllt folgende Symmetrien. Dabei benutzen<br />
wir die Kompaktschreibweise mit eckigen Klammern, die eine Summe über die zyklischen<br />
Permutationen der darin enthaltenen Indices symbolisieren soll.<br />
• Erste Bianchi-Identität:<br />
• Zweite Bianchi-Identität:<br />
R µ<br />
[ναβ]<br />
R µ<br />
ν[αβ;γ]<br />
= Rµ<br />
ναβ + Rµ<br />
βνα + Rµ<br />
αβν<br />
= Rµ<br />
ναβ;γ + Rµ<br />
νγα;β + Rµ<br />
νβγ;α<br />
= 0 (4.58)<br />
= 0 (4.59)<br />
2 Bei einem Koordinantenbasisvektorfeld entfällt der letzte Term, da die Lie-Klammer verschwindet.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
106 Differentialgeometrie<br />
• Antisymmetrie in den ersten beiden Indices:<br />
R µναβ = −R νµαβ<br />
• Symmetrie bei Vertauschung beider Indexpaare:<br />
Dabei ist R µναβ = gµρR ρ<br />
dritten <strong>und</strong> vierten Index:<br />
ναβ<br />
R µναβ = R αβ µν<br />
(4.60)<br />
(4.61)<br />
. Aus den letzten beiden Symmetrien folgt die Antisymmetrie im<br />
R µναβ = −R µνβα . (4.62)<br />
Wegen dieser Symmetrien reduziert sich die Anzahl der unabhängigen Komponenten des Riemannschen<br />
Krümmungstensors wie folgt:<br />
4.3.4 Ricci-Tensor<br />
Dimension 1 2 3 4<br />
Komponenten 1 16 81 256<br />
davon unabhängig 0 1 6 20<br />
Welche physikalisch relevanten Tensoren lassen sich durch Kontraktion aus dem Krümmungstensor<br />
erzeugen? Kontrahiert man die ersten beiden Indices, erhält man wegen der Antisymmetrie<br />
Null. Gleiches gilt <strong>für</strong> eine Kontraktion der Indices 3-4. Die einzigen Kontraktionen, die<br />
nicht verschwinden, sind 1-3, 1-4, 2-3 <strong>und</strong> 2-4, die wegen der Antisymmetrie bis auf Vorzeichen<br />
identisch sind. Üblich ist es, die Indices 1-3 zu kontrahieren. Das Resultat ist der sogenannte<br />
Ricci-Tensor<br />
Rµν = R ρ µρν. (4.63)<br />
Dieser Tensor ist die einzig mögliche nichttriviale Kontraktion des Krümmungstensors. Damit<br />
man ihn in der darstellungsfreien Schreibweise vom Riemannschen Krümmungstensor R unterscheiden<br />
kann, bezeichnet man ihn auch als ‘Ric’, d.h.<br />
Ric = Rµν dx µ ⊗ dx ν . (4.64)<br />
Der Ricci-Tensor lässt sich weiter kontrahieren zu einem Krümmungsskalar<br />
R = R µ µ . (4.65)<br />
Dieser Skalar spielt eine zentrale Rolle <strong>für</strong> die Wirkung des Gravitationsfeldes.<br />
4.3.5 Interpretation des Krümmungstensors<br />
Man kann Koordinaten immer so legen, dass der metrische Tensor in einem bestimmten Punkt<br />
der Mannigfaltigkeit eine bestimmte Matrixdarstellung annimmt. Insbesondere kann man die<br />
Koordinaten so wählen, dass gµν = ηµν ist, dass der metrische Tensor also die Gestalt einer<br />
flachen Minkowskimetrik annimmt (ähnlich wie der Kapitän immer an seinem Aufenthaltsort<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
4.3 Krümmung 107<br />
ein lokales Koordinatensystem mit euklidischen Koordinaten auf der Meeresoberfläche definieren<br />
kann). In der allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong> entspricht ein solches Koordinatensystem den<br />
natürlichen Minkowski-Koordinaten, also einem lokal gravitationsfreien Bezugssystem, das ein<br />
frei fallender Astronaut in seinem Raumschiff benutzen würde.<br />
Wenn man nun eine Darstellung gewählt hat, in deren Koordinatenursprung x µ = 0 der metrische<br />
Tensor gleich der Minkowskimetrik ist, kann man sich fragen, wie sich die Komponenten<br />
dieses Tensors in der unmittelbaren Umgebung des Ursprungs in niedrigster Ordnung verändern.<br />
Eine Rechnung (hier ohne Beweis) zeigt, dass die niedrigsten Korrekturen quadratischer<br />
Ordnung sind <strong>und</strong> gerade durch den Riemannschen Krümmungstensor beschrieben werden:<br />
gµν(x) = ηµν + 1<br />
3 R µανβ x α x β + O(|x| 3 ) (4.66)<br />
Der Riemannsche Krümmungstensor beschreibt also, wie sich die Metrik in niedrigster Ordnung<br />
verändert, wenn man in eine bestimmte Richtung geht.<br />
Um den Ricci-Tensor zu interpretieren, stellen<br />
wir uns nun einen schmalen Konus<br />
(Schultüte) von geodätischen Linien vor, die<br />
vom Ursprung aus in diese bestimmte Richtung<br />
führen. In einer Minkowski-Metrik wird<br />
sich dieser Konus mit zunehmender Entfernung<br />
auf eine bestimmte Weise aufweiten <strong>und</strong><br />
ein Volumenelement Vη(x) aufspannen. In einer<br />
gekrümmten erhält man dagegen ein Volumenelement<br />
Vg(x), das sich in der Umgebung<br />
vom Ursprung nur geringfügig unterscheidet.<br />
Hier tritt der Ricci-Tensor in den<br />
Korrekturen auf:<br />
Vg(x) = � 1 − 1<br />
6 Rµνx µ x ν + O(x 3 ) � Vη(x) (4.67)<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
5 Elektrodynamik als Eichtheorie<br />
Die allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong> gehört zur Gruppe der sogenannten Eichtheorien <strong>und</strong> basiert<br />
auf der Lorentzgruppe als Eichgruppe. Eichtheorien folgen einem einheitlichen Konstruktionsprinzip.<br />
Um uns an dieses Prinzip heranzutasten, betrachten wir zunächst die einfachste aller<br />
Eichtheorien, nämlich die Elektrodynamik betrachten. Die Elektrodynamik ist eine Eichtheorie,<br />
die auf der Symmetriegruppe U(1) beruht.<br />
5.1 U(1)-Eichtheorie<br />
5.1.1 Intrinsische Freiheitsgrade<br />
Neben den raumzeitlichen Freiheitsgraden, in denen man sich fortbewegen kann, gibt es in der<br />
Natur intrinsische Freiheitsgrade, die man sich als kleine ‘aufgerollte Dimensionen’ vorstellen<br />
kann, die in jedem Punkt der Raumzeit ‘aufgehängt’ sind. Zwar kann man sich als Mensch in<br />
diesen kompaktifizierten Dimensionen nicht konkret fortbewegen, wie man es in raumzeitlichen<br />
Dimensionen gewohnt ist, doch treten die Effekte dieser aufgerollten Freiheitsgrade indirekt in<br />
Form von physikalischen Kraftfeldern in Erscheinung.<br />
Ähnlich wie die Raumzeit eine bestimmte Struktur besitzt, die sich durch ihre Symmetriegruppe<br />
(Poincarégruppe) beschreiben lässt, werden auch die intrinsischen Freiheitsgrade durch<br />
ihre Symmetriegruppe charakterisiert. Das einfachste Beispiel einer kompaktifizierten Dimension<br />
ist ein Kreis S 1 . Dessen Symmetriegruppe ist die sogenannte Kreisgruppe (engl. circle group)<br />
der Translationen entlang des Kreises. Anders als Translationen in R, mit denen man sich beliebig<br />
weit entfernen kann, kommt man auf einem Kreis irgendwann wieder am Ausgangspunkt<br />
an, d.h. die Kreisgruppe ist kompakt.<br />
Bemerkung: Symmetrien sind der eigentliche Gr<strong>und</strong> <strong>für</strong> die Existenz jeglicher Strukturen in der<br />
Natur. Symmetrien geben keine Freiheit, sondern schränken ein. Ohne Symmetrien würde sich die<br />
Quantenphysik in allen Zuständen ausbreiten <strong>und</strong> eine strukturlose Suppe erzeugen. Mit Symmetrien<br />
kommen aber Spielregeln in Form von Erhaltungsgrößen ins Spiel. Alle makroskopisch beobachtbaren<br />
Eigenschaften von Objekten sind an Symmetrien gekoppelt. Ohne Translationsinvarianz gäbe es<br />
z.B. nicht die Begriffe von Ort <strong>und</strong> Impuls. Theoretische <strong>Physik</strong> beginnt deshalb immer damit, die<br />
zugr<strong>und</strong>eliegenden Symmetriegruppen zu identifizieren.<br />
Es gibt eine Vielzahl von Möglichkeiten zur Darstellung eines Kreises. Zum Beispiel bilden<br />
die komplexen Zahlen z ∈ C mit konstantem Betrag |z| = const einen Kreis in der komplexen<br />
Ebene. Translationen entlang dieses Kreises lassen sich durch Multiplikation mit einer komplexen<br />
Phase z = e iφ ausdrücken, wobei φ ∈ [0,2π) ist. Weil es sich dabei formal um unitäre<br />
(=normerhaltende) Transformationen eines einzelnen komplexen Freiheitsgrades handelt, verwendet<br />
man <strong>für</strong> die Kreisgruppe in der <strong>Physik</strong> die Bezeichnung U(1).<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
110 Elektrodynamik als Eichtheorie<br />
Abbildung 5.1: Bausteine der Elektrodynamik. (a) In jedem Punkt der Raumzeit wird ein kompaktifizierter eindimensionaler<br />
Raum in Form eines Kreises aufgehängt. (b,c) Die Kreise benachbarter Punkte der<br />
Raumzeit werden durch Verbindungselemente verklebt. Diese können ‘gerade’ oder ‘verdreht’<br />
sein. (d) Wäre die Raumzeit eindimensional, erhielte man durch die Verklebung einen Torus.<br />
Bemerkung: Die Bezeichnung U(n) steht <strong>für</strong> “unitäre Transformation in n Dimensionen” <strong>und</strong> analog<br />
SU(n) <strong>für</strong> “spezielle unitäre Transformationen in n Dimensionen”. Diese Gruppen sind die komplexen<br />
Gegenstücke zu den orthogonalen Gruppen O(n) bzw. SO(n) der reellen Drehungen <strong>und</strong> Spiegelungen.<br />
Die Gruppenelemente kann man sich als komplexwertige Drehungen auf C n vorstellen, die das<br />
Standard-Skalarprodukt auf diesem Raum erhalten. Die Gruppe U(1) beschreibt dementsprechend<br />
Drehungen einer komplexen Zahl in der komplexen Ebene, ist also isomorph zur Kreisgruppe. Sie ist<br />
als einzige dieser Lie-Gruppen kommutativ <strong>und</strong> besitzt nur einen einzigen Generator.<br />
Wir betrachten nun eine relativistische Theorie mit einer intrinschen U(1)-Symmetrie, wobei<br />
wir Gravitationseffekte vernachlässigen wollen. In einer solchen Theorie ist die Raumzeit ein<br />
ebener Minkowskiraum R 3+1 , in dem an jedem Punkt ein Kreis aufghängt ist. Um davon ein<br />
anschauliches Verständnis zu entwickeln, stellen wir uns die Raumzeit zunächst eindimensional<br />
vor, als ob es nur die x-Achse gäbe (siehe Abb. 5.1d). Ferner wollen wir uns diese Achse als diskrete<br />
Folge von Punkten vorstellen. In jedem dieser Punkte wird nun ein Kreis aufgehängt. Ein<br />
Teilchen wird nun nicht nur mehr allein durch seinen Aufenthaltsort auf der x-Achse, sondern<br />
zusätzlich durch seine entsprechende Position auf dem Kreis charakterisiert.<br />
Um sich entlang der x-Achse bewegen zu können, ist es notwendig, die Kreise miteinander<br />
zu verbinden. Dies geschieht durch schlauchartige Verbindungselemente, mit denen Teilchen<br />
von einem Kreis zum nächsten transportiert werden können. Die Verbindungsstücke können<br />
entweder gerade (Abb. 5.1b) oder in sich verdreht sein (Abb. 5.1c), je nachdem ob sich bei<br />
einem Transport des Teilchens die Lage auf dem Kreis ändert oder nicht. Wären alle Kreise mit<br />
geraden Schläuchen verb<strong>und</strong>en, würden Teilchen, die z.B. am ‘tiefsten Punkt’ des Kreises ruhen,<br />
bei Bewegung durch die Raumzeit auch dort verbleiben. Ein makroskopischer Beobachter würde<br />
in diesem Fall die Existenz der kleinen Kreise gar nicht bemerken. Echte physikalische Effekte<br />
kommen erst dadurch zustande, dass die Verbindungselemente verdreht sein können.<br />
Bemerkung: Im Rahmen der klassischen <strong>Physik</strong> besteht der Raum natürlich nicht aus äquidistanten<br />
Punkten, sondern aus einem Kontinuum von Punkten. Der in Abb. 5.1d dargestellte Raum ist also<br />
in Wirklichkeit ein kontinuierlicher Torus R ⊕ S 1 . Die diskretisierte Version wird hier jedoch aus<br />
folgenden Gründen benutzt:<br />
1. Die Verbindungselemente veranschaulichen das mathematische Konzept eines Zusammenhangs.<br />
2. Während man sich den tatsächlichen Raum R 3+1 ⊕S 1 ohnehin nicht vorstellen kann, vermittelt<br />
die Diskretisierung zumindest eine teilweise Anschaulichkeit des Raumes R 2 ⊕ S 1 (s.u.).<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
5.1 U(1)-Eichtheorie 111<br />
3. Bei Computersimulationen von Quantenfeldtheorien, sogenannten Gittereichtheorien, wird das<br />
Kontinuum tatsächlich auf die beschriebene Weise diskretisiert.<br />
4. Es wird erwartet, dass die Raumzeit auf der Planck-Skala von 10 −35 m eine noch unbekannte<br />
Mikrostruktur besitzt, die auf eine effektive Diskretisierung hinauslaufen könnte. Ein möglicher<br />
Ansatz ist die Quantenschleifengravitation (engl. quantum loop gravity), wie sie z.B. von<br />
Carlo Rovelli beschrieben wird [14]. Die hier gewählte Präsentation soll auf diese neuen Ansätze<br />
hinführen <strong>und</strong> deren Verständnis erleichtern.<br />
Ein gerades Verbindungselement ist eine identische Abbildung von einem Kreis auf den<br />
nächsten, ein verdrehtes Verbindungselement bewirkt dagegen eine zusätzliche Translation auf<br />
dem Kreises. Die Verbindungselemente sind also selbst nichts anderes als Symmetrietransformationen<br />
<strong>und</strong> damit Gruppenelemente der Symmetriegruppe U(1). Hier erkennen wir bereits<br />
ein gr<strong>und</strong>legendes Konstruktionsprinzip von Eichtheorien:<br />
Die intrinsischen Freiheitsgrade sind räumlich durch Gruppenelemente der<br />
entsprechenden Symmetriegruppe miteinander verb<strong>und</strong>en.<br />
Da wir es in Wirklichkeit nicht mit einer diskreten Punktmenge sondern mit einem Kontinuum<br />
von Punkten mit daran aufgehängten Kreisen zu tun haben, können wir annehmen, dass die<br />
Verbindungselemente sehr klein sind <strong>und</strong> deshalb zwischen Kreisen im Abstand dx im Limes<br />
dx → 0 nur infinitesimale Verdrehungen bewirken. Die Verbindungslemente g ∈ U(1) sind also<br />
infinitesimale Transformationen, die sich also nur geringfügig von der identischen Abbildung<br />
unterscheiden <strong>und</strong> sich deshalb in erster Ordnung Taylor-entwickeln lassen:<br />
g = � + ∆ dx (5.1)<br />
Die Größe ∆ ist der Generator dieser infinitesimalen Transformation <strong>und</strong> ist als solcher ein Element<br />
der Lie-Algebra der Symmetriegruppe.<br />
Genauer: Die Lie-Algebra u(1) der Lie-Gruppe U(1) ist sehr einfach, da sie kommutativ ist <strong>und</strong><br />
nur einen einzigen Generator a besitzt. Dieser Generator erfüllt die Relation a 2 = −1 <strong>und</strong> lässt sich<br />
deshalb am einfachsten in der komplexen Ebene mit a = i darstellen.<br />
5.1.2 Darstellung der intrinsischen Freiheitsgrade<br />
Um mit intrischen Freiheitsgraden rechnen zu können, ist es wie immer notwendig, eine geeignete<br />
Darstellung zu wählen. Es ist üblich, den Kreis als einen Einheitskreis in der komplexen<br />
Ebene z ∈ C, |z| = 1 darzustellen. Der hier betrachtete Raum R ⊕ S 1 wird also durch zwei Koordinaten<br />
x,z beschrieben. Bei der Definition des Koordinatensystems hat man allerdings die<br />
Freiheit, den Ursprung des Koordinatensystems z = 1 auf dem jedem der Kreise willkürlich<br />
festzulegen. Diese Freiheit wird als Eichfreiheit bezeichnet, – eine Eichung ist also nicht anderes<br />
eine spezielle Wahl des Koordinatensystems in einem intrinsischen Raum. Wir werden im<br />
folgenden Abschnitt darauf zurückkommen.<br />
Sobald ein bestimmtes Koordinatensystem gewählt ist, lässt sich ein Punkt auf dem Kreis an<br />
der Stelle x, der dort die Koordinate z(x) besitzt, über die Verbindungsstücke ‘parallel verschieben’<br />
zum benachbarten Kreis an der Stelle x + dx, wo er dann die Koordinate<br />
z �(x + dx) = g(x)z(x) (5.2)<br />
besitzt. Das Gruppenelement g ∈ U(1) wird dabei ebenfalls als komplexe Zahl auf dem Einheitskreis<br />
dargestellt. Da sich diese Transformation gemäß Gl. (5.1) <strong>für</strong> kleine dx nur wenig von<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
112 Elektrodynamik als Eichtheorie<br />
Abbildung 5.2: Eichfreiheit bei der Wahl des Koordinatensystems <strong>für</strong> die intrinsischen Freiheitsgrade. Die gelben<br />
Punkte markieren die Positionen auf dem Kreis, wo ϕ = 0 bzw. z = 1 ist, markieren also sozusagen<br />
den Ursprung des lokalen Koordinatensystems.<br />
der identischen Abbildung unterscheidet, gilt in niedrigster Ordnung<br />
g(x) = 1 + iA(x) dx. (5.3)<br />
Dabei ist g(x) eine Darstellung von g <strong>und</strong> iA(x) ist eine Darstellung von ∆, also eine Abbildung<br />
der Raumkoordinate auf die gewählte Darstellung der Lie-Algebra der Symmetriegruppe U(1).<br />
Die Funktion A(x) bezeichnet man als Eichfeld.<br />
Nehmen wir zunächst an, dass dieser Nullpunkt sich immer ‘an der gleichen Stelle’ befindet,<br />
wie es im oberen Teil von Abb. 5.2 gezeigt ist. In diesem Fall werden ‘gerade’ Verbindungsstücke<br />
durch ein verschwindendes Eichfeld A(x) = 0 beschrieben. Man könnte aber auch<br />
die Nullpunkte unterschiedlich wählen, wie es im unteren Teil der Abbildung gezeigt ist. Ein<br />
‘gerades’ Verbindungsstück würde dann trotzdem durch ein nichtverschwindendes Eichfeld beschrieben<br />
werden. Ebenso wäre es möglich, die Koordinaten so zu wählen, dass die durch ein<br />
verdrehte Verbindungsstücke hervorgerufene Transformationen durch die Koordinatendarstellung<br />
kompensiert werden, so dass das Eichfeld trotz der tatsächlichen Verdrehung gleich Null<br />
wäre. Die Darstellung eines Eichfelds resultiert also sowohl aus ‘echten’ Verdrehungen der Verbindungselemente<br />
als auch aus ‘scheinbaren’ Verdrehungen, die durch die Wahl der Koordinaten<br />
hervorgerufen werden.<br />
Bemerkung: Um Raum <strong>und</strong> Zeit zu vermessen, benötigen wir Maßeinheiten wie Meter <strong>und</strong> Sek<strong>und</strong>e.<br />
Benötigen wir nun auch neue Maßeinheiten <strong>für</strong> die intrinsischen Räume? Die Antwort ist: Nein. In<br />
Raum <strong>und</strong> Zeit sind Maßeinheiten nur deshalb notwendig, weil sie unendlich ausgedehnt sind <strong>und</strong><br />
damit weder im Kleinen noch im Großen eine natürlich Längenskala auszeichnen. Im Gegensatz dazu<br />
sind die intrinsischen Freiheitsgrade kompaktifiziert <strong>und</strong> stellen damit ein natürliches Maßsystem zur<br />
Verfügung, z.B. im Fall des Kreises ein Umlauf 2π.<br />
5.1.3 Eichtransformationen<br />
Eine Eichtransformation ist eine Koordinatentransformation in den intrinsischen Räumen, also<br />
ein Darstellungswechsel, der keinen Einfluss auf die <strong>Physik</strong> hat. Dabei dürfen die Koordinatensysteme<br />
in jedem intrinsischen Raum unterschiedlich, also ortsabhängig transformiert werden.<br />
Im Fall der U(1)-Theorie kann man sich also eine Eichtransformation als eine ortsabhängige<br />
Nullpunktsverschiebung des Koordinatnesystems auf den Kreisen vorstellen, also z.B. als einen<br />
Wechsel von der oberen zur unteren in Abb. 5.2 gezeigten Situation. Eine solche Transformation<br />
lässt sich schreiben als<br />
z(x) → ˜z(x) = e i f (x) z(x). (5.4)<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
5.1 U(1)-Eichtheorie 113<br />
Dabei ist e i f (x) die (ortsabhängige) komplexe Phase, mit der der Nullpunkt des Koordinatensystems<br />
auf den Kreisen (nicht jedoch die Kreise selbst) verschoben werden. Man kann leicht<br />
zeigen, dass sich unter dieser Koordinatentransformation das Eichfeld gemäß<br />
A(x) → Ã(x) = A(x) + d<br />
f (x) (5.5)<br />
dx<br />
transformieren muss. Eichfelder, die auf diese Weise auseinander hervorgehen, unterscheiden<br />
sich also nur durch ihre Darstellung, sind aber physikalisch äquivalent.<br />
Beweis: Wegen (5.2) <strong>und</strong> (5.3) gilt<br />
also<br />
z �(x + dx) = (1 + iA(x)dx)z(x), ˜z �(x + dx) = (1 + iÃ(x)dx) ˜z(x),<br />
e i f (x+dx) z �(x + dx) = (1 + iÃ(x)dx)e i f (x) z(x)<br />
⇒ e i f (x) (1 + i f ′ (x)dx + ...)(1 + iA(x)dx)z(x) = (1 + iÃ(x)dx)e i f (x) z(x)<br />
Vergleich der ausmultiplizierten Terme 1. Ordnung führt auf die Behauptung.<br />
In einer Dimension kann man natürlich <strong>für</strong> jedes Paar von Funktionen A(x),Ã(x) durch simple<br />
Integration ein passendes f (x) finden, so dass beide Eichfelder physikalisch äquivalent sind.<br />
Demzufolge sind alle Eichfelder physikalisch äquivalent <strong>und</strong> haben deshalb keinerlei physikalische<br />
Bedeutung. Das ist auch plausibel, denn ein Käfer, der im Tunnel R ⊕ S 1 lebt <strong>und</strong> dem der<br />
Blick aus einem äußeren Einbettungsraum verwehrt ist, hat keine Möglichkeit, eine Verdrehung<br />
der Verbindungselemente festzustellen.<br />
5.1.4 Zweidimensionale U(1)-Eichtheorie<br />
In höheren Dimensionen ist die Situation anders. Als Beispiel wollen wir eine Ebene R 2 mit<br />
einer intrinsischen U(1)-Symmetrie betrachten. Zwar kann man den Raum R 2 ⊕ S 1 nicht in den<br />
R 3 einbetten <strong>und</strong> sich ihn deshalb auch nicht anschaulich vorstellen, doch kann man mit einer<br />
diskretisierten Variante zumindest eine Intuition gewinnen. Abb. 5.3 skizziert einen solchen<br />
zweidimensionalen Raum, in dem die intrinsischen Räume durch planare Kreise symbolisiert<br />
sind, die wiederum mit Verbindungselementen in beiden Raumrichtungen verb<strong>und</strong>en sind. Auch<br />
hier handelt es sich ‘in Wirklichkeit’ um ein Kontinuum von Zusammenhängen ohne Quadratgitterstruktur.<br />
Anders als in dem zuvor diskutierten Tunnel ist es nun möglich, sich im R 2 in beliebige<br />
Richtungen zu bewegen. Ein Käfer, der in diesem zweidimensionalen Tunnelsystem lebt, hat<br />
jetzt nämlich die Möglichkeit, Verdrehungen zu messen, auch ohne diese von außen sehen zu<br />
können. Dazu wandert er auf einem geschlossenen Weg (engl. loop) <strong>und</strong> stellt am Ziel durch<br />
Vergleich fest, ob sich seine Position auf dem Kreis geändert hat. Wandert er z.B. in Abb. 5.3<br />
entlang des Weges A-B-E-D-A, wird er auf diese Weise eine Verdrehung feststellen. Bei einer<br />
Wanderung entlang B-C-F-E-B wird er dagegen keine Verdrehung feststellen, weil sich die<br />
Effekte der Verbindungen E-B <strong>und</strong> B-C gegenseitig kompensieren.<br />
Die vom Käfer festgestellte Verdrehung entlang eines geschlossenen Weges ist unabhängig<br />
von der gewählten Darstellung <strong>und</strong> beschreibt deshalb einen physikalischen Sachverhalt, nämlich<br />
– wie wir sehen werden – elektrische bzw. magnetische Felder. Anders als in einer Dimension,<br />
wo alle Eichfelder weggeicht werden können <strong>und</strong> deshalb physikalisch bedeutungslos sind,<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
114 Elektrodynamik als Eichtheorie<br />
Abbildung 5.3: Zweidimensionaler diskretisierter Raum mit intrinsischen U(1)-Kreisen (siehe Text).<br />
gibt es in höheren Dimensionen ‘echte’ Verdrehungen im Verbindungssystem, die sich nicht<br />
durch Umeichung beseitigen lassen.<br />
Bemerkung: Die ‘echten’ durch Eichtransformation nicht entfernbaren Verdrehungen in der Textur<br />
dieses Gewebes treten physikalisch als Kraftfelder (Wechselwirkungen) in Erscheinung. Diese Kraftfelder<br />
sind vollständig durch die Symmetriegruppe ihrer intrinsischen Freiheitsgrade bestimmt:<br />
U(1) elektromagnetische Wechselwirkung<br />
SU(2) schwache Wechselwirkung<br />
SU(3) starke Wechselwirkung<br />
Verdrehungen der Raumzeit selbst äußern sich als Gravitation, wobei an die Stelle der inneren Freiheitsgrade<br />
der Tangentialraum tritt <strong>und</strong> das Eichfeld A(x) durch die Christoffelsymbole ersetzt wird.<br />
Alle vier gr<strong>und</strong>legenden Kräfte lassen sich also in einem einheitlichen Rahmen durch Eichtheorien<br />
beschreiben.<br />
5.1.5 Kovariante Ableitung<br />
In höheren Dimensionen muss die Gleichung z �(x+ dx) = (1+iA(x)dx)z(x), mit der die Änderung<br />
der Koordinate z bei Parallelverschiebung beschrieben wird, <strong>für</strong> vektorielle Verschiebungen<br />
dx verallgemeinert werden zu<br />
z �(x + dx) = (1 + iAµ(x)dx µ )z(x). (5.6)<br />
Wir betrachten jetzt ein gegebenes Phasenfeld z(x) <strong>und</strong> stellen die Frage, wie sich dieses Phasenfeld<br />
bei Bewegung in Richtung des Basisvektors eµ = ∂µ bezüglich dieses Paralleltransports<br />
ändert. Diese Änderung wird durch die kovariante Ableitung<br />
z(x + λeµ) − z�(x + λeµ)<br />
∇µz = lim<br />
λ→0 λ<br />
= � ∂µ − iAµ)z(x) (5.7)<br />
beschrieben, die eine Darstellung des abstrakten Zusammenhangs ∇ ist. Dieser Zusammenhang<br />
bildet einen Richtungsvektor auf ein Element der Lie-Gruppe ab, beschreibt also die tatsächliche<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
5.1 U(1)-Eichtheorie 115<br />
Rate der Verdrehung auf den Kreisen bei Bewegung in eine vorgegebene räumliche Richtung.<br />
Der Zusammenhang ∇ ist also ein Feld von Lie-Gruppen-wertigen 1-Formen. ∇ spielt hier eine<br />
ganz ähnliche Rolle wie ein Zusammenhang in der Differentialgeometrie, nur dass er statt auf<br />
den Tangentialraum nun auf die inneren Freiheitsgrade wirkt. Wir erkennen hier also ein weiteres<br />
allgemeines Konstruktionsprizip von Eichtheorien:<br />
Der Zusammenhang ∇ einer Eichtheorie ist eine lineare Abbildung eines raumzeitlichen<br />
Richtungsvektors auf die Lie-Algebra der entsprechenden Symmetriegruppe<br />
<strong>und</strong> beschreibt die Rate, mit der der innere Freiheitsgrad bei einer<br />
Bewegung in diese Richtung transformiert wird.<br />
Eichtransformationen z(x) → ˜z(x) = e i f (x) z(x) lassen den abstrakten Zusammenhang ∇ zwar<br />
unverändert, führen jedoch zu einer Änderung seiner Darstellung:<br />
Aµ(x) → õ(x) = Aµ(x) + ∂µ f (x) (5.8)<br />
Eichfelder sind also physikalisch äquivalent, wenn sie durch Addition des Gradienten einer skalaren<br />
Funktion f (x) auseinander hervorgehen.<br />
5.1.6 Intrinsische Krümmung: Das elektromagnetische Feld<br />
Die Verdrehung entlang eines geschlossenen Wegs kann man als eine Verwindung bzw. Krümmung<br />
des intrinsischen Raums interpretieren. Der darunterliegende Ortsraum bzw. Raumzeit<br />
bleibt dagegen ungekrümmt. Mit der oben eingeführten kovarianten Ableitung ergibt sich der<br />
Krümmungstensor F, eine 2-Form, die auf zwei Richtungsvektoren X,Y folgendermaßen wirkt:<br />
�<br />
�<br />
F(X,Y) = i [∇X,∇Y] − ∇ [X,Y] . (5.9)<br />
Dabei wurde der Generator i herausdividiert, so dass diese 2-Form anschaulich den Verdrehungswinkel<br />
im Bogenmaß liefert, den der Käfer beim Durchlaufen eines von X <strong>und</strong> Y aufgespannten<br />
geschlossenen Weges feststellt. Weil diese 2-Form darstellungsfrei definiert ist, ist sie<br />
automatisch unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems im intrinsischen Freiheitsgrad,<br />
also invariant unter Eichtransformationen.<br />
Wir wollen nun die Komponenten dieses Tensors in einer gegebenen Koordinatenbasis berechnen.<br />
Da die Lie-Klammer in einer Koordinatenbasis stets gleich Null ist, verschwindet der<br />
letzte Term <strong>und</strong> wir erhalten<br />
Fµν = F(∂µ,∂ν) = i[∇µ,∇ν] = ∂µAν − ∂νAµ . (5.10)<br />
Die Tensorkomponenten repräsentieren das elektromagnetische Feld <strong>und</strong> sind per Definition<br />
unter U(1)-Eichtransformationen invariant. Im R3+1 ⊕U(1) sind sie gegeben durch<br />
⎛<br />
0<br />
⎜<br />
Fµν = ⎜Ex/c<br />
⎝Ey/c<br />
−Ex/c<br />
0<br />
−Bz<br />
−Ey/c<br />
Bz<br />
0<br />
⎞<br />
−Ez/c<br />
−By ⎟<br />
Bx ⎠<br />
(5.11)<br />
Ez/c By −Bx 0<br />
Die Felder �E(x) <strong>und</strong> �B(x) repräsentieren also den von der Eichung unabhängigen Informationsgehalt<br />
des elektromagnetischen Feldes.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
116 Elektrodynamik als Eichtheorie<br />
5.1.7 Das elektromagnetische Feld als Differentialform<br />
Der Kommutator [∇µ,∇ν] einer allgemeinen kovarianten Ableitung ∇µ = ∂µ + Γµ(x) besitzt<br />
normalerweise drei Terme:<br />
[∇µ,∇ν] = ∂µΓν(x) − ∂νΓµ(x) + [Γµ(x),Γν(x)]. (5.12)<br />
Dabei sind die Größen Γµ(x) Generatoren der Symmetriegruppe, also Elemente der dazugehörigen<br />
Lie-Algebra. Der dritte Term kann über die Vertauschungsrelationen der Lie-Algebra<br />
berechnet werden <strong>und</strong> ist in nichtkommutativen Gruppen ungleich Null. Die Symmetriegruppe<br />
der Elektrodynamik U(1) ist allerdings kommutativ, so dass dieser Term verschwindet.<br />
Da dieser Term wegfällt, kann der Feldstärketensor als äußere Ableitung des Eichfelds interpretiert<br />
werden. Wie man nämlich leicht nachrechnen kann, gilt nämlich <strong>für</strong> die Formen<br />
die Beziehung<br />
A = Aµdx µ , F = 1<br />
2 Fµν dx µ ∧ dx ν<br />
(5.13)<br />
F = dA. (5.14)<br />
Daraus ergeben sich sofort wegen d 2 = 0 die homogenen Maxwellgleichungen<br />
bzw. in Koordinatendarstellung<br />
dF = 0 (5.15)<br />
∂ρFµν + ∂νFρµ + ∂µFνρ = 0. (5.16)<br />
Bemerkung: Von den 4 3 = 64 möglichen Indexkombinationen sind wegen der Antisymmetrie von F<br />
nur vier linear unabhängig. Diese vier Gleichungen lauten:<br />
∂0F12 + ∂2F01 + ∂1F20 = 0<br />
∂0F13 + ∂3F01 + ∂1F30 = 0<br />
∂0F23 + ∂3F02 + ∂2F30 = 0<br />
∂1F23 + ∂3F12 + ∂2F31 = 0.<br />
Einsetzen der Felder �E <strong>und</strong> �B gemäß Gl. (5.11) liefert<br />
∂tBz − ∂yEx + ∂xEy = 0<br />
−∂tBy − ∂zEx + ∂xEz = 0<br />
∂tBx − ∂zEy + ∂yEz = 0<br />
∂xBx + ∂yBy + ∂zBz = 0.<br />
Die ersten drei <strong>und</strong> die letzte Gleichung lassen sich schreiben als ∂t �B = −∇ × �E bzw. ∇ ·�B = 0.<br />
Die homogenen Maxwellgleichungen reflektieren also geometrische Eigenschaften sowie die<br />
Kommutativität der Eichgruppe. Sie sagen noch nichts über die Dynamik <strong>und</strong> die Wechselwirkung<br />
mit Ladungen aus.<br />
5.2 Elektrodynamik im Vakuum<br />
5.2.1 Wirkungsfunktional<br />
In der klassischen <strong>Physik</strong> muss ein Teilchen nicht ruhen, sondern es darf sich auf vielfältige Weise<br />
bewegen, allerdings nur so, dass dabei die Wirkung extremal ist. Ähnliches gilt auch <strong>für</strong> die<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
5.2 Elektrodynamik im Vakuum 117<br />
Verbindungselemente zwischen den Kreisen: Sie müssen nicht unbedingt gerade sein, sondern<br />
dürfen sich durchaus verdrehen, aber nur so, dass dabei die Wirkung des elektromagnetischen<br />
Feldes extremal ist. Mit der Definition der Wirkung fließt an dieser Stelle in die Theorie ein, wie<br />
die Verbindungselemente physikalisch funktionieren.<br />
Anschaulich muss die Wirkung ein skalares Maß <strong>für</strong> den Stress im Gesamtsystem sein, also<br />
Maß <strong>für</strong> die ‘Torsion’ im Verbindungsgefüge. Für ein System ohne verdrehte Verbindungen,<br />
also in einem feldfreien Raum, muss sie ihren minimalen Wert annehmen. Man kann jedoch<br />
durch Vorgabe von Randbedingungen (beispielsweise durch ‘verdrehte’ Anfangsbedingungen)<br />
eine Torsion im Verbindungsgefüge erzwingen. Das Prinzip der kleinsten Wirkung muss dann<br />
die übrigen Verbindungselemente genau so justieren, dass die Torsion im Gesamtsystem minimiert<br />
wird. Das Ergebnis ist eine bestimmte raumzeitliche Verbindungskonfiguration, nämlich<br />
die einer elektromagnetischen Welle.<br />
Beim Auffinden der Form der Wirkung lassen sich <strong>Physik</strong>er gerne vom heuristischen Prinzip<br />
der Einfachheit leiten. Demnach ist die in der Natur realisierte Wirkung die jeweils einfachste,<br />
die mit den Symmetrien des Systems vereinbar ist. Im Fall der U(1)-Eichtheorie bedeutet das<br />
folgendes: Zunächst muss sich die Wirkung als ein raumzeitliches Volumenintegral<br />
�<br />
S = d 4 xL (5.17)<br />
über einer skalaren Lagrangedichte L schreiben lassen. Da die Lagrangedichte als Skalar darstellungsunabhängig<br />
ist, muss sie unter Eichtransformationen invariant sein, darf also nur von<br />
den ‘echten’ Feldern abhängen, sollte also eine Funktion des Feldstärketensors sein. Der einfachste<br />
Skalar, der aus F gebildet werden kann, ist die Spur F µ µ , die allerdings immer gleich<br />
Null ist – dieser Versuch war also zu einfach. Die nächste naheliegende Möglichkeit wäre, den<br />
Tensor mit sich selbst zu kontrahieren, d.h.<br />
L = − 1<br />
4 F µν Fµν<br />
(5.18)<br />
wobei der Vorfaktor −1/4 eine Konvention ist.<br />
Wir variieren nun das Verbindungsgefüge infinitesimal durch A → A + δA <strong>und</strong> fragen nach<br />
der entsprechenden Änderung der Wirkung S → S + δS. Offenbar ist<br />
δS = − 1<br />
�<br />
2<br />
d 4 xF µν δFµν = − 1<br />
�<br />
d<br />
2<br />
4 xF µν = −<br />
(∂µδAν − ∂νδAµ)<br />
1<br />
�<br />
2<br />
d 4 x(F µν − F νµ �<br />
)∂µδAν = − d 4 xF µν ∂µδAν .<br />
(5.19)<br />
Durch partielle Integration gelangt man zu<br />
�<br />
δS = d 4 xδAν ∂µF µν . (5.20)<br />
Da die δAν unabhängig variiert werden können, ist die Wirkung genau dann extremal, wenn gilt<br />
∂µF µν = 0. (5.21)<br />
Diese Gleichungen bilden den zweiten Satz von Maxwell-Gleichungen. Mit der kontravarianten<br />
Darstellung des Feldstärketensors<br />
F µν ⎛<br />
⎞<br />
0 Ex/c Ey/c Ez/c<br />
⎜<br />
= ⎜−Ex/c<br />
0 Bz −By ⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
(5.22)<br />
−Ey/c −Bz 0 Bx<br />
−Ez/c By −Bx 0<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
118 Elektrodynamik als Eichtheorie<br />
kann man leicht zeigen, dass sich daraus die Maxwellgleichungen ∇ · �E = 0 <strong>und</strong> ∂t �E = ∇ ×�B.<br />
5.3 Elektrodynamik in Differentialformen<br />
5.3.1 U(1)-Eichsymmetrie<br />
In der Elektrodynamik wird die U(1)-Symmetrie der Phasenlage z(x) durch einen kovarianten<br />
Zusammenhang<br />
∇X = X − iA(X) (5.23)<br />
beschrieben, wobei i der Generator der entsprechenden Lie-Algebra ist <strong>und</strong> A eine 1-Form ist,<br />
welche die Änderung der Phase in Richtung X beschreibt. Unter Eichtransformationen z(x) →<br />
z(x)e i f (x) transformiert sich A gemäß<br />
so dass die äußere Ableitung<br />
A → A + df (5.24)<br />
F = dA (5.25)<br />
eichinvariant ist <strong>und</strong> damit die physikalischen Felder beschreibt. Da F eine exakte Form ist,<br />
folgen daraus die homogenen Maxwellgleichungen<br />
5.3.2 Wirkung<br />
dF = 0. (5.26)<br />
Die Wirkung des elektromagnetischen Feldes S ist das 4-dimensionale Volumenintegral<br />
�<br />
S = L (5.27)<br />
über die 4-Form<br />
L[A, dA] = − 1<br />
dA ∧ ⋆dA + A ∧ ⋆J. (5.28)<br />
2<br />
wobei die 1-Form J die Ladungsstromdichte ist1 . Durch Variation der Wirkung gelangt man zu<br />
den Lagrangeschen Gleichungen<br />
∂L ∂L<br />
+ d = 0 (5.29)<br />
∂A ∂(dA)<br />
in Form der inhomogenen Maxwellgleichungen<br />
d ⋆ F = ⋆J. (5.30)<br />
Wegen d 2 = 0 folgt daraus die Kontinuitätsgleichung <strong>für</strong> die Ladungserhaltung<br />
d ⋆ J = 0. (5.31)<br />
1 In der Literatur wird oft zunächst die Ladungsstromdichte als 3-Form ¯J definiert. Diese 3-Form beschreibt die<br />
Impuls, der durch die dreidimensionale Hyperfläche hindurchtritt, welche durch die drei Vektoren aufgespannt<br />
wird. Die hier verwendete 1-Form J = ⋆¯J beschreibt also den Impuls, der durch eine Hyperfläche hindurchtritt,<br />
die senkrecht auf dem Eingangsvektor steht. Ihre Komponenten sind die Ladungsdichte σ <strong>und</strong> der Ladungsstrom<br />
j.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
5.3 Elektrodynamik in Differentialformen 119<br />
5.3.3 Wellengleichung<br />
Wendet man den Hodge-Stern-Operator auf die inhomogenen Maxwellgleichungen d⋆ dA = ⋆J<br />
an, so erhält man<br />
d † dA = J. (5.32)<br />
Da der Laplacian durch � = −d † d − dd † gegeben ist, folgt daraus �A = −J − dd † A. Mit der<br />
Lorenz-Eichung<br />
d † A = 0 (5.33)<br />
erhalten wir die Wellengleichung<br />
5.3.4 Darstellung der Elektrodynamik<br />
�A = −J. (5.34)<br />
In einem gegebenen Bezugssystem mit Minkowski-Koordinaten lassen sich die in der Elektrondynamik<br />
verwendeten Differentialformen folgendermaßen darstellen:<br />
A = φ dx 0 + Ax dx 1 + Ay dx 2 + Az dx 3<br />
F = Ex dx 1 ∧ dx 0 + Ey dx 2 ∧ dx 0 + Ez dx 3 ∧ dx 0<br />
+ Bx dx 2 ∧ dx 3 + By dx 3 ∧ dx 1 + Bz dx 1 ∧ dx 2<br />
(5.35)<br />
(5.36)<br />
J = ρ dx 0 + jx dx 1 + jy dx 2 + jz dx 3 . (5.37)<br />
Dabei ist φ das Potential, �A = (Ax,Ay,Az) das Vektorpotential, �E = (Ex,Ey,Ez) das elektrische<br />
Feld, �B = (Bx,By,Bz) das magnetische Feld, ρ die Ladungsdichte <strong>und</strong> �j = ( jx, jy, jz) die Stromdichte.<br />
In dieser Darstellung sind die entsprechenden Hodge-Duals gegeben durch<br />
⋆F = Bx dx 0 ∧ dx 1 + By dx 0 ∧ dx 2 + Bz dx 0 ∧ dx 3<br />
+ Ex dx 2 ∧ dx 3 + Ey dx 3 ∧ dx 1 + Ez dx 1 ∧ dx 2<br />
⋆J = ρ dx 1 ∧ dx 2 ∧ dx 3<br />
5.3.5 Ladungserhaltung<br />
− jx dx 2 ∧ dx 3 ∧ dx 0 − jy dx 3 ∧ dx 1 ∧ dx 0 − jz dx 1 ∧ dx 2 ∧ dx 0<br />
(5.38)<br />
(5.39)<br />
In betrachten nun ein dreidimensionales räumliches Gebiet G in dieser Darstellung2 <strong>und</strong> integrieren<br />
die inhomogenen Maxwellgleichungen über dieses Gebiet<br />
� � �<br />
⋆J = d ⋆ F = ⋆F (5.40)<br />
G<br />
G<br />
wobei auf der rechten Seite das Stokesche Theorem angewandt wurde. Da sowohl G als auch<br />
∂G räumlich sind, tragen im Integranden nur soche Terme bei, die kein dt = dx 0 enthalten. So<br />
ist z.B. � �<br />
⋆J = ρ dx 1 ∧ dx 2 ∧ dx 3 �<br />
= ρ(�x)d 3 x = Q (5.41)<br />
G<br />
G<br />
2 Ein räumliches Gebiet hat keine zeitliche Ausdehnung. Beachten Sie, dass diese Eigenschaft im allgemeinen beim<br />
Wechsel des Bezugssystems verloren geht.<br />
∂G<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
G
120 Elektrodynamik als Eichtheorie<br />
die in dem Gebiet enthaltene Gesamtladung. Bei der Integration über ⋆F tragen nur die elektri-<br />
schen Komponenten bei:<br />
�<br />
⋆F =<br />
∂G<br />
�<br />
Ex dx<br />
∂G<br />
2 ∧ dx 3 + Ey dx 3 ∧ dx 1 + Ez dx 1 ∧ dx 2<br />
(5.42)<br />
Der Integrand ∑ 3 i=1 Ei(⋆dx i ) = �E ·�ndS kann interpretiert werden als Skalarprodukt des elektrischen<br />
Feldes mit dem Normalenvektor�n auf dem Flächenelement dS. Damit erhält man den Satz<br />
von Gauß<br />
�<br />
Q = �E ·�ndS. (5.43)<br />
∂G<br />
Eine analoge Rechnung <strong>für</strong> die homogenen Maxwellgleichungen ergibt<br />
� �<br />
F = �B ·�ndS = 0 (5.44)<br />
∂G ∂G<br />
<strong>und</strong> besagt, dass es keine magnetischen Monopole gibt.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
6 Feldgleichen der Allgemeinen<br />
<strong>Relativitätstheorie</strong><br />
6.1 Konzept der Allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
6.1.1 Historische Entwicklung<br />
Unser Verständnis von Wechselwirkungen lässt sich rückblickend als ein Konflikt zwischen Lokalität<br />
<strong>und</strong> Relativität deuten. In diesem Abschnitt wollen wir diesen sehr interessanten Teil der<br />
Wissenschaftsgeschichte ein wenig beleuchten.<br />
Im Mittelalter ist die Wissenschaft stark religiös geprägt <strong>und</strong> ist eher an einem gesamtheitlichen<br />
Weltverständnis als an Einzelphänomenen interessiert.<br />
“Mitten im Weltenbau steht der Mensch. denn er ist bedeutender<br />
als alle übrigen Geschöpfe. An Statur ist er zwar klein, an Kraft<br />
seiner Seele jedoch gewaltig. Sein Haupt nach oben gerichtet, die<br />
Füße auf festem Gr<strong>und</strong>, vermag er alles in Bewegung zu setzen.<br />
Was er mit seinem Werk bewirkt, das durchdringt das All. Wie<br />
nämlich der Leib des Menschen das Herz an Größe übertrifft, so<br />
sind auch die Kräfte der Seele gewaltiger als die des Körpers,<br />
<strong>und</strong> wie das Herz des Menschen im Körper verborgen ruht, so ist<br />
auch der Körper von den Kräften der Seele umgeben, da diese<br />
sich über den gesamten Erdkreis erstrecken. [...]” a<br />
a Hildegard von Bingen, Liber Divinorum operum (1163-1170).<br />
Die Kugel im Zentrum der obigen Abbildung stellt den Erdball dar. Im Zentrum der Welt steht<br />
der Mensch <strong>und</strong> definiert in diesem Sinne ein absolutes Bezugssystem. Kraft seines Glaubens<br />
verfügt der Mensch über eine Seele, die “das All durchdringt”, wie es die in der Abbildung von<br />
der Erdkugel ausgehenden Strahlen symbolisieren sollen. Im weitesten Sinne handelt es sich um<br />
eine Art nichtlokale Fernwirkung, wenn diese auch eher religiöser als physikalischer Natur ist,<br />
obwohl durchaus auch reale Phänomene wie die Gravitation in diesem Kontext gesehen werden.<br />
Mit der Renaissance wächst das Bedürfnis, die infeffiziente Wissenschaft des Mittelalters zu<br />
überwinden. Einer der Exponenten ist Galileo Galilei (1564-1642), der zum einen die zentrale<br />
Rolle der Mathematik hervorhebt:<br />
“Die Philosophie steht in diesem großen Buch geschrieben, dem Universum, das<br />
unserem Blick ständig offen liegt. Aber das Buch ist nicht zu verstehen, wenn man<br />
nicht zuvor die Sprache erlernt <strong>und</strong> sich mit den Buchstaben vertraut gemacht hat,<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
122 Feldgleichen der Allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
in denen es geschrieben ist. Es ist in der Sprache der Mathematik geschrieben, <strong>und</strong><br />
deren Buchstaben sind Kreise, Dreiecke <strong>und</strong> andere geometrische Figuren, ohne die<br />
es dem Menschen unmöglich ist, ein einziges Wort davon zu verstehen; ohne diese<br />
irrt man in einem dunklen Labyrinth herum.” 1<br />
Neu ist aber auch eine Verschiebung des Interesses vom allumfassenden Weltbild zum Einzelphänomen,<br />
womit der Gr<strong>und</strong>stein <strong>für</strong> eine empirische am Experiment orientierte Wissenschaft<br />
gelegt wird:<br />
“Ich halte das Auffinden einer Wahrheit, auch der kleinsten, <strong>für</strong> wichtiger als jene<br />
länglichen Disputationen über die größten Fragen, die zu nichts führen” 2<br />
Relativitätsprinzip<br />
Eine wichtige Errungenschaft der Renaissance ist das Relativitätsprinzip. Der wohl erste wirkliche<br />
“Relativist” ist der Theologe Nikolaus von Kues (1401-1464), auch Cusanus genannt. Obwohl<br />
er kein Naturwissenschaftler ist, eilt er seiner Zeit weit voraus. Weder die Erde, die Sonne<br />
noch irgendein anderer Himmelskörper seien seiner Ansicht nach als Mittelpunkt der Welt zu<br />
betrachten. Gott als Gr<strong>und</strong>lage <strong>für</strong> die Existenz der Welt könne nämlich nicht selbst Teil der Welt<br />
sein <strong>und</strong> aus diesem Gr<strong>und</strong>e – in heutigen Jargon ausgedrückt – auch nicht mit der Welt physikalisch<br />
wechselwirken. Demzufolge unterliege die Welt Naturgesetzen, in die Gott nicht aktiv<br />
eingreift, die also gewissermaßen autonom ablaufen <strong>und</strong> in ihrer Form zeitlich unveränderlich<br />
sind. Da kein Element dieser Welt Gott-gleich <strong>und</strong> damit in besonderer Weise ausgezeichnet wäre,<br />
könnten sich diese Naturgesetze nur auf die Relationen zwischen Objekten beziehen. Gott sei<br />
dagegen das “Nicht-Andere”, also der Seinsgr<strong>und</strong>, der nicht in relativen Kategorien ausdrückbar<br />
ist. Mit diesem spekulativen Weltbild ist Cusanus wohl der erste moderne Relativist <strong>und</strong> geht<br />
sehr viel weiter als z.B. Kopernikus, der fast 100 Jahre später mit seiner Schrift “De Revolutionibus<br />
Orbium Coelestium” den Mittelpunkt der Welt zwar von der Erde zur Sonne verlegt,<br />
jedoch im Gr<strong>und</strong>e das Konzept eines absoluten Bezugssystems beibehält.<br />
Das Relativitätsprinzip verbannt nicht nur den Menschen aus dem Mittelpunkt des Universums,<br />
sondern hat auch andere weitreichende Konsequenzen. Wenn nämlich die Naturgesetze<br />
ausschließlich auf Relationen zwischen Objekten beruhen, muss die Struktur von Raum <strong>und</strong> Zeit<br />
damit verträglich ist. In heutiger Sprache ausgedrückt müssen Raum <strong>und</strong> Zeit die notwendigen<br />
Symmetrien besitzen, nämlich homogen, isotrop <strong>und</strong> unbegrenzt sein. Die bis dahin allgemein<br />
akzeptierte Vorstellung von einer Begrenzung des Diesseits durch eine Fixsternsphäre war damit<br />
nicht mehr kompatibel. Giordano Bruno unternahm den Versuch, das religiöse Weltbild dieser<br />
neuen Sichtweise anzupassen: Nur ein unendliches Universum reflektiere Gottes Unendlichkeit<br />
in angemessener Weise, argumentiert er.<br />
Galieo Galilei, der eher an der “Wahrheit, auch der kleinsten” interessiert ist, gelingt es zuerst,<br />
das Relativitätsprinzip anschaulich <strong>und</strong> dann in Form der berühmten Galilei-Transformation<br />
auch mathematisch zu formulieren:<br />
“Schließt Euch in Gesellschaft eines Fre<strong>und</strong>es in einen möglichst großen Raum unter<br />
dem Deck eines großen Schiffes ein. Verschafft Euch dort Mücken, Schmetter-<br />
1 Galileo Galilei, Saggiatore (1623).<br />
2 ”Io stimo più il trovar un vero, benché di cosa leggiera, che ’l disputar lungamente delle massime questioni senza<br />
conseguir verità nissuna.“ Nachweis unklar.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
6.1 Konzept der Allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong> 123<br />
linge <strong>und</strong> ähnliches fliegendes Getier; sorgt auch <strong>für</strong> ein Gefäß mit Wasser <strong>und</strong><br />
kleinen Fischen darin; hängt ferner oben einen kleinen Eimer auf, welcher tropfenweise<br />
Wasser in ein zweites enghalsiges darunter gestelltes Gefäß träufeln läßt.<br />
Beobachtet nun sorgfältig, solange das Schiff stille steht, wie die fliegenden Tierchen<br />
mit der nämlichen Geschwindigkeit nach allen Seiten des Zimmers fliegen.<br />
Man wird sehen, wie die Fische ohne irgend welchen Unterschied nach allen Richtungen<br />
schwimmen; die fallenden Tropfen werden alle in das untergestellte Gefäß<br />
fließen. Wenn Ihr Eurem Gefährten einen Gegenstand zuwerft, so braucht Ihr nicht<br />
kräftiger nach der einen als nach der anderen Richtung zu werfen, vorausgesetzt,<br />
daß es sich um gleiche Entfernungen handelt. Wenn Ihr, wie man sagt, mit gleichen<br />
Füßen einen Sprung macht, werdet Ihr nach jeder Richtung hin gleichweit gelangen.<br />
Achtet darauf, Euch aller dieser Dinge sorgfältig zu vergewissern, wiewohl<br />
kein Zweifel obwaltet, daß bei ruhendem Schiffe alles sich so verhält. Nun laßt das<br />
Schiff mit jeder beliebigen Geschwindigkeit sich bewegen: Ihr werdet — wenn nur<br />
die Bewegung gleichförmig ist <strong>und</strong> nicht hier- <strong>und</strong> dorthin schwankend — bei allen<br />
genannten Erscheinungen nicht die geringste Veränderung eintreten sehen. Aus<br />
keiner derselben werdet Ihr entnehmen können, ob das Schiff fährt oder stille steht.<br />
[...]” 3<br />
Französische Schule<br />
Mit der Etablierung empirischer Methoden nahm auch das Vertrauen in die Kausalität zu, also<br />
der Annahme, dass jedes Phänomen eine Ursache besitzt. Dieses Ursache-Wirkungs-Prinzip war<br />
von Anfang an eng verknüpft mit dem Begriff der Lokalität, also der empirischen Tatsache, dass<br />
Ursache <strong>und</strong> Wirkung einen direkten räumlichen Kontakt erfordern. Um eine Tür zu öffnen,<br />
muss man sie direkt berühren oder mit einem vermittelnden Medium (Windstoß) eine Kraft auf<br />
sie ausüben.<br />
Die französische Schule um René Descartes (1596-1650) versucht, die Lokalität von Ursache<br />
<strong>und</strong> Wirkung zu einem gr<strong>und</strong>legenden Prinzip zu erheben. Das Problem bestand darin, dass<br />
sich die Gravitation dem Prinzip der Lokalität widersetzte, denn Dinge fallen auch ohne direkten<br />
mechanischen Kontakt zu Boden. Die Gravitation schien also eine Fernwechselwirkung zu<br />
sein, ähnlich wie die den Kosmos durchdringende Seele des Mittelalters, <strong>und</strong> so etwas galt als<br />
nicht mehr zeitgemäß. Die Anhänger der französischen Schule postulierten also, dass die Gravitation<br />
durch ein Medium vermittelt werden müsse, ähnlich wie Luftdruck durch die Luft vermittelt<br />
wird. Dieses hypothetische Medium, Äther genannt, stellte man sich als stark verdünnte<br />
Materieform vor, mit der der gesammte Weltraum aufgefüllt sein müsse. Die Himmelskörper<br />
schwimmen in diesem Äther <strong>und</strong> bewegen sich allein durch lokale mechanische Druckeffekte.<br />
Auf diese Weise versuchte man, eine Theorie der Mechanik zu entwickeln, die konsequent auf<br />
einem lokalen Ursache-Wirkungs-Prinzip aufgebaut ist.<br />
3 Galilei, Galileo: Dialog über die beiden hauptsächlichsten Weltsysteme, das Ptolemäische <strong>und</strong> das Kopernikani-<br />
sche, S. 197-198, Leipzig: B.G. Teubner 1891<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
124 Feldgleichen der Allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
Diese Theorie war allerdings recht ineffizient<br />
<strong>und</strong> nahm skurrile Züge an. So musste man z.B.<br />
erklären, warum der Mond nicht herunterfällt. Dazu<br />
wurde die Erde als Ätherquelle interpetiert, die<br />
einen radial nach außen gerichteten Ätherwind<br />
emittiert. Den Kosmos stellte man sich um jedes<br />
Gestirn parzelliert vor, wobei in jeder Zelle separate<br />
Ätherwirbel <strong>für</strong> die Bewegung der Gestirne sorgen<br />
(siehe Abbildung).<br />
Der Äther brachte aber noch ein anderes großes Problem<br />
mit sich. Er definiert lokal ein Ruhesystem,<br />
was dem Relativitätsprinzip widerspricht. Im Inneren<br />
des Schiffes müsste es nämlich im Prinzip möglich<br />
sein, die Bewegung relativ zum Äther zu messen,<br />
d.h. bei Bewegung des Schiffes müssten sich die<br />
Fliegen durch den Äthergegenwind auf einer Seite<br />
des Raums sammeln. Die beiden großen Modernisierungsprojekte<br />
– Relativität <strong>und</strong> Lokalität – , mit<br />
denen man die infeffiziente mittelalterliche Wissenschaft<br />
überwinden wollte, widersprachen sich also<br />
gegenseitig.<br />
Newtonsche Mechanik<br />
Ätherwindkarte (nach Descartes)<br />
In sicherer Entfernung von Paris schlägt sich Isaac Newton (1642-1726) auf die Seite der Relativisten.<br />
Seine Mechanik ist invariant unter Galilei-Transformationen, beschreibt also auf einem<br />
bewegten Schiff genau die von Galilei beschriebene Situation. Da<strong>für</strong> zahlt Newton allerdings<br />
einen Preis, denn um eine solche Mechanik konsitent zu formulieren, muss er die Gravitationskraft<br />
als eine instantane Fernwechselwirkung postulieren, also als eine nicht durch ein Medium<br />
vermittelte, sondern durch die bloße Anwesenheit von Massen hervorgerufene Kraft mit unendlich<br />
großer Ausbreitungsgeschwindigkeit. Dieses Konzept erschien zu seiner Zeit rückständig,<br />
ja geradezu reaktionär <strong>und</strong> wurde deshalb auch heftig attackiert. Im Vergleich zur französischen<br />
<strong>Physik</strong> schien Newtons <strong>Physik</strong> jedoch zu funktionieren <strong>und</strong> trat einen beispiellosen <strong>und</strong> konkurrenzlosen<br />
Siegeszug an, der bis zum Beginn des 20. Jahrh<strong>und</strong>erts andauern sollte. Ohne diesen<br />
praktischen Erfolg wäre Newtons Mechanik wohl schnell in Vergessenheit geraten.<br />
Das Relativitätsprinzip ist bei Newton allerdings in durchaus ambivalenter Weise realisiert.<br />
Schon Galilei bemerkte, dass seine Überlegungen nur dann zutreffen, “wenn nur die Bewegung<br />
[des Schiffes] gleichförmig <strong>und</strong> nicht hier- <strong>und</strong> dorthin schwankend” ist, also nur auf unbeschleunigte<br />
Bezugssysteme, sogenannte Inertialsysteme anwendbar sind. Diese Einschränkung<br />
ist bemerkenswert <strong>und</strong> wird von Newton in seinem berühmten Gedankenexperiment vom rotierenden<br />
Eimer vertieft:<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
6.1 Konzept der Allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong> 125<br />
“If a vessel, hung by a long cord, is so often turned about that the cord is strongly twisted,<br />
then filled with water, and held at rest together with the water; after, by the sudden action<br />
of another force, it is whirled about in the contrary way, and while the cord is untwisting<br />
itself, the vessel continues for some time this motion; the surface of the water will at first<br />
be plain, as before the vessel began to move; but the vessel by gradually communicating<br />
its motion to the water, will make it begin sensibly to revolve, and recede by little and little,<br />
and ascend to the sides of the vessel, forming itself into a concave figure...This ascent of the<br />
water shows its endeavour to recede from the axis of its motion; and the true and absolute<br />
circular motion of the water, which is here directly contrary to the relative, discovers itself,<br />
and may be measured by this endeavour. ... And therefore, this endeavour does not depend<br />
upon any translation of the water in respect to ambient bodies, nor can true circular motion<br />
be defined by such translation. ...; but relative motions...are altogether destitute of any real<br />
effect. ...It is indeed a matter of great difficulty to discover, and effectually to distinguish, the<br />
true motions of particular bodies from the apparent; because the parts of that immovable<br />
space in which these motions are performed, do by no means come <strong>und</strong>er the observations<br />
of our senses.” a<br />
a I. Newton, Principia, Book 1: Scholium<br />
Newton erfindet hier nicht die Fliehkraft neu, sondern macht sich Gedanken über den f<strong>und</strong>amentalen<br />
Unterschied zwischen Geschwindigkeiten <strong>und</strong> Beschleunigungen. Ein Beobachter<br />
mit geschlossenen Augen kann zwar nicht feststellen, wie schnell er ist, wohl aber seine eigene<br />
Beschleunigung wahrnehmen. So kann der Beobachter z.B. anhand des Pirouetteneffekts sehr<br />
leicht feststellen, ob er rotiert oder nicht. Es muss also etwas geben, bezüglich dem man rotiert.<br />
Genau diesen Sachverhalt soll das Eimer-Experiment zum Ausdruck bringen. Der Begriff der<br />
Beschleunigung scheint sich damit dem relativistischen Gr<strong>und</strong>konzept zu entziehen.<br />
Newton folgert daraus, dass damit zwar der Descartes’sche Äther ad absurdum geführt ist,<br />
dass es aber dennoch einen “absoluten Raum” geben müsse, gewissermaßen eine Art Äther 2.<br />
Ordnung. In diesem Raum sind Orte <strong>und</strong> Geschwindigkeiten relativ, Beschleunigungen dagegen<br />
absolut, sonst nämlich hätte die Gleichung �F = m�a keinen Sinn. Außerdem stellt Newton fest,<br />
dass er das Relativitätsprinzip <strong>für</strong> Geschwindigkeiten nur dann konsistent implementieren kann,<br />
wenn die Zeit eine universelle Größe ist <strong>und</strong> die Gravitationskraft als eine instantane Fernwechselwirkung<br />
betrachtet wird. In Newtons Worten:<br />
Faraday<br />
“Absolute, true and mathematical time, of itself, and from its own nature flows equably<br />
without regard to anything external . . . ”.<br />
Als Michael Faraday (1791-1867) beginnt, elektromagnetische<br />
Phänomene zu untersuchen, ist das<br />
Newtonsche Konzept der <strong>Physik</strong> wegen seines überwältigenden<br />
Erfolgs längst zu einem akademischen<br />
Paradigma geworden. In dieser Welt des absoluten<br />
Raums mit fernwirkenden Kraftzentren hatte man<br />
Schwierigkeiten, die neuen Phänomene zu verstehen.<br />
Der gelernte Buchbinder Faraday besaß als<br />
Quereinsteiger die notwendige Unabhängigkeit, um<br />
neue Konzepte zu entwickeln.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
M. Faraday – Weihnachtsvorlesung
126 Feldgleichen der Allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
Insbesondere seine Experimente mit polarisiertem Licht führten Faraday zu der Vorstellung,<br />
dass der Raum in der Umgebung eines Magneten oder einer Ladung nicht etwa leer, sondern<br />
von einem Feld erfüllt sei, wie sonst hätte denn das Licht, das ja nicht einmal der Gravitation<br />
unterliegt, abgelenkt werden können? Die elektrische <strong>und</strong> magnetische Kraft mussten also<br />
anderer Natur sein <strong>und</strong> nicht als instantane Fernwechselwirkung, sondern über ein Medium in<br />
Form eines ‘Feldes’ vermittelt werden. Während diese Felder anfangs als ein mathematisches<br />
Hilfswerkzeug eingeführt wurden, betrachtete Faraday die Feldlinien im Lauf seines Lebens zunehmend<br />
als reale physikalische Objekte. Mit der Entdeckung, dass sich Ursache <strong>und</strong> Wirkung<br />
bei elektromagnetischen Phänomenen nur mit endlicher Geschwindigkeit ausbreiten, verfestigte<br />
sich diese Vorstellung weiter.<br />
Damit entstand das Modell eines nichtrelativistischen elektromagnetischen Äthers, der in<br />
Newtons halbrelativistischer Raumzeit lebt, dort aber ein bestimmtes Bezugssystem auszeichnet<br />
<strong>und</strong> deshalb die wesentliche Symmetrie der Newtonschen Theorie verletzt. Wie bereits beschrieben,<br />
verbreitete sich diese Vorstellung mit der Entdeckung elektromagnetischer Wellen, die auch<br />
ohne Anwesenheit von Ladungen existieren können <strong>und</strong> deshalb zwangsläufig ein ‘Ausbreitungsmedium’<br />
zu benötigen schienen. Vor diesem Hintergr<strong>und</strong> war es <strong>für</strong> <strong>Physik</strong>er am Ende des<br />
19. Jahrh<strong>und</strong>erts keine Überraschung, dass die Maxwellgleichungen nicht Galilei-invariant sind.<br />
6.1.2 Gravitation<br />
Mit der speziellen <strong>Relativitätstheorie</strong> löst Einstein den scheinbaren Widerspruch zwischen Elektrodynamik<br />
<strong>und</strong> Newtonscher Mechanik auf. Im mathematischen Jargon würde man sagen, dass<br />
Einstein eine kontinuierliche Deformation der Galilei-Transformationen mit einem Parameter c<br />
findet, die der Lorentz-Transformation entspricht. Das Resultat ist eine kovariante Theorie, die<br />
allerdings ein Hauptproblem der alten Newtonschen Theorie geerbt hat. Sowohl die Newtonsche<br />
Mechanik als auch die spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong> erfüllen zwar das Relativitätsprinzip <strong>für</strong><br />
Positionen <strong>und</strong> Geschwindigkeiten, verletzen es aber <strong>für</strong> Beschleunigungen. Dieser Sachverhalt<br />
kommt in beiden Theorien dadurch zum Ausdruck, dass die physikalischen Gesetze nicht in allen,<br />
sondern nur in Intertialsystemen invariant sind, welche die Eigenschaft haben, gegenüber<br />
dem ‘absoluten Raum’ unbeschleunigt zu sein. Das Relativitätsprinzip ist also in der speziellen<br />
<strong>Relativitätstheorie</strong> nach wie vor nur teilweise realisiert. Nimmt man das relativistische Konzept<br />
ernst, sind wir also hier noch nicht am Ziel, sondern müssen die Theorie so erweitern, dass auch<br />
Beschleunigungen als relativistische Begriffe integriert werden. Dieses Ziel erreicht Einstein mit<br />
der Allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong> nach etwa 10-jähriger harter Arbeit.<br />
Den anschaulichen Zugang zur Allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong> pflegte Einstein anhand eines<br />
Fahrstuhls zu erklären. Hier ist eine von Rovelli [14] vorgeschlagene kosmologische Variante<br />
dieses Gedankenexperiments. Stellen wir uns vor, dass wir in einem kugelförmigen Galaxienhaufen<br />
leben würden. Unter dem Einfluss der Gravitation wird sich dieser Haufen kontrahieren.<br />
Offensichtlich befindet sich dabei die Galaxie im Zentrum in einem unbeschleunigten, eine Galaxie<br />
am Rand dagegen in einem beschleunigten Bezugssystem.<br />
Wie bewegt sich ein Teilchen mit der Masse m innerhalb dieses Haufens gemäß der Newtonschen<br />
Theorie? Wenn r(t) der Abstand des Teilchens vom Mittelpunkt ist <strong>und</strong> der Haufen eine<br />
räumlich konstante Massendichte ρ(t) besitzt, ist die auf das Teilchen wirkende Gravitationskraft<br />
F = GmM/r 2 (t) durch die in der Kugel mit Radius r(t) anwesende Masse M = 4<br />
3 πr3 (t)ρ(t)<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
6.1 Konzept der Allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong> 127<br />
bestimmt, d.h.<br />
Abbildung 6.1: Kontraktion eines Galaxiehaufens (siehe Text).<br />
d<br />
�r(t) = −4π<br />
dt 3<br />
Gρ(t)�r(t). (6.1)<br />
Eine ähnliche Gleichung erhält man auch <strong>für</strong> das homogene flache Universum bei relativistischer<br />
Behandlung. Weil diese Gleichung homogen im Ort ist, ist sichergerstellt, dass die Dichte<br />
ρ(t) innerhalb des Haufens zwar zunimmt, jedoch ortsunabhängig bleibt. Ferner folgt aus der<br />
Homogenität, dass sich nicht nur der Abstand zum Mittelpunkt, sondern beliebige Abstände<br />
gemäß der obigen Gleichung zeitlich entwickeln. Bei endlicher Beobachtungsreichweite wäre<br />
also die Kontraktionsdynamik im Mittelpunkt (beobachtet im grünen Kreis) von der bezüglich<br />
eines anderen Punkts im freien Fall (beobachtet z.B. im roten Kreis) nicht zu unterscheiden.<br />
Ein Beobachter hat also in diesem Beispiel keine Möglichkeit zu erkennen, ob er sich in einem<br />
beschleunigten Bezugssystem befindet oder nicht. Einstein löst diesen Widerspruch durch<br />
folgendes Postulat:<br />
Beschleunigung <strong>und</strong> Gravitation sind identisch.<br />
Gravitation erfordert also keine zweite Masse, von der sie ausgeht, sondern kann schon bereits<br />
mit einem Wechsel in ein beschleunigtes Bezugssystem erreicht werden. Ebenso kann die Gravitation<br />
wie im obigen Beispiel eliminiert werden, in dem man in ein ‘frei fallendes’ Bezugssystem<br />
wechselt. Man kann diesen Paradigmenwechsel plakativ so formulieren:<br />
Das Gravitationsfeld befindet sich nicht in Raum <strong>und</strong> Zeit,<br />
es ist Raum <strong>und</strong> Zeit.<br />
Damit kann man Newtons Wassereimer so deuten, dass sich die Wasseroberfläche wölbt, wenn<br />
er relativ zum lokalen Gravitationsfeld rotiert. Was Newton also als ‘absoluten Raum’ identifiziert,<br />
ist nichts anderes als ein homogenes Gravitationsfeld von einem Beobachter im freien<br />
Fall aus gesehen. Newtons ‘Fehler’ bestand darin, auf diesem neutralen Gravitationsfeld eine<br />
zweite Gravitationskraft als instantane Fernwechselwirkung zu postulieren. In der allgemeinen<br />
<strong>Relativitätstheorie</strong> ist das nicht länger notwendig. Indem das neutrale Gravitationsfeld zu einem<br />
dynamischen Feld wird, können alle Gravitationseffekte ohne Zuhilfenahme einer mysteriösen<br />
Fernwechselwirkung erklärt werden. Die Gravitationseffekte werden dabei mit endlicher Geschwindigkeit<br />
durch lokale Wechselwirkungen vermittelt, so wie es sich Descartes vielleicht<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
128 Feldgleichen der Allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
erträumt hätte.<br />
6.1.3 Invarianz unter Diffeomorphismen<br />
Wie könnte eine solche “allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>” aussehen? Eine notwendige Voraussetzung<br />
ist, dass die physikalischen Gesetze nicht nur in Intertialsystemen, sondern in beliebigen<br />
Bezugssystemen gelten. Die allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong> muss also in beliebigen Koordinatensystemen<br />
formulierbar sein, ihre Formeln müssen also auch im Bezugssystem eines Achterbahnfahrers<br />
korrekt sein. Intuitiv ist klar, dass man das nur erreichen kann, wenn die ‘normalen’ Bewegungsgleichungen<br />
um Korrekturterme erweitert werden, welche die Beschleunigungseffekte<br />
in solchen Bezugssystemen kompensieren, man benötigt also eine Art Beschleunigungseichfeld.<br />
Dieses Eichfeld ist das Gravitationsfeld.<br />
Wenn die Formeln der allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong> in jedem Bezugssystem, also in jedem<br />
Koordinatensystem korrekt sind, müssen sie unter beliebigen Koordinatentransformationen forminvariant<br />
sein. Solche Abbildungen bezeichnet man als passive Diffeomorphismen.<br />
Zur Erinnerung: Ein Diffeomorphismus ist eine bijektiv stetig differenzierbare Abbildung, deren<br />
Umkehrabbildung ebenfalls stetig differenzierbar ist.<br />
Nachdem sich Einstein in die Differentialgeometrie eingearbeitet hatte, war relativ schnell<br />
klar, dass die aus dem metrischen Tensor bestimmten Christoffelsymbole das Gravitationsfeld<br />
codieren <strong>und</strong> dass Teilchen, die nur der Gravitationskraft unterliegen, sich in der gekrümmten<br />
Raumzeit auf geodätischen Linien bewegen. Damit waren bereits wesentliche Elemente der<br />
Theorie fixiert. Dann aber stieß Einstein auf zwei schwierige Probleme. Eines davon war die<br />
geforderte Forminvarianz beim Wechsel zwischen beliebigen Koordinatensystemen, also Kovarianz<br />
unter passiven Diffeomorphismen. Diese Problem lässt sich wie folgt beschreiben.<br />
In Abschnitt 1.3.3 auf S. 11 haben wir den Unterschied zwischen aktiven <strong>und</strong> passiven Transformationen<br />
diskutiert. Angenommen, man würde beschließen, den Nullmeridian nicht mehr<br />
durch Greenwich sondern durch Würzburg laufen zu lassen. Auf einer Karte würden sich durch<br />
solch eine passive Transformation die Koordinaten aller Städte ändern. Alternativ könnte man<br />
aber auch die Städte abreißen <strong>und</strong> weiter westlich wiederaufbauen, – der Effekt einer solchen<br />
aktiven Transformation auf die Koordinaten wäre identisch. Würzburg läge dann allerdings irgendwo<br />
in Frankreich.<br />
Für die allgemeinene <strong>Relativitätstheorie</strong> gilt dies in ganz ähnlicher Weise: Zu jeder passiven<br />
Koordinatentransformation auf der Karte muss es eine entsprechende aktive Transformation auf<br />
der Mannigfaltigkeit (der echten Raumzeit) geben, so dass auf der Karte der gleiche Effekt erzielt<br />
wird. Die Bewegungsgleichungen müssen also sowohl unter passiven als auch unter aktiven<br />
Diffeomorphismen invariant sein. Mit anderen Worten: Eine Lösung der Feldgleichungen muss<br />
durch einen beliebigen Diffeomorphismus wieder in eine andere Lösung übergehen.<br />
Soweit ist das im Prinzip nichts Neues. Auch in der speziellen <strong>Relativitätstheorie</strong> gehen Lösungen<br />
der Bewegungsgleichungen durch Lorentz-Transformation wieder in Lösungen über. In<br />
der allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong> ist lediglich die Invarianzgruppe sehr viel größer, sie umfasst<br />
nämlich alle Diffeomorphismen. Aber genau hier liegt das Problem. Man kann nämlich<br />
spezielle Diffeomorphismen konstruieren, die einen Teil der Mannigfaltigkeit identisch, einen<br />
anderen jedoch nichttrivial abbilden. Als Cartoon stellen wir <strong>und</strong> eine 1+1-dimensionale Man-<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
6.1 Konzept der Allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong> 129<br />
Abbildung 6.2: Einsteins Problem: Die Mannigfaltigkeit wird durch eine raumartige Fläche (gestrichelte Linie) in<br />
zwei Bereiche unterteilt. Ein aktiver Diffeomorphismus bildet dann ausschließlich den oberen Teil<br />
in nichttrivialer Weise ab. Die neue Trajektorie muss dann auch Lösung der Gleichungen sein. Da<br />
aber die Anfangsbedingung unverändert bleibt, ist nicht klar, warum verschiedene Trajektorien<br />
mit gleichen Anfangsbedingungen entstehen können. Siehe Text.<br />
nigfaltigkeit vor, die durch eine raumartige Hyperfläche in zwei zeitliche Bereiche geteilt wird<br />
(siehe Abb. 6.2). Im unteren Bereich, in dem auch die Anfangsbedingung festgelegt ist, bildet<br />
der Diffeomorphismus identisch ab, modifiziert also die Lösung bzw. den Verlauf der Trajektorien<br />
nicht, Im obeneren Bereich dagegen kommt es zu Verschiebungen der Trajektorie. Weil<br />
aber ein aktiver Diffeomorphismus eine Lösung auf eine andere Lösung abbildet, müssen beide<br />
Trajektorien müssen aber Lösungen zu den gleichen Anfangsbedingungen sein. Wie aber kann<br />
es in einer deterministischen Theorie zu einer einzigen Anfangsbedingung mehrere Lösungen<br />
geben?<br />
6.1.4 Die physikalische Bedeutung der Mannigfaltigkeit<br />
Einstein kostet dieses “Ringen um die Bedeutung von Koordinaten” mehrere Jahre. Er verwirft<br />
frühere Publikationen <strong>und</strong> experimentiert erfolglos mit nicht-kovarianten Ansätzen. Erst 1915<br />
kehrt er zur kovarianten Formulierung zurück <strong>und</strong> dann geht alles ganz schnell. Er realisiert<br />
nämlich, dass die beiden Lösungen im obigen Beispiel zwar auf der Mannigfaltigkeit verschieden<br />
aussehen, aber dennoch dieselbe physikalische Situation beschreiben. Die Folgerung:<br />
Die Punkte der Mannigfaltigkeit haben<br />
keine direkte physikalische Bedeutung.<br />
Man darf also nicht die Punkte der Mannigfaltigkeit mit den physikalischen Ereignissen identifizieren.<br />
Wenn man also liest (wie auch in diesem Skript), dass die allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
auf einer gekrümmten Raumzeit beruht die durch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit M beschrieben<br />
wird, dann stellt man sich vor, dass M diese Raumzeit ist, doch diese Vorstellung ist<br />
falsch!<br />
Was aber ist dann die Mannigfaltigkeit? Sie ist eine Art Projektionsfläche <strong>für</strong> die Theorie, auf<br />
der die gleiche <strong>Physik</strong> auf unendlich viele verschiedene Weisen abgebildet werden kann. Sie ist<br />
eine Art mathematisches Vehikel, mit dem wir die <strong>Physik</strong> nur auf eine hochgradig red<strong>und</strong>ante<br />
Weise darstellen können. Sie existiert aber nicht wirklich.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
130 Feldgleichen der Allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
Aber, so werden Sie einwenden, in der speziellen <strong>Relativitätstheorie</strong> war der Minkonwskiraum<br />
doch mit der wahren Raumzeit identisch, dort war doch der Minkowskiraum eine physikalisch<br />
existierende Realität. Wo ist diese Raumzeit geblieben? Die Antwort ist, dass eine solche<br />
Raumzeit zwar <strong>für</strong> den gravitationsfreien Fall eine mögliche Beschreibungsweise ist, dass diese<br />
aber in der allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong> ihren Sinn verliert.<br />
Beispiel: Was passiert, wenn man im Universum ein homogenes statisches Gravitationsfeld einschalten<br />
könnte? Die Galaxien würden in diesem Feld abgelenkt werden, würden also auf der Mannigfaltigkeit<br />
bei gleichen Anfangsbedingungen eine andere Bahn beschreiben als ohne Feld. Trotzdem<br />
würden wir von diesem Feld nichts spüren. Die Schlussfolgerung: Weder das homogene Feld noch<br />
die Mannigfaltigkeit existieren wirklich, sondern sie erweisen sich als red<strong>und</strong>ante Elemente der mathematischen<br />
Beschreibung, sozusagen als “Eichfreiheit”.<br />
An dieser Stelle rutscht der Boden unter den Füßen weg, weil wir von einer liebgewonnenen<br />
Vorstellung Abschied nehmen müssen: von Newtons absolutem Raum. Es gibt ihn nicht, auch<br />
nicht gekrümmt, es gibt stattdessen nur das Gravitationsfeld.<br />
Newton hat das verschwindende Gravitationsfeld fälschlich <strong>für</strong> einen absoluten Raum gehalten.<br />
Um trotzdem Gravitation beschreiben zu können, hat er auf diesem Gravitationsfeld<br />
künstlich ein zweites Gravitationsfeld eingeführt, das als instantane Fernwechselwirkung implementiert<br />
ist.<br />
6.2 Feldgleichungen<br />
6.2.1 Konzept<br />
Die Einsteinschen Feldgleichungen beschreiben, wie Materie die Raumzeit krümmt. Dabei versteht<br />
man unter ‘Materie’ alles, was nicht Gravitation ist. Dazu gehören alle Formen von Materie,<br />
Ladungen <strong>und</strong> Strahlungen, die nicht gravitativer Natur sind, also in heutiger Sprechweise alle<br />
Elementarteilchen <strong>und</strong> Eichbosonen mit Ausnahme des Gravitons.<br />
Abgeleitet werden die Feldgleichungen – wie immer – von einem Wirkungsprinzip. Dabei<br />
wird angenommen, dass sich die Gesamtwirkung des Universums additiv aus einem gravitativen<br />
<strong>und</strong> einem materiellen Anteil zusammensetzt, d.h.<br />
S = SG + SM. (6.2)<br />
Die Wirkungsanteile lassen sich schreiben als Integrale über die gesamte Mannigfaltigkeit über<br />
die entsprechenden Lagrange-4-Formen LM,G<br />
� �<br />
S = γ LG +<br />
(6.3)<br />
bzw. in einer Koordinatendarstellung als Integrale über Lagrangedichten<br />
�<br />
�<br />
S = γ<br />
√ 4<br />
LG −g d x +<br />
LM<br />
√ 4<br />
LM −g d x. (6.4)<br />
Dass sich die Wirkung als Summe eines gravitativen <strong>und</strong> eines nichtgravitativen Anteils schreiben<br />
lässt, suggeriert auf den ersten Blick, dass diese beiden Anteile nicht wechselwirken würden.<br />
In der nichtrelativitischen <strong>Physik</strong>, in der die Raumzeit ein statischer Container ist, wäre<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
6.2 Feldgleichungen 131<br />
diese Denkweise richtig. In der Allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong> wird aber die Raumzeit selbst<br />
zum dynamischen Objekt, eine Variation der Raumzeit im ersten Integral führt deshalb in der<br />
Regel auch zu einer Änderung im zweiten Integral, weil nämlich dort über die Raumzeit integriert<br />
wird. In einer Koordinatendarstellung äußert sich diese Kopplung dadurch, dass man im<br />
zweiten Integral alle partiellen Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzen muss <strong>und</strong><br />
damit der Wert des Integrals von den Christoffelsymbolen abhängen wird.<br />
Da die beiden Wirkungsanteile also indirekt über die Geometrie der Mannigfaltigkeit gekoppelt<br />
sind, muss man durch eine Kopplungskonstante γ angeben, wie stark die beiden Wirkungsanteile<br />
gewichtet sind. Diese Kopplungskonstante hat die Qualität einer neuen Naturkonstanten<br />
<strong>und</strong> beschreibt, wie stark eine Masse die Raumzeit verbiegt.<br />
Zu variierende Größen<br />
Welche Größen sind in den Wirkungsintegralen zu variieren, um zu den Bewegungsgleichungen<br />
zu gelangen? Da die Bahn eines Teilchens im Gravitationsfeld eine geodätische Linie ist, also<br />
wegen Gl. (4.25) von den Christoffelsymbolen abhängt, diese aber wiederum via Gl. (4.31)<br />
vom metrischen Tensor abhängen, sind es die Komponenten des metrischen Tensors, die variiert<br />
werden müssen.<br />
Bemerkung: Es gibt mehrere formale Herangehensweisen, die sich darin unterscheiden, welche Größen<br />
man als ‘das Gravitationsfeld’ betrachtet. Die traditionelle ursprünglich von Einstein benutzte<br />
Herangehensweise interpretiert die Metrik als das Gravitationsfeld, variiert also nach den Komponenten<br />
des metrischen Tensors. Diese Methode hat allerdings den Nachteil, dass man fermionische<br />
Quantenfelder nicht konsistent integrieren kann, <strong>und</strong> wird deshalb zunehmend durch modernere Varianten<br />
abgelöst, von denen wir einige weiter unten besprechen werden. Die wichtigste heute benutzte<br />
Variante interpretiert die lokale Minkowski-Basis (Vierbein) als Gravitationsfeld.<br />
6.2.2 Wirkung SG des Gravitationsfeldes <strong>und</strong> Feldgleichungen im Vakuum<br />
Welche Form hat die Lagrangedichte des Gravitationsfeldes? Auch hier lässt man sich vom<br />
heuristischen Prinzip der Einfachheit leiten.<br />
Der einfachste Skalar, der die Krümmung der Mannigfaltigkeit beschreibt, ist der Ricci-<br />
Krümmungsskalar R = R µ µ. Doch gibt es noch einen einfacheren Skalar, nämlich eine Konstante.<br />
Diese hat einen physikalischen Effekt, denn sie würde in der Lagrangedichte zu einem Term<br />
führen, der proportional zum Vierervolumen ist (also in Differentialformen der Volumenform<br />
entsprechen). Eine solche Konstante würde also je nach Vorzeichen eine homogene Expansion<br />
oder eine Kontraktion der Raumzeit bewirken, also wie ein gravitativer bzw. antigravitativer homogener<br />
“Äther” das gesamte Universum durchsetzen. Bezeichnet man diese Konstante als 2Λ,<br />
dann lautet die Wirkung des Gravitationsfeldes<br />
�<br />
SG = γ (R − 2Λ) √ −g d 4 x. (6.5)<br />
Die Konstante Λ bezeichnet man als kosmologische Konstante. Sie hat eine wechselvolle Geschichte,<br />
auf die wir noch später zurückkommen werden.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
132 Feldgleichen der Allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
Durch Variationsrechnung (hier ohne Beweis) erhält man<br />
�<br />
√−g�<br />
δSG = γ Rµν − 1<br />
2 Rgµν<br />
�<br />
+ Λgµν δg µν d 4 x (6.6)<br />
Ohne Anwesenheit von Materie muss SG extremal sein, d.h. δSG = 0. Da alle Komponenten des<br />
metrischen Tensors unabhängig variiert werden können, muss der Integrand verschwinden. Auf<br />
diese Weise erhält man die Feldgleichungen im Vakuum<br />
Rµν − 1<br />
2 Rgµν + Λgµν = 0. (6.7)<br />
Die Kombination aus Ricci-Tenor <strong>und</strong> Ricci-Skalar bezeichnet man auch als Einstein-Tensor<br />
Eµν := Rµν − 1<br />
2 Rgµν , (6.8)<br />
der in der Literatur auch oft mit Gµν bezeichnet wird. Die Vakuum-Feldgleichungen nehmen<br />
dann die Form Eµν + Λgµν = 0 an.<br />
6.2.3 Wirkung SM der Materiefeldes <strong>und</strong> Form der Feldgleichungen<br />
Lagrangian des Standardmodells<br />
Materie ist aus der Sicht eines Relativisten alles, was keine<br />
Gravitation ist, also im wesentlichen der gesamte Teilchen<strong>und</strong><br />
Strahlungsinhalt des Standardmodells der Elementarteilchenphysik.<br />
So kompliziert dieser Lagrangian auch sein<br />
mag, wird bei einer Variation der Metrik die Variation der<br />
Wirkung SM immer die Form<br />
δSM = − 1<br />
�<br />
2<br />
Tµν δg µν √ −gd 4 x, (6.9)<br />
annehman, d.h. man erhält ein bestimmtes Tensorfeld<br />
zweiter Stufe, das kontrahiert mit der Variation δg gerade<br />
die skalare Änderung der Wirkung ergibt. Dieser<br />
Tensor heißt Energie-Impuls-Tensor. Da nach einer<br />
symmetrischen Größe variiert wird, ist das Tensorfeld<br />
T(x) ebenfalls symmetrisch. Wie dieses Tensorfeld in<br />
bestimmten Fällen aussieht, wird im folgenden Abschnitt<br />
besprechen.<br />
Führt man nun die Variationsrechnung <strong>für</strong> die gesamte Wirkung S = SG + SM aus, erhält man in<br />
Gl. (6.7) einen Term 1<br />
2γ Tµν auf der rechten Seite. Wir werden im folgenden Kapitel die eine Näherung<br />
<strong>für</strong> schwache Gravitationsfelder betrachten <strong>und</strong> mit der Newtonschen Gravitationstheorie<br />
vergleichen. Dieser Vergleich wird zeigen, dass die Kopplungskonstante γ bis auf geometrische<br />
Faktoren durch die reziproke Newtonsche Gravitationskonstante gegeben ist:<br />
γ = c4<br />
16πG<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
(6.10)
6.2 Feldgleichungen 133<br />
Damit lauten die Feldgleichungen in voller Form:<br />
bzw. mit dem Einsteintensor<br />
Rµν − 1<br />
2 Rgµν + Λgµν = 8πG<br />
c 4 Tµν (6.11)<br />
Eµν + Λgµν = 8πG<br />
c 4 Tµν . (6.12)<br />
Bemerkung: Waraum ist die Kopplungskonstante γ proportional zu G −1 <strong>und</strong> nicht zu G? Um das<br />
zu verstehen, kann man sich vorstellen, dass der Wirkungsbeitrag der Materie durch einen Wirkungsbeitrag<br />
des Gravitationsfeld ‘kompensiert’ <strong>und</strong> damit die Gesamtwirkung minimal gehalten wird. Je<br />
kleiner γ ist, um so größer muss das kompensierende Gravitationsfeld sein. Da das Gravitationsfeld<br />
aber ohne Kopplungskonstante direkt in die kovarianten Ableitungen der Bewegungsgleichungen <strong>für</strong><br />
die Teilchen eingreift, werden deshalb <strong>für</strong> kleine γ die Teilchenbahnen stärker durch Gravitationseffekte<br />
gekrümmt werden.<br />
Wenn man beide Seiten der obigen Feldgleichungen mit g µν kontrahiert, erhält man eine skalare<br />
Beziehung<br />
−R + 4Λ = 8πG<br />
T , (6.13)<br />
c4 wobei R = R µ µ der Krümmungsskalar <strong>und</strong> T = T µ µ die Spur über den Energie-Impuls-Tensor<br />
ist. Diese Beziehung kann dazu benutzt werden, um den zweiten Term in den Feldgleichungen<br />
auf die andere Seite zu bringen. Wir gelangen so zu der alternativen Form der Feldgleichungen<br />
Rµν = Λgµν + 8πG<br />
c4 �<br />
Tµν − 1<br />
T gµν<br />
2<br />
�<br />
. (6.14)<br />
Die Einsteinschen Feldgleichungen ermöglichen uns, im Prinzip bei gegebener Energie-Impuls-<br />
Verteilung der Materie den Ricci-Tensor auszurechnen. Damit kennt man aber noch nicht den<br />
Riemannschen Krümmungstensor, <strong>und</strong> es stellt sich die Frage, ob dieser Tensor vierter Stufe<br />
mehr Information enthält als der zweistufige Ricci-Tensor, <strong>und</strong> wenn ja, welche. Einen physikalischen<br />
Wink geben uns die Gleichungen bereits selbst: Im Vakuum bei verschwindender<br />
kosmologischer Konstante ist nämlich Rµν = 0. Das bedeutet jedoch nicht, dass die Raumzeit<br />
flach ist, dass also R µ<br />
ναβ = 0 ist. Wie wir sehen werden, lässt die verbleibende Freiheit Gravitationswellen<br />
zu.<br />
6.2.4 Form des Energie-Impuls-Tensors<br />
Für einen gegebenen Lagrangian LM der Materie führt die Variation des Wirkungsintegrals<br />
SM = � d 4 x √ −gLM durch Anwendung von Standardmethoden auf<br />
δSM =<br />
�<br />
d 4 x<br />
womit der Energie-Impuls-Tensor durch<br />
�<br />
∂( √ −gLM)<br />
∂g µν<br />
� √<br />
∂( −gLM)<br />
−<br />
∂g µν<br />
�<br />
�<br />
δg<br />
,λ<br />
,λ<br />
µν<br />
Tµν = − 2<br />
�<br />
∂(<br />
√<br />
−g<br />
√ −gLM)<br />
∂g µν<br />
� √<br />
∂( −gLM)<br />
−<br />
∂g µν<br />
�<br />
�<br />
,λ<br />
,λ<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
(6.15)<br />
(6.16)
134 Feldgleichen der Allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
Abbildung 6.3: Interpretation der Komponenten des Energie-Impuls-Tensors.<br />
gegeben ist. In diesem Ausdruck, der stark an die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen erinnert,<br />
tritt die Lagrangedichte linear auf. Wir können also zu jedem additiven Anteil der Lagrangedichte<br />
den entsprechenden additiven Anteil des Energie-Impuls-Tensors ermitteln, d.h. wir<br />
können ihn <strong>für</strong> die unterschiedlichen Formen von Materie <strong>und</strong> Strahlung die jeweiligen Anteile<br />
von Tµν getrennt berechnen.<br />
Interpretation des Energie-Impuls-Tensors<br />
Weil T µν definiert ist als die lokale Änderung der Lagrangedichte bei Variation der (dimensionslosen)<br />
Metrik, muss dieser Tensor die physikalische Einheit einer Wirkungsviererdichte<br />
haben. Da die Dimension einer Wirkung gleich Energie·Zeit ist, hat T µν die Dimension<br />
Energie/Dreiervolumen, also einer Energiedichte. Da die Dimension der Wirkung aber auch<br />
Impuls·Länge ist, kann man die Dimension von T µν ebenso gut als Impuls/(Zeit·Fläche) interpretieren.<br />
Die physikalische Bedeutung des Tensors lässt sich am einfachsten in der Sprache von Differentialformen<br />
erläutern. Während ein einzelnes Teilchen durch seinen Viererimpuls p µ beschrieben<br />
wird, wird verteilte Matrie durch eine Viererimpulsdichte charakterisiert. Differentialgeometrisch<br />
handelt es sich um eine vektorwertige 3-Form P µ , die angewandt auf ein 3-Volumen den<br />
darin enthaltenen Viererimpuls p µ ergibt. Ein 3-Volumen kann ein normales räumliches Volumen<br />
dx∧ dy∧ dz, aber auch ein raumzeitliches Volumen wie z.B. dt ∧ dx∧ dy sein. Im letzteren<br />
Fall ist die Antwort der Form als der durch die Fläche dx ∧ dy in der Zeit dt hindurchtretende<br />
Viererimpuls zu interpretieren, also um eine Flächenstromdichte.<br />
In der traditionellen Formulierung der ART ist es gebräuchlicher, statt der vektorwertigen<br />
3-Form P µ das Hodge-Duale<br />
T µ = ⋆P µ<br />
(6.17)<br />
zu betrachten. Dieser Energie-Impuls-Tensor besitzt als vektorwertige 1-Form nur zwei statt<br />
vier Indices <strong>und</strong> wird daher in der traditionellen Formulierung der ART bevorzugt. Der Energie-<br />
Impuls-Tensor benötigt als Eingabe einen Vierervektor, der senkrecht auf einem bestimmten<br />
Dreiervolumen steht. Der Rückgabewert der Form ist der Viererimpuls, der in diesem Dreiervolumen<br />
vorhanden ist. Beispielsweise ist T µ (dt) die Viererimpulsdichte, T µ (dx) dagegen<br />
der ein in yz-Richtung positioniertes Flächenelement durchsetzende Viererimpulsstrom (siehe<br />
Abb. 6.3).<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
6.2 Feldgleichungen 135<br />
Warum benötigt man überhaupt einen Tensor zur Beschreibung des Energie-Impuls-Inhaltes?<br />
Würde nicht ein Vektor ausreichen? Um das zu verstehen, stellen wir uns zunächst eine homogene<br />
Wolke parallel fliegender Teilchen im R 3 mit Geschwindigkeit �v vor. Ferner sei ein<br />
Flächenelement gegeben, dessen Größe <strong>und</strong> Ausrichtung durch den Normalvektor �n festgelegt<br />
ist. Es ist anschaulich klar, dass der Teilchenfluß pro Zeiteinheit durch dieses Flächenelement<br />
gleich dem Skalarprodukt �v ·�n ist. Jedes Teilchen trägt einen Impuls �p, so dass der Impulsfluß<br />
durch die Fläche durch �p(�v ·�n) = m�v(�v ·�n) gegeben ist.<br />
Diese Abbildung kann man als einen Tensor T mit der Wirkungsweise<br />
T (�n) = m�v(�v ·�n) interpretieren. Dieser Tensor ist<br />
also das dyadische Produkt T = m�v ◦�v bzw. in Dirac-Notation<br />
T = m|v〉〈v|, projeziert also den Normalvektor auf die Geschwindigkeit<br />
<strong>und</strong> gibt den entsprechenden Impuls zurück.<br />
Nicht immer kann der Tensor als dyadisches Produkt geschrieben<br />
werden. Wenn man z.B. eine Wolke nichtwechselwirkender<br />
Teilchen betrachtet, von denen die eine Hälfte nach oben mit<br />
Geschwindigkeit �v1, die andere nach rechts mit Geschwindigkeit<br />
�v2 fliegen (<strong>und</strong> die als Punktteilchen dabei nicht kollidieren),<br />
ist der entsprechende Tensor T = 1<br />
2m(|v1〉〈v1| + |v2〉〈v2|) die<br />
Summe aus den beiden Bestandteilen. Dieser lässt sich nicht<br />
mehr dyadisch darstellen <strong>und</strong> damit wäre diese Mischung von<br />
dem vorhergehenden Beispiel durch Messung an der Testfläche<br />
unterscheidbar. Ein Vektor könnte diesen Sachverhalt nicht<br />
ausdrücken.<br />
Bemerkung: Eine ähnliche Situation kennen Sie vielleicht aus der Quantentheorie. Ein statistisches<br />
Ensemble von Quantensystemen wird dort durch eine Dichtematrix beschrieben. Für einen reinen Zustand<br />
hat diese Matrix die Form eines dyadischen Produkts |ψ〉〈ψ|, während sich allgemeine Mischzustände<br />
nicht so schreiben lassen. Die Dichtematrix enthält die maximale Teilinformation über die<br />
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zustände, die durch Messung extrahierbar ist. In ähnlicher Weise<br />
enthält der Energie-Impuls-Tensor die maximale Teilinformation der Wahrscheinlichkeitsverteilungen<br />
der Flugrichtungen, die durch Messung mittels Testflächen extrahierbar ist.<br />
Einzelne Teilchen<br />
Die obigen Überlegungen im R3 treffen in analoger Weise auch auf die 4-dimensionale ART<br />
zu. Der Energie-Impuls-Tensor T µν eines einzelnen Teilchens, dass sich entlang der Bahn y(τ)<br />
bewegt, ist also proportional zu mu µ uν , wobei u µ = d<br />
dτ yµ die Vierergeschwindigkeit des Teilchens<br />
ist, die ihrerseits als Ableitung der Trajektorienkoordinate y µ (τ) nach der Eigenzeit τ<br />
definiert ist. Weil das Teilchen in vier Dimensionen nicht durch einen Punkt, sondern durch eine<br />
Trajektorie (Weltlinie) beschrieben wird, muss man über diese Trajektorie integrieren. Der<br />
Energie-Impuls-Tensor eines einzelnen Teilchens, das sich auf der Bahn y(τ) bewegt, ist also<br />
durch<br />
T µν �<br />
(x) = m dτ δ 4 (x − y(τ)) dyµ (τ) dy<br />
dτ<br />
ν (τ)<br />
(6.18)<br />
dτ<br />
gegeben. Sofern das Teilchen keinen äußeren Kräften unterliegt, gilt der Erhaltungssatz<br />
∂µT µν = 0. (6.19)<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
136 Feldgleichen der Allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
Beweis: Beim Bilden der Divergenz wendet man die Kettenregel an <strong>und</strong> erhält<br />
Nach partieller Integration ist<br />
∂µT µν �<br />
= m<br />
dτ dyν (τ) dy<br />
dτ<br />
µ (τ) ∂<br />
dτ ∂x µ δ 4 (x − y(τ))<br />
�<br />
= −m dτ dyν (τ) dy<br />
dτ<br />
µ (τ) ∂<br />
dτ ∂y µ δ 4 (x − y(τ))<br />
�<br />
= −m<br />
∂µT µν �<br />
= m<br />
dτ dyν (τ)<br />
dτ<br />
d<br />
dτ δ 4 (x − y(τ))<br />
dτ δ 4 (x − y(τ)) d2yν (τ)<br />
dτ2 .<br />
Bei einer kräftefreien, also gleichförmigen Bewegung ist die zweite Ableitung gleich Null.<br />
Perfekte Fluide<br />
Unter einem Fluiden versteht man eine räumlich ausgedehnte Substanz, die keine Wärmeleitfähigkeit<br />
besitzt <strong>und</strong> <strong>für</strong> kleine Geschwindigkeiten keine Scherkräfte entwickelt, d.h. die Viskosität<br />
ist gleich Null. Der Begriff eines Fluids umfasst nicht nur bestimmte Flüssigkeiten, sondern auch<br />
Gase, Plasmen <strong>und</strong> sogar Strahlung.<br />
Unter einem perfekten Fluid versteht man ein Fluid, das vollständig durch eine Dichteverteilung<br />
ρ(�x,t), Geschwindigkeitsfeld�v(�x,t) <strong>und</strong> einen isotropen thermodynamischen Druck p(�x,t)<br />
gekennzeichnet wird. Solche Fluide erfüllen die hydrodynamische Bewegungsgleichung<br />
sowie die Kontinuitätsgleichung<br />
ρ ˙ �v = −∇P mit �v ˙<br />
∂<br />
= �v + (∇ ·�v)�v (6.20)<br />
∂t<br />
∂<br />
ρ = −∇(ρ�v). (6.21)<br />
∂t<br />
Man kann den Energie-Impuls-Tensor axiomatisch von der Lagrangedichte L = −ρ durch<br />
Variation ableiten. Wir wollen hier aber einen anschaulichen Weg einschlagen. Dazu begeben<br />
wir uns in das lokale Ruhesystem des Fluids. Hier ist die mittlere Geschwindigkeit der Teilchen<br />
gleich Null, aber dennoch bewegen sich die Teilchen auf zufällige Weise durcheinander.<br />
Wenn wir jetzt an dieser Stelle ein Flächenelement einbringen, werden etwa die gleiche Anzahl<br />
von Teilchen von einer Seite auf die andere <strong>und</strong> in entgegengesetzter Richtung durch die<br />
Fläche hindurchtreten. Allerdings werden die Teilchen in beide Richtungen von der Testfläche<br />
positiv gezählt, denn einen positiven Impuls von links nach rechts zu transportieren hat den gleichen<br />
Effekt, wie einen negativen Impuls von rechts nach links zu transportieren. Der Energie-<br />
Impuls-Tensor wird also in den räumlichen Komponenten angeben, welcher Gesamtimpuls pro<br />
Zeiteinheit durch die Testfläche dringt. Diese Größe bezeichnet man als Druck p.<br />
Man kann sich vorstellen, dass jedes Teilchen in diesem Gas einen zufällig verteilten Geschwindigkeitsvierervektor<br />
u besitzt, der mit einer gewissen Wahrscheinlichkeitsdichte P(u)<br />
verteilt ist. Im lokalen Ruhesystem des Fluids wird diese Verteilung rotationssymmetrisch sein.<br />
Der Energie-Impuls-Tensor ist also gegeben durch<br />
T µν =<br />
�<br />
DuP(u)ρu µ u ν , (6.22)<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
6.2 Feldgleichungen 137<br />
wobei Du ein geeignetes Integrationsmaß ist. Weil P(u) unter Reflexion nur einer Komponente<br />
u µ → −u µ invariant ist, muss dieser Tensor im Ruhesystem des Fluids diagonal sein, wobei<br />
T 00 = ρc2 ist, während die räumlichen Diagonalelemente proportional zum Druck sein müssen.<br />
Es stellt sich heraus, dass die Proportionalitätskonstante gleich 1 ist. Der Energie-Impuls-Tensor<br />
eines perfekten Fluids hat also im lokalen Ruhesystem die Form<br />
⎛<br />
⎞<br />
T µν =<br />
⎜<br />
⎝<br />
ρc 2<br />
p<br />
p<br />
p<br />
⎟<br />
⎠<br />
(6.23)<br />
Wenn man sich nicht im lokalen Ruhesystem befindet, sondern sich dieses mit der Vierergeschwindigkeit<br />
u relativ zum Beobachter bewegt, kann man den entsprechenden Tensor durch<br />
eine Lorentz-Transformation der obigen Darstellung erhalten (Übung). Das Resultat lautet:<br />
T µν = (ρ + p)u µ u ν + pg µν . (6.24)<br />
Wie der Druck konkret von der Dichte abhängt, wird von der Zustandsgleichung <strong>und</strong> den Symmetrien<br />
der Materieverteilung bestimmt. Einige Spezialfälle sind in der folgenden Tabelle aufgeführt:<br />
Elektromagnetisches Feld<br />
Staub: p = 0<br />
Nichtrelativistisches Gas: p ∝ ρ<br />
Ultra-relativistisches Gas: p = 1<br />
3ρ Nichtrelativistisches Fermionengas: p ∝ ρ5/3 Hochrelativistisches Fermionengas: p ∝ ρ4/3 Vakuum-Energie (kosmolog. Konstante): p = −ρ<br />
Den Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes kann man mit relativ geringem<br />
Aufwand direkt durch Anwendung der Formel (6.16) berechnen. Zunächst ist festzustellen, dass<br />
der Lagrangian des elektromagnetischen Feldes<br />
LEM = − 1<br />
4 F αβ F αβ = − 1<br />
4 gαβ g µν FµαF µβ<br />
(6.25)<br />
nur von den Komponenten des metrischen Tensors, nicht aber von dessen partiellen Ableitungen<br />
abhängt. Folglich ist<br />
Tµν = − 2 ∂(<br />
√<br />
−g<br />
√ −gLEM)<br />
∂g µν<br />
= − 2LEM LEM<br />
−<br />
∂g µν g<br />
Mit Hilfe von Gl. (1.95) lässt sich der letzte Term berechnen <strong>und</strong> man erhält<br />
Einsetzen der Lagrangedichte (6.25) führt auf<br />
∂g<br />
. (6.26)<br />
∂g µν<br />
Tµν = −2 ∂LEM<br />
∂g µν + gµνLEM (6.27)<br />
Tµν = F α µFαν − 1<br />
4 gµνF αβ F αβ . (6.28)<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
138 Feldgleichen der Allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
Dieser Tensor ist spurlos (d.h. T µ µ = 0), so dass Druck <strong>und</strong> Energiedichte der elektromagnetischen<br />
Strahlung durch die Zustandsgleichung ρ = 1<br />
3 p gegeben sind. Elektromagnetische Strahlung<br />
verhält sich also wie ein ultrarelativistisches Gas.<br />
Zusammenfassung 6.1<br />
Die wichtigsten Formeln der ART in Koordinatendarstellung:<br />
R µ<br />
ναβ<br />
Γ α µν = 1<br />
2 gαβ (g β µ,ν + g βν,µ − g µν,β )<br />
¨x α + Γ α µν ˙x µ ˙x ν = 0<br />
= Γµ<br />
νβ,α − Γµ<br />
να,β + Γρ<br />
νβ Γµ ρα − Γ ρ ναΓ µ<br />
Rµν − 1<br />
2 Rgµν + Λgµν = 8πG<br />
c4 Tµν Rµν = Λgµν + 8πG<br />
c4 6.2.5 Schwachfeldnäherung<br />
T µν = (ρ + p)u µ u ν + pg µν<br />
ρβ ; Rµν = R ρ µρν<br />
�<br />
Tµν − 1<br />
�<br />
T gµν<br />
2<br />
Ein schwaches Gravitationsfeld unterscheidet sich nur geringfügig von einer Minkowskimetrik.<br />
In diesem Fall benutzt man den Ansatz<br />
gµν(x) = ηµν + hµν(x), (6.29)<br />
wobei das symmetrische Tensorfeld hµν(x) <strong>und</strong> dessen partielle Ableitungen klein sind. Ziel ist<br />
es, die Feldgleichungen auf diese Weise linear zu nähern. Dabei ist natürlich nach wie vor die<br />
Eichinvarianz der Theorie, also die Invarianz unter Diffeomorphismen zu beachten.<br />
Linearisierte Feldgleichungen<br />
In linearer Ordnung von h erhält man die Christoffelsymbole<br />
Γ α µν = 1<br />
2 ηαβ (h β µ,ν + h βν,µ − h µν,β ) + O(h 2 ). (6.30)<br />
Im Riemannschen Krümmungstensor tragen nur die ersten beiden Terme in linearer Ordnung<br />
bei, so dass man einen Ausdruck von zweiten partiellen Ableitungen erhält:<br />
R µ<br />
ναβ<br />
= Γµ<br />
νβ,α −Γµ να,β +O(h2 ) = 1<br />
�<br />
�<br />
hρβ,να −hνβ,ρα −hρα,νβ +hνα,ρβ +O(h<br />
2<br />
2 ). (6.31)<br />
Daraus ergibt sich der Ricci-Tensor<br />
Rµν = R ρ µρν = 1<br />
�<br />
h<br />
2<br />
ρ ν,µρ<br />
� �� �<br />
=h ρ ν,ρµ<br />
−h<br />
ρ<br />
µν, ρ −h ρ ρ,µν<br />
� �� �<br />
=�hµν<br />
� �� �<br />
=h,µν<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
+h<br />
ρ<br />
µρ, ν<br />
� �� �<br />
=h ρ µ,ρν<br />
�<br />
+ O(h 2 ), (6.32)
6.2 Feldgleichungen 139<br />
also<br />
wobei h = h µ µ ist <strong>und</strong><br />
Rµν = 1�<br />
ρ<br />
h µ,ρν + h<br />
2<br />
ρ � 2<br />
ν,ρµ − �hµν + h,µν + O(h ) (6.33)<br />
� = η αβ ∂α∂ β = ∇ − ∂ 2<br />
t<br />
(6.34)<br />
der d’Alembert-Operator ist, auch Wellenoperator oder Quabla genannt. Der Ricci-Skalar ist<br />
also gegeben durch<br />
R = h µν ,µν − �h + O(h 2 ) (6.35)<br />
Die linearisierten Einsteinschen Feldgleichungen (ohne kosmologische Konstante) lauten also<br />
h ρ µ,ρν + h ρ ν,ρµ − �hµν + h,µν − ηµν(h αβ<br />
16πG<br />
,αβ − �h) =<br />
c4 Tµν , (6.36)<br />
wobei der Faktor 1<br />
2 auf die rechte Seite gebracht worden ist. Diese Feldgleichungen sind eichinvariant,<br />
gelten also in jedem beliebigen Koordinatensystem unter der Voraussetzung, dass die<br />
Schwachfeldnäherung gültig bleibt.<br />
Eichinvarianz<br />
Wir können – ähnlich wie in der Elektrodynamik – diese Eichfreiheit benutzen, um die linearisierten<br />
Feldgleichungen in eine möglichst einfache Form zu bringen. Dazu betrachten wir einen<br />
Diffeomorphismus, der sich nur geringfügig von einer identischen Abbildung unterscheidet, also<br />
eine infinitesimale Koordinatentransformation<br />
x µ (p) → x µ ′ (p) = x µ (p) + ξ µ (p), (6.37)<br />
wobei p ∈ M ein Ereignis ist <strong>und</strong> die ξ µ so klein sind, dass eine Näherung in erster Ordnung<br />
gerechtfertigt ist. Unter dieser Annahme wollen wir das Transformationsverhalten in erster Ordnung<br />
sowohl in hµν als auch int ξ µ untersuchen.<br />
Laut Gl. (1.87) transformiert sich die Metrik bei einer Koordinatentransformation gemäß<br />
Mit ∂<br />
∂x µ ′ = ∂<br />
∂x µ + O(ξ ) folgt wegen<br />
daraus die Gleichung<br />
also<br />
∂x α<br />
∂x µ ′ = ∂(xα ′ − ξ α )<br />
∂x µ ′ =<br />
gµν → g ′ µν = ∂xα<br />
∂x µ ′<br />
∂x β<br />
∂x ν ′ g αβ . (6.38)<br />
δ α µ − ∂ξα<br />
∂x µ ′ = δ α µ + ξ α ,µ + O(ξ 2 )<br />
ηµν + hµν → ηµν + h ′ µν = � δ α µ − ξ α �� β<br />
,µ δν − ξ β �� �<br />
,ν ηαβ + hαβ , (6.39)<br />
h ′ µν = hµν − ξµ,ν − ξν,µ . (6.40)<br />
Die Komponenten von hµν sind also wie erwartet nicht eichinvariant. Man kann die Eichung<br />
nun so wählen, dass die Divergenz von hµν − 1<br />
2 hηµν verschwindet, d.h.<br />
h µ ν,µ − 1<br />
2 hµ µ,ν = 0. (6.41)<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
140 Feldgleichen der Allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
Beweis: Angenommen die linke Seite ist ungleich Null. Unter einer infinitesimalen Koordinatentransformation<br />
geht sie via Gl. (6.40) über in<br />
g µρ�<br />
hµν,ρ − 1<br />
2 hµρ,ν − ξµ,νρ + 1<br />
2 ξµ,ρν − ξν,µρ + 1<br />
2 ξρ,µν<br />
�<br />
= h µ ν,µ − 1<br />
2 hµ µ,ν − �ξν ,<br />
wobei sich die rot markierten Terme wegheben. Um diesen Ausdruck zum Verschwinden zu bringen,<br />
muss also die Wellengleichung �ξν = h µ ν,µ − 1 2 hµ µ,ν <strong>für</strong> die Verschiebung ξ gelöst werden.<br />
In dieser sogenannten Lorenz-Eichung 4 vereinfacht sich der Ricci-Tensor zu Rµν = −�hµν, d.h.<br />
die linearisierten Feldgleichungen lauten<br />
−�hµν + 1<br />
2 ηµν�h = 16πG<br />
c4 Tµν bzw. �hµν = − 16πG<br />
c4 �<br />
6.2.6 Newtonscher Grenzfall<br />
Tµν − 1<br />
2<br />
T ηµν<br />
�<br />
. (6.42)<br />
Wir wollen nun die genäherten Feldgleichungen mit der Newtonschen Theorie vergleichen. Dabei<br />
entsprechen sich folgende Elemente:<br />
Newtonsche Theorie Einsteinsche Theorie<br />
Feldgleichungen ∇ 2 Φ = 4πGρ �hµν = − 16πG<br />
c 4<br />
Bewegungsgleichung<br />
�<br />
Tµν − 1<br />
�<br />
2T ηµν<br />
¨<br />
�x = −∇Φ ¨x µ + Γ µ<br />
αβ ˙xα ˙x β = 0<br />
Im Newtonschen Grenzfall ist v ≪ c, sodass die Vierergeschwindigkeit ˙x µ = γ(c,�v) durch die<br />
zeitliche Komponente dominiert wird. Die räumlichen Bewegungsgleichungen nehmen deshalb<br />
<strong>für</strong> festes i = 1,...,3 in niedrigster Ordnung die Form<br />
¨x i = −Γ i 00 ˙x 0 ˙x 0<br />
����<br />
≈c 2<br />
(6.43)<br />
an, wobei<br />
Γ i 00 = 1<br />
2 ηiβ � �<br />
2hβ0,0 − h00,β (6.44)<br />
ist. Unter der Annahme, dass das Gravitationsfeld, also die Metrik zeitunabhängig ist, verschwindet<br />
der erste Term. Damit reduziert sich die Bewegungsgleichung zu<br />
¨x i = c2<br />
2 h00,i . (6.45)<br />
Die rechte Seite dieser Bewegungsgleichung wird nun mit Hilfe der Feldgleichung mit dem<br />
Energie-Impuls-Tensor verknüpft. Dazu betrachten wir die 00-Komponente des Ricci-Tensors:<br />
Rµ0α0 = 1�<br />
� 1<br />
hµ0,0α − hµα,00 − h00,µα + h0α,µ0 = −<br />
2<br />
2 h00,µα<br />
⇒ R00 = − 1 α<br />
h<br />
2<br />
00, α = − 1<br />
2<br />
3<br />
∑<br />
i=1<br />
∂ 2<br />
h00<br />
(6.47)<br />
∂xi2 (6.46)<br />
4 Die Lorenz-Eichung ist nach dem dänischen <strong>Physik</strong>er Ludvig Lorenz benannt, nicht zu verwechseln mit Hendrik<br />
A. Lorentz, dem Urheber der Lorentz-Transformation.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
6.2 Feldgleichungen 141<br />
Setzt man Gl. (6.45) in die letzte Gleichung ein, erhält man<br />
R00 = − 1<br />
c 2<br />
3<br />
∑<br />
i=1<br />
∂ ¨x i<br />
∂x<br />
1<br />
= − ∇ · �x. ¨<br />
(6.48)<br />
i c2 Für die rechte Seite der Feldgleichung wollen wir staubförmige Materie annehmen, deren Druck<br />
gleich Null ist. Der Energie-Impuls-Tensor wird also im Ruhesystem der Materie durch das<br />
Element T00 = ρc2 dominiert. Die Feldgleichung R00 = 8πG<br />
c4 (T00 − 1<br />
2η00T ) lautet also<br />
− 1<br />
∇ · �x ¨ = T00 −<br />
c2 1<br />
2 g00T = 1<br />
2 T00 = ρc2<br />
+ O(h). (6.49)<br />
2<br />
Daraus folgt die Newtonsche Bewegungsgleichung<br />
∇ · ¨<br />
�x = −4πGρ , (6.50)<br />
womit nachträglich die Wahl der Kopplungskonstanten in Gl. (6.10) gerechtfertigt wird.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
7 Sternmodelle<br />
7.1 Schwarzschild-Lösung<br />
Karl Schwarzschild (1873-1916) verdanken wir die einfachste aber vielleicht wichtigste exakte<br />
Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen. Als 1914 der 1. Weltkrieg ausbrach, meldete er<br />
sich wie viele deutsche Juden in der damaligen Zeit freiwillig zur Armee. Auch an der Front<br />
in Russland arbeitete er an physikalischen Problemen <strong>und</strong> fand 1915 den nach ihm benannten<br />
Schwarzschild-Radius, kehrte als Invalide nach Deutschland zurück <strong>und</strong> verstarb 1916.<br />
Die Schwarzschildlösungen beruhen vor allem auf der Annahme der Radialsymmetrie <strong>und</strong><br />
eignen sich daher zur Beschreibung von Sternen, Neutronensternen <strong>und</strong> schwarzen Löchern, sind<br />
aber auch die Gr<strong>und</strong>lage <strong>für</strong> einfache kosmologische Modelle. Ähnlich wie in der Newtonschen<br />
Theorie, in der man den Feldverlauf innerhalb <strong>und</strong> außerhalb eines Sterns getrennt betrachtet,<br />
gibt es eine innere <strong>und</strong> eine äußere Schwarzschildmetrik. Wir werden uns zuerst mit der äußeren<br />
Schwarzschildmetrik befassen.<br />
7.1.1 Schwarzschildmetrik im Vakuum<br />
Die äußere Schwarzschildmetrik ist eine radialsymmetrische Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen<br />
im Vakuum Rµν = 0. Ausgangspunkt ist die Beobachtung, dass sich die flache<br />
Minkowskimetrik ηµν in Kugelkoordinaten t, ˜r,θ,φ schreiben lässt als Wegelement<br />
ds 2 = −dt 2 + d˜r 2 + ˜r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ). (7.1)<br />
Ein möglicher Ansatz wäre, jeden dieser Terme mit einer Funktion zu multiplizieren, die nur<br />
vom Radius ˜r abhängt:<br />
ds 2 = − f (˜r)dt 2 + g(˜r)d˜r 2 + h(˜r)˜r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ). (7.2)<br />
Nur zwei dieser drei Funktionen sind unabhängig, da man die Radialkoordinate durch<br />
reskalieren kann. 1 Der Ansatz lautet also (mit c = 1)<br />
r = ˜r � h(˜r) (7.3)<br />
ds 2 = −B(r)dt 2 + A(r)dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ), (7.4)<br />
wobei A(r) <strong>und</strong> B(r) positive Funktionen sind, die durch Lösung der Feldgleichungen bestimmt<br />
werden müssen.<br />
1 Damit die Signatur erhalten bleibt, muss die Funktion h bestimmte Voraussetzungen erfüllen, die hier übergangen<br />
werden.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
144 Sternmodelle<br />
Lösung der Feldgleichungen<br />
Es wird im folgenden zweckmäßig sein, die beiden Funktionen durch Exponentialfunktionen<br />
A(r) = e α(r) <strong>und</strong> B(r) = e β(r) darzustellen. Der metrische Tensor ist diagonal <strong>und</strong> lautet:<br />
g00 = gtt = −e β , g11 = grr = e α , g22 = gθθ = r 2 , g33 = gφφ = r 2 sin 2 θ (7.5)<br />
mit dem Inversen g µν = (gµν) −1 . Wegen der Symmetrie heben sich in den Christoffelsymbolen<br />
jeweils der zweite <strong>und</strong> der dritte Term gegenseitig auf. Die nichtverschwindenden Christoffelsymbole<br />
lauten deshalb<br />
Γ 0 01 = Γ 0 10 = 1<br />
2 β ′ , Γ 1 00 = 1<br />
2 β ′ e β−α , Γ 1 11 = 1<br />
2 α′ ,<br />
Γ 1 22 = −re −α , Γ 1 33 = −re −α sin 2 θ , Γ 2 12 = Γ 2 21 = 1/r ,<br />
Γ 2 33 = −sinθ cosθ , Γ 3 13 = Γ 3 31 = 1/r , Γ 3 23 = Γ 3 32 = 1/tanθ.<br />
Daraus ergibt sich der Krümmungstensor<br />
Der Ricci-Tensor lautet<br />
<strong>und</strong> der Ricci-Skalar ist demzufolge<br />
R 0 101 = − 1<br />
2 β ′′ − 1<br />
4 β ′2 + 1<br />
4 α′ β ′<br />
R 0 202 = − 1<br />
2 re−α β ′<br />
(7.6)<br />
R 0 303 = − 1<br />
2 re−α β ′ sin 2 θ (7.7)<br />
R 1 212 = − 1<br />
2 re−α α ′<br />
R 1 313 = − 1<br />
2 re−α α ′ sin 2 θ<br />
R 2 323 = (1 − e −α )sin 2 θ .<br />
R00 = e β−α ( 1<br />
2 β ′′ + 1<br />
4 β ′2 − 1<br />
4 α′ β ′ + 1<br />
r β ′ ), (7.8)<br />
R11 = − 1<br />
2 β ′′ − 1<br />
4 β ′2 + 1<br />
4 α′ β ′ + 1<br />
r α′ , (7.9)<br />
R22 = 1 + e −β (− 1<br />
2 rα′ + 1<br />
2 rβ ′ − 1), (7.10)<br />
R33 = R22 sin 2 θ (7.11)<br />
R = e−α<br />
2r2 �<br />
4(e α − 1) + r � (α ′ − β ′ )(4 + rβ ′ ) − 2rβ ′′��<br />
. (7.12)<br />
Im Vakuum ist Rµν = 0. Aus den ersten beiden Gleichungen folgt<br />
α ′ + β ′ = 0 ⇒ α + β = const. (7.13)<br />
Wir fordern nun, dass die Schwarzschildmetrik ein gravitatives Zentrum (Stern, schwarzes Loch)<br />
beschreibt <strong>und</strong> deshalb in großer Entfernung in die flache Minkowskimetrik übergeht, d.h.<br />
lim α = lim β = 0 ⇒ α = −β ⇒ const = 0. (7.14)<br />
r→∞ r→∞<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
7.1 Schwarzschild-Lösung 145<br />
Aus R22 = 0 folgt damit die Differentialgleichung<br />
1 − e −β + rβ ′ = 0 (7.15)<br />
mit der Lösung<br />
e β(r) = 1 − rs<br />
,<br />
r<br />
(7.16)<br />
wobei rs eine Integrationskonstante ist. Damit ist die äußere Schwarzschildmetrik gegeben durch<br />
Bemerkung:<br />
ds 2 �<br />
= −<br />
1 − rs<br />
r<br />
�<br />
dt 2 �<br />
+<br />
1 − rs<br />
r<br />
� −1<br />
dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ). (7.17)<br />
• Man kann zeigen, dass die Drehinvarianz den metrischen Tensor weitgehend festlegt <strong>und</strong> dass<br />
man durch eine Koordinatentransformation (Diffeomorphismus) mit einer neuen Zeitkoordinate<br />
auf die Schwarzschildmetrik geführt wird. Ohne Zeitabhängigkeit vorauszusetzen erhält man<br />
hier also eine statische Lösung. Das heißt jedoch nur, dass die Metrik in den gewählten Koordinaten<br />
statisch aussieht. In der Tat beschreibt die Schwarzschildmetrik auch kollabierende <strong>und</strong><br />
sogar radial oszillierende Objekte.<br />
• Das sogenannte Birkhoff-Theorem besagt, dass das äußere Gravitationsfeld eines Körpers mit<br />
radialsymmetrischer Massenverteilung ähnlich wie in der Newtonschen Theorie nur von der<br />
Gesamtmasse M abhängt <strong>und</strong> dass es sich bei der äußeren Schwarzschildmetrik um die einzige<br />
kugelsymmetrische asymptotisch flache Lösung dieser Art handelt.<br />
Schwarzschild-Radius<br />
Die Integrationskonstante rs heißt Schwarzschildradius. Um sie quantitativ zu bestimmen, betrachten<br />
wir die Schwarzschildmetrik in großer Entfernung von einem Zentralgestirn mit der<br />
Masse M. Von der Schwachfeldnäherung wissen wir, dass dort die Komponente<br />
g00 ≈ 1 + h00 ≈ 1 + 2Φ<br />
c 2<br />
(7.18)<br />
durch das Newtonsche Gravitationspotential Φ = GM/r dominiert wird. Damit erhält man <strong>für</strong><br />
den Schwarzschildradius die elementare Formel<br />
Hier einige Beispiele:<br />
rs = 2GM<br />
c 2<br />
Masse Schwarzschildradius<br />
Elektronenmasse 9.1 · 10 −31 kg 1.3 · 10 −60 m (unterhalb der Planck-Länge)<br />
Planck-Masse 2 · 10 −8 kg Planck-Länge 1.6 · 10 −35 m<br />
Alltagsmasse 1 kg 1.5 · 10 −27 m, kleiner als Auflösung von CERN<br />
Erdmasse 5.9 · 10 24 kg 7 mm<br />
Sonnenmasse 2.0 · 10 30 kg 3 km<br />
Gesamtmasse Universum 1.6 · 10 55 kg 10 28 m ∼ = Sichthorizont des Universums<br />
(7.19)<br />
Diese Beispiele haben natürlich keine konkrete Bedeutung, da die Schwarzschildradien kleiner<br />
als die betrachteten Objekte sind, die Metrik aber nur außerhalb der Objekte gültig ist. Sie sollen<br />
nur eine vage Vorstellung von den Größenordnungen vermitteln.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
146 Sternmodelle<br />
Gravitationsrotverschiebung<br />
In der äußere Schwarzschildmetrik ds2 �<br />
= −<br />
weist zwei Singularitäten auf, nämlich<br />
1− rs<br />
r<br />
�<br />
dt2 �<br />
+<br />
1− rs<br />
r<br />
r = rs: eine scheinbare Singularität am Schwarzschildradius<br />
r = 0: eine echte physikalische Singularität im Zentrum<br />
� −1<br />
dr 2 +r 2 (dθ 2 +sin 2 θ dφ 2 )<br />
Die scheinbare Singularität ist eine koordinatenbedingte Singularität, ähnlich wie Kugelkoordinaten<br />
am Nordpol einer Kugel singuläre Eigenschaften haben, obwohl der Nordpol in Wirklichkeit<br />
keine besonderen Eigenschaften besitzt. Die scheinbare Singularität in der Schwarzschildmetrik<br />
ist eine Konsequenz der Zeitkoordinate, die hier so gewählt ist, dass sie einer Uhr in<br />
unendlicher Entfernung entspricht. Wie man an der Form der Schwarzschildmetrik unmittelbar<br />
ablesen kann, gehen Uhren in Zentrumsnähe um den Faktor � 1 − rs/r langsamer <strong>und</strong> bleiben<br />
am Schwarzschildradius stehen.<br />
Bemerkung: In ihrem Eigensystem bleiben die Uhren am Schwarzschildradius natürlich nicht ste-<br />
hen, sie bleiben nur stehen, wenn sie aus dem Unendlichen beobachtet werden. Uhren innerhalb des<br />
Schwarzschildradius sind aus dem Unendlichen nicht wahrnehmbar, sondern kausal getrennt.<br />
Diese gravitative Zeitdilatation führt zu dem Effekt der Gravitationsrotverschiebung. Emittiert<br />
nämlich ein Körper in Zentrumsnähe Licht mit der �Frequenz νe, wird ein Beobachter im Unendlichen<br />
eine rotverschobene Frequenz νr = νe 1 − rs/r wahrnehmen. In der Astrophysik<br />
versteht man unter der Rotverschiebung (engl. redshift) die dimensionslose Kenngröße<br />
Folglich ist die Gravitationsrotverschiebung gegeben durch<br />
z =<br />
z = λr − λe<br />
. (7.20)<br />
λe<br />
1<br />
� − 1 ≈ rs 1 − r<br />
rs<br />
2r<br />
(7.21)<br />
Die Strahlung der Sonne ist beispielsweise um z ≈ 2 · 10 −6 rotverschoben, entsprechend einem<br />
Gangunterschied zwischen Uhren an der Oberfläche <strong>und</strong> im Unendlichen von ca. 19 St<strong>und</strong>en<br />
auf 1000 Jahre.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
7.2 Radialsymmetrische Himmelskörper 147<br />
7.2 Radialsymmetrische Himmelskörper<br />
Gravitation ist eine attraktive Wechselwirkung,<br />
d.h. sie führt zur Verklumpung der Materie<br />
bis hin zu einem lokalen Kollaps. Ginge<br />
es allein nach der Gravitation, würde sie<br />
die Materie lokal auf einen Punkt zusammenziehen<br />
wollen. Bei den auftretenden hohen<br />
Materiedichten beginnen jedoch andere<br />
Mechanismen wirksam zu werden, die unter<br />
bestimmten Umständen einen vollständigen<br />
Kollaps aufhalten können. Das Resultat<br />
sind radialsymmetrische Himmelskörper<br />
unterschiedlichster Ausprägung mit (im Vergleich<br />
zum Universum) hoher Materiedichte.<br />
Je nach Art des statischen oder dynamischen<br />
Gleichgewichts lassen sich diese Himmelskörper<br />
klassifizieren.<br />
Die einfachste Klassifizierung erfolgt dadurch,<br />
Quelle: Wikimedia<br />
dass man die Luminosität2 gegen die mittlere Wellenlänge des Emissionsspektrum doppellogarithmisch<br />
aufträgt. Dieses sogenannte Hertzsprung-Russell-Diagramm (siehe nebenstehende<br />
Abbildung) zeigt verschiedene Gruppen von Himmelskörpern. Gewöhnliche Sterne liegen auf<br />
der Diagonalen, der sogenannten Hauptreihe. Daneben befinden sich die Gruppen der weißen<br />
Zwerge <strong>und</strong> roten Riesen. All diese Objekte befinden sich in einem (quasi-)statischen Gleichgewicht,<br />
das zum einen durch eine Kräftebalance, zum anderen durch eine thermodynamische<br />
Zustandsgleichung charakterisiert werden.<br />
7.2.1 Sterngleichgewicht<br />
Klassische Näherung<br />
Mit einer Rotverschiebung von ≈ 10 −6 sind gewöhnliche Sterne wie die Sonne in guter Näherung<br />
nichtrelativistische Objekte. Deshalb untersuchen wir zunächst die Bedingungen <strong>für</strong> ein<br />
Sterngleichgewicht auf der Basis der Newtonschen <strong>Physik</strong>, das durch das Zusammenspiel durch<br />
Druck P(r) <strong>und</strong> Dichte ρ(r) beschrieben wird. Dazu betrachten wir eine Kugelschale mit Radius<br />
r <strong>und</strong> Dicke dr (siehe Abb. 7.1). Die unterhalb dieser Kugelschale befindliche Gesamtmasse des<br />
Himmelskörper ist<br />
� r<br />
M(r) = 4π dr r<br />
0<br />
2 ρ(r) (7.22)<br />
Die in der Kugelschale befindliche Masse dM = 4πr 2 ρ(r)dr wird von der Masse M angezogen.<br />
2 Die Luminosität L = 4πr 2 F ist die auf die Entfernung normierte Leuchintensität eines Himmelskörpers. Bei einem<br />
schwarzen Körper mit Radius R Oberflächentemperatur T ist L = 4πR 2 σT 4 , wobei σ = π 2 k 4 B /60¯h3 c 2 die Stefan-<br />
Boltzmann-Konstante ist.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
148 Sternmodelle<br />
Abbildung 7.1: Sterngleichgewicht: Die auf die Schale von r bis r + dr wirkende Gravitationskraft wird durch<br />
den Druckgradienten kompensiert.<br />
Die dabei entstehende Kraft dF pro Oberfläche dA ist<br />
dF Gρ(r)M(r)<br />
=<br />
dA r2 (7.23)<br />
muss durch den Differenzdruck auf beiden Seiten der Kugelschale kompensiert werden. Man<br />
erhält auf diese Weise eine Differentialgleichung<br />
dP(r)<br />
= −Gρ(r)M(r)<br />
dr r2 . (7.24)<br />
Beim Lösen dieser DGL muss die Integrationskonstante so gewählt werden, dass der Druck an<br />
der Oberfläche des Himmelskörpers verschwindet, d.h. P(R) = 0. Zum Lösen sind außerdem<br />
thermodynamische Gleichungen erforderlich, die den Druck P(r), die Dichte ρ(r) <strong>und</strong> die Temperatur<br />
T (r) miteinander verknüpfen.<br />
Näherung konstanter Dichte<br />
Als grobe Näherung wollen wir annehmen, dass die Dichte ρ(r) im Innern des Sterns konstant<br />
ist. Damit ist M(r) = 4<br />
3 πr3 ρ <strong>und</strong> die Differentialgleichung (7.24) lautet<br />
dP(r)<br />
dr<br />
Die Lösung mit der Randbedingung P(R) = 0 lautet<br />
= −4<br />
3 πrGρ2 . (7.25)<br />
P(r) = 2π<br />
�<br />
Gρ2 R<br />
3 2 − r 2�<br />
. (7.26)<br />
Mit einer konstanten Dichte ist der Schwarzschildradius (7.19) gegeben durch 3<br />
rs = 8πGρR3<br />
3c 2 . (7.27)<br />
Kombiniert man beide Gleichungen, so erhält man<br />
rs<br />
R<br />
4P(0)<br />
= . (7.28)<br />
ρc2 Ein schönes Ergebnis: Der aktuelle Druck dividiert durch den ‘relativistischen Druck’ ρc 2 ist<br />
proportional zu dem dimensionslosen Verhältnis rs/R.<br />
3 Allerdings liegt rs innerhalb des Himmelskörpers, wo die äußere Schwarzschildmetrik nicht gültig ist.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
7.2 Radialsymmetrische Himmelskörper 149<br />
Abbildung 7.2: Sonnenoberfläche aufgenommen vom Satelliten TRACE. (NASA - Wikimedia Commons)<br />
Sterne<br />
Sterne entstehen in Regionen des Weltalls mit erhöhter Staubdichte, oftmals ausgelöst durch<br />
Schockwellen einer Supernova-Explosion. Die Staubwolke zieht sich dann unter Wirkung gegenseitiger<br />
Gravitation zusammen <strong>und</strong> bildet einen Protostern. Protosterne sind etwa 1000 mal<br />
größer als das Sonnensystem, haben noch eine geringe Dicht <strong>und</strong> eine Temperatur von nur wenigen<br />
Kelvin. Der nun einsetzende Gravitationskollaps führt zu einer stetig ansteigenden Temperatur,<br />
die irgendwann zur Ionisation des Wasserstoffes <strong>und</strong> schließlich zur Zündung einer Kernfusion<br />
H→He, dem sogenannten Wasserstoffbrennen führt. Wenn der durch diese Kernreaktion<br />
hervorgerufene Gegendruck in der Lage ist, den Gravitationskollaps aufzuhalten, entsteht ein<br />
Stern.<br />
Das Wasserstoffbrennen wandert schalenförmig vom Mittelpunkt des Sterns langsam nach<br />
außen. Das Abfallprodukt Helium wird im Kern unter dem Einfluss der Gravitation unter hohem<br />
Druck weiter verdichtet, bis eine erneute Kernfusion, das sogenannte Heliumstoffbrennen,<br />
zündet <strong>und</strong> wiederum von innen nach außen wandert <strong>und</strong> dabei Beryllium sowie Kohlenstoff bildet.<br />
Bei hinrichend schweren Sternen kommt es dann im Zentrum zu einer erneuten Zündung,<br />
dem Kohlenstoffbrennen. Dieser Vorgang kann je nach Masse des Sterns unter Bildung immer<br />
schwererer Elemente bis hin zu Eisen fortgesetzt werden. Durch diese sukzessiven Brennzyklen<br />
bläht sich der Stern immer weiter auf, während seine Oberflächentemperatur abnimmt. Sterne in<br />
einem solchen Spätstadium bezeichnet man als rote Riesen. Schließlich brechen die Fusionsreaktionen<br />
zusammen, so dass der rote Riese unter seinem Eigengewicht kollabiert. Da er nun aus<br />
schweren Kernen besteht, kann der Kollaps nicht durch Fusionsreaktionen aufgehalten werden.<br />
Von der Gesamtmasse hängt es ab, ob bei diesem Kollaps ein weißer Zwerg, ein Neutronenstern<br />
oder sogar ein schwarzes Loch entsteht.<br />
Die Sonne ist ein durchschnittlicher Stern mittleren Alters. Sie besteht zu drei Vierteln aus<br />
Wasserstoff <strong>und</strong> zu einem Viertel aus Helium. Das Wasserstoffbrennen findet in der Fusionszone<br />
im Zentrum statt, die sich bis etwa bis r = R/4 erstreckt. Die entstehende Wärme wird<br />
mittels Konvektion durch die herumliegenden Schichten nach außen transportiert. Die Kernfusion<br />
stabilisiert sich selbst durch negative Rückkopplung: Wird zuviel Energie produziert, dehnt<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
150 Sternmodelle<br />
sich der Stern zunächst aus. Dadurch nimmt der gravitative Einfluss ab <strong>und</strong> der Druck im Zentrum<br />
nimmt ab. Damit werden die Bedinungen <strong>für</strong> die Kernfusion ungünstiger <strong>und</strong> damit die<br />
Energieproduktion automatisch gedrosselt.<br />
Abschätzung von rs/R<br />
Um Druck <strong>und</strong> Dichte zu verknüpfen, nehmen wir in grober Näherung an, dass die Sonne ein<br />
ideales Gas ist, d.h. PV = NkBT . Dabei identifizieren wir P mit dem Druck im Mittelpunkt P(0)<br />
<strong>und</strong> schätzen die Anzahl der Teilchen mit N = M/mp ab, wobei mp die Protonenmasse ist. Die<br />
Zustandsgleichung nimmt also die Form<br />
ρ kBT<br />
P(0) =<br />
mp<br />
an. Eingesetzt in (7.28) erhalten wir die Abschätzung<br />
rs 4kBT<br />
≈<br />
R mpc2 (7.29)<br />
(7.30)<br />
Der Schwarzschildradius der Sonne beträgt 2.952 km, entsprechend rs/R = 4.24 · 10 −6 . Da die<br />
Protonenruhemasse ungefähr 1 GeV beträgt, erhält man als Temperatur des Plasmas kBT ≈ 1<br />
keV ≈ 10 8 K. In der Literatur findet man Angaben von 15 Millionen Kelvin, also liegen wir mit<br />
weniger als einer Größenordnung richtig.<br />
Ebenso können wir den Druck im Zentrum der Sonne ausrechnen:<br />
2 1 keV<br />
P(0) = ρc<br />
1 GeV ≈ 10−6ρc 2 = 10 −6 · 1408 kg<br />
m3 c2 ≈ 1.2 · 10 14 Pa ≈ 1.2 · 10 9 bar. (7.31)<br />
Der Literaturwert liegt be 200 Milliarden bar, also deutlich höher. Hier zeigen sich die Grenzen<br />
der Annahme konstanter Dichte. In der Tat variiert die Dichte stark <strong>und</strong> erreicht im Kern Werte<br />
um 150.000 kg/m 3 bei einer durchschnittlichen Dichte der gesamten Sonne von nur 1408 kg/m 3 .<br />
Bemerkung: Eine Kernfusion findet bei Energien von einigen 10 MeV statt <strong>und</strong> nicht bei 1keV . In<br />
der Sonne ist es also viel zu kalt <strong>für</strong> eine Fusion von Wasserstoff zu Helium. In der Tat ist es so, dass<br />
die Kernfusion in der Sonne nicht mit der in einer thermonuklearen Explosion vergleichbar ist, sonst<br />
würde nämlich die Sonne sprichwörtlich explodieren. Vielmehr findet die Kernfusion nur vereinzelt<br />
aufgr<strong>und</strong> des Tunneleffekts mit sehr niedriger Rate (ca. 10 − 20) statt. Die schiere Größe der Sonne<br />
stellt sicher, dass trotzdem genug Energie produziert wird, um den Himmelskörper zu stabilisieren.<br />
Bei der Erde ist es übrigens auch so. Auch sie wäre längst erkaltet, wenn nicht im Innern mittels des<br />
Tunneleffekts Kernspaltungsprozesse mit niedriger Rate stattfänden.<br />
7.2.2 Weiße Zwerge<br />
Weiße Zwerge sind vergleichsweise kleine Sterne, die im Hertzsprung-Russel-Diagramm unterhalb<br />
der Hauptreihe angeordnet sind. Sie repräsentieren das Endstadium massearmer Sterne <strong>und</strong><br />
entwickeln sich aus Roten Riesen, die ihre äußere Hülle abgestoßen haben <strong>und</strong> kollabiert sind.<br />
Wie wir sehen werden, besteht ein weißer Zwerg in der Regel aus dem ausgebrannten Kohlenstoffkern<br />
eines Sterns, sofern dieser leichter als 1.44 Sonnenmassen ist.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
7.2 Radialsymmetrische Himmelskörper 151<br />
Abbildung 7.3: Sirius A <strong>und</strong> B, aufgenommen vom Hubble-Teleskop. Der weiße Zwerg ist in diesem überbelichtiten<br />
Bild als kleiner Punkt unten links zu sehen. (NASA/ESA - Wikimedia Commons)<br />
Weiße Zwerge sind in etwa so groß wie die Erde, enthalten aber ungefähr die Masse der Sonne.<br />
Ihre Oberflächentemperatur beträgt anfangs zwischen 10.000 <strong>und</strong> 100.000 K. Die resultierende<br />
weiße oder bläuliche Farbe erklärt die Namensgebung. In einem weißen Zwerg findet keine<br />
Kernfusion oder ähnliches statt, er kühlt also kontinuierlich ab <strong>und</strong> wird irgendwann zum einem<br />
‘braunen’ oder gar ‘schwarzen Zwerg’. Dieses Schicksal erwartet auch unsere Sonne.<br />
Der nächstgelegene weiße Zwerg ist Sirius B, der mit einem gewöhnlichen Stern Sirius A<br />
ein gravitatives Doppessternsystem bildet. Lange Zeit war Sirius B nur inderekt durch Bahnanomalien<br />
von Sirius A nachweisbar, denn die absolute Leuchtkraft eines gewöhnlichen Sterns<br />
ist wegen der großen Abstrahlungsfläche viel höher als die eines weißen Zwergs. Erst mit dem<br />
Hubble-Weltraummikroskop war eine direkte Aufnahme möglich (siehe Abb. 7.3).<br />
Weiße Zwerge werden durch den Fermidruck der Elektronen stabilisiert. Um diesen Vorgang<br />
zu verstehen, betrachten wir ein komprimiertes Fermigas aus N Fermionen mit Ruhemasse m,<br />
die in einem Volumen V eingesperrt sind. Da jedes Teilchen ein Volumen V /N einnimmt, ist<br />
seine typische Ortsunschärfe durch ∆x = (V /N) 1/3 gegeben. Damit ergibt sich nach der Heisenbergschen<br />
Unschärferelation eine mittlere Impulsunschärfe von<br />
Damit ergibt sich eine mittlere kinetische Energie<br />
In nichtrelativistischer Näherung ist<br />
∆p = ¯h<br />
�<br />
V<br />
�−1/3 = ¯h . (7.32)<br />
∆x N<br />
��<br />
Ekin = N m2c4 + (∆p) 2c2 − mc 2�<br />
Ekin ≈ N (∆p)2<br />
2m ≈ N5/3 ¯h 2<br />
(7.33)<br />
2mc2 , (7.34)<br />
V 2/3<br />
Wie man sehen kann, ist diese Energie um so größer, je kleiner die Ruhemasse des betrachteten<br />
Teilchens ist. Die Unschärferelation fixiert nämlich den Impuls, – die entsprechende kinetische<br />
Energie p 2 /2m ist um so höher je kleiner die Masse ist. In einem weißen Zwerg, der aus ionisierten<br />
Protonen <strong>und</strong> Elektronen besteht, dominiert also der Fermidruck der Elektronen.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
152 Sternmodelle<br />
Um das Gleichgewicht des weißen Zwergs zu ermitteln, minimieren wir die Summe aus kinitischer<br />
Energie Ekin <strong>und</strong> der Gravitationsenergie Egrav ≈ −GM2 /R, wobei V = 4<br />
3πR3 das Volumen,<br />
N = M/mn die Teilchenanzahl, <strong>und</strong> mn,me die Nukleonen- bzw. Elektronenmasse sind:<br />
E = Ekin + Egrav = M<br />
��<br />
m<br />
mn<br />
2 ec4 + 32/3c2 ¯h 2 M2/3 2 3√ 2π2/3m 2/3<br />
�<br />
2<br />
− mec −<br />
n R2 GM2<br />
(7.35)<br />
R<br />
Dieser Ausdruck wird nun <strong>für</strong> R minimiert, indem die Gleichung dE/dR = 0 gelöst wird. Die<br />
Lösung lautet<br />
�<br />
�<br />
�<br />
R0 = �363/2c2 ¯h 4 − 2(6π) 2/3G2 ¯h 2 M4/3m 8/3<br />
n<br />
8π4/3c2G2M 2/3m2 em 10/3<br />
.<br />
n<br />
(7.36)<br />
Im Grenzfall kleiner Massen M → 0 dominiert der erste Term im Zähler, so dass der Radius des<br />
weißen Zwergs wie R0 ∼ M −1/3 skaliert. Daraus folgt:<br />
Ein weißer Zwerg wird mit zunehmender Masse kleiner.<br />
Bei immer weiter zunehmender Masse wird der weiße Zwerg immer kleiner, bis der Fermidruck<br />
nicht mehr ausreicht, um den Gravitationskollaps aufzuhalten. Die kritische Grenzmasse, bei der<br />
das passiert, kann man mit der obigen Formel ausrechnen, indem man R0 = 0 setzt. Das Ergebnis<br />
lautet<br />
Mc =<br />
� 3<br />
4π<br />
�<br />
c¯h<br />
�3/2 1<br />
G m2 n<br />
(7.37)<br />
<strong>und</strong> hängt nicht von der Elektronenmasse ab. Diese Formel unterscheidet sich von dem Ergebnis<br />
einer vollrelativistischen Behandlung nur im Vorfaktor. Das korrekte Ergebnis lautet<br />
Mc = 2.01824√ 3π<br />
2<br />
�<br />
c¯h<br />
�3/2 1<br />
G η2m2 , (7.38)<br />
n<br />
wobei η das Molekulargewicht pro Elektron ist, also die spezifische Zusammensetzung des weißen<br />
Zwergs mit berücksichtigt.<br />
Die Masse Mc heißt Chandrasekhar-Masse. Abgesehen von den Vorfaktoren hängt sie nur von<br />
f<strong>und</strong>amentalen Konstanten (¯h,c,G) <strong>und</strong> der Nukleonenmasse mn ab. Da die sogenannte Planck-<br />
Masse durch mp = � ¯hc/G gegeben ist, kann man die Chandrasekhar-Masse bis auf Vorfaktor<br />
schreiben als<br />
Mc ∝ m3 p<br />
m 2 n<br />
≈ (2.176 · 10−8 kg) 3<br />
(1.673 · 10 −27 kg) 2 ≈ 3.68 · 1030 kg. (7.39)<br />
Zum Vergleich: Die Sonnenmasse beträgt ca. 2 · 10 30 kg. Außerdem variieren die Massen der<br />
Sterne <strong>für</strong> astrophysikalische Verhältnisse nur wenig, man findet Sterne mit Massen in der Bandbreite<br />
von etwa 0.07 bis 120 Sonnenmassen, davon aber die meisten innerhalb von zwei Zehnerpotenzen.<br />
Die Chandrasekhar-Masse liegt ziemlich genau in der Mitte dieses Bandes. Sie<br />
ergibt sich aber vor allem aus der mikroskopischen <strong>Physik</strong>, nämlich der Unschärferelation <strong>und</strong><br />
der Nukleonenmasse in Zusammenspiel mit der Gravitationskonstante.<br />
Die typische Masse eines Sterns stimmt mit m3 p<br />
m 2 n<br />
überein.<br />
Obwohl weiße Zwerge zwar aus Sternen entstehen, deren Größe jedoch nicht bestimmen, steckt<br />
in der Chandrasekhar-Masse offenbar mehr magic.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
7.2 Radialsymmetrische Himmelskörper 153<br />
7.2.3 Neutronensterne<br />
Abbildung 7.4: Neutronenstern. (NASA - Wikimedia Commons)<br />
Kollabiert ein sehr schwerer Stern mit mehr als etwa 10 Sonnenmassen, so durchläuft er zunächst<br />
das temporäre Stadium eines weißen Zwergs. Wenn es dabei jedoch zu Teilchenimpulsen<br />
kommt, die höher als 1.5mec 2 sind, werden sogenannte inverse β-Zerfälle<br />
p + e − → n + νe<br />
(7.40)<br />
möglich. Die Elektronen stehen damit nicht mehr zur Verfügung, um den Stern zu stabilisieren,<br />
so dass sich der gravitative Kollaps zunächst fortsetzt, bis der Fermidruck der gebildeten Neutronen<br />
stabilisierend wirken. Die oben hergeleiteten Formeln sollten also gültig bleiben, wobei<br />
die Elektronen- durch die Neutronenmasse zu ersetzen ist. Weil diese Masse in Gl. (7.36) nur<br />
als Vorfaktor auftritt <strong>und</strong> ein Neutron etwa 2000 mal schwerer als ein Elektron ist, wird ein<br />
Neutronenstern auch 2000 mal kleiner als ein weißer Zwerg sein, also einen Radius in der Größenordnung<br />
von 10 km besitzen, auf dem aber etwas mehr als eine Sonnenmasse konzentriert<br />
ist <strong>und</strong> damit Dichten von etwa 100 Milliarden Tonnen pro Kubikzentimeter erreicht. Neutronensterne<br />
sind durch ein Verhältnis rs/R ≈ 0.3 gekennzeichnet <strong>und</strong> sind damit bereits hochrelativistische<br />
Objekte. Deshalb sind die Näherungen aus dem vergangenen Abschnitt allenfalls<br />
qualitativ korrekt, insbesondere erhält man eine modifizierte Zustandsgleichung.<br />
Auch hier gibt es eine kritische Grenzmasse, di sogenannte Oppenheimer-Volkoff-Grenzmasse,<br />
die sich von der Chandrasekhar-Grenzmasse nur durch einen Vorfaktor unterscheidet.<br />
Neutronensterne erzeugen keine Energie, kühlen also langsam aus <strong>und</strong> sind dann (sofern sie<br />
keine weitere Materie einsammeln) stabil. Bis heute sind etwa 2000 Neutronensterne in der<br />
Milchstraße identifiziert worden. 5% davon sind Teil eines Binärsystems, d.h. sie bilden mit<br />
einem anderen Neutronenstern oder weißen Zwerg ein gravitativ geb<strong>und</strong>enes System. Solche<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
154 Sternmodelle<br />
rotierenden Systeme werden als mögliche Emittenten von Gravitationswellen untersucht.<br />
7.3 Dynamische Lösungen der Feldgleichungen<br />
Wir wollen nun untersuchen was passiert, wann <strong>und</strong> wie es zu einem Gravitationskollaps kommt.<br />
Zunächst wird mit Hilfe der inneren Schwarzschildmetrik die Stabilitätsgrenze bestimmt, jenseits<br />
derer ein Kollaps unvermeidlich ist. Um den Kollaps als zeitabhängigen Vorgang zu beschreiben,<br />
benötigen wir eine dynamische radialsymmetrische Lösung der Feldgleichungen.<br />
Man kann mit dieser Lösung allerdings nicht nur kollabierende Sterne, sondern auch kollabierende<br />
Galaxien (mit Sternen als Teilchen) <strong>und</strong> sogar das gesamte Universum (mit Galaxien als<br />
Teilchen) beschreiben.<br />
7.3.1 Innere Schwarzschildmetrik<br />
Wir berechnen nun die Darstellung des metrischen Tensors innerhalb einer radialsymmetrischen<br />
Masseverteilung. Wiederum benutzen wir den Ansatz (7.4)<br />
ds 2 = −A(r)dt 2 + B(r)dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ), (7.41)<br />
mit reellen positiven Funktionen A(r) <strong>und</strong> B(r), die durch die Feldgleichungen bestimmt sind,<br />
allerdings jetzt mit einem nichtverschwindenden Energie-Impuls-Tensor. Der Himmelskörper<br />
sei dabei durch ein perfektes Fluid gegeben, d.h. wir gehen von Gl. (6.24) aus:<br />
T µν = (ρ + p)u µ u ν + pg µν . (7.42)<br />
Wir wollen ferner annehmen, dass es sich um einen statischen Himmelskörper handelt, dass<br />
also die räumlichen Komponenten der Vierergeschwindigkeit u 1 ,u 2 ,u 3 verschwinden. Wegen<br />
u µ uµ = u 0 u0 = c 2 folgt daraus<br />
u 0 = c/ � A(r), u0 = −c � A(r) (7.43)<br />
Man kann nun mit elemtaren Methoden die Feldgleichungen lösen. Das wichtigste Resultat<br />
ist die Oppenheimer-Volkoff-Gleichung – eine Integro-Differentialgleichung <strong>für</strong> den Druck als<br />
Funktion des Radius:<br />
wobei<br />
dp(r)<br />
dr<br />
= −GM(r)ρ(r)<br />
r2 �<br />
1 + p(r)<br />
ρ(r)c2 ��<br />
1 + 4πr3 p(r)<br />
M(r)c2 � r<br />
M(r) = 4π r<br />
0<br />
′2 ′ ′<br />
ρ(r )dr<br />
��<br />
1 − 2GM(r)<br />
c 2 r<br />
� −1<br />
. (7.44)<br />
(7.45)<br />
wie zuvor die innerhalb des Radius r befindliche Masse ist. Diese Gleichung kann man nur in<br />
Kombination mit einer Zustandsgleichung lösen, die Druck <strong>und</strong> Dichte miteinander verknüpft.<br />
Wenn das gelungen ist, kann man die Funktionen A(r) <strong>und</strong> B(r) ausrechnen durch<br />
A(r) = exp<br />
�<br />
− 2G<br />
c 2<br />
� ∞<br />
r<br />
dr ′ �<br />
M(r ′ ) + 4πr′3 p(r ′ )<br />
c2 ��<br />
1 − 2GM(r′ )<br />
c2r ′<br />
�<br />
�−1 r ′2<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
(7.46)
7.3 Dynamische Lösungen der Feldgleichungen 155<br />
<strong>und</strong><br />
�<br />
B(r) = 1 − 2GM(r)<br />
c2 �<br />
, (7.47)<br />
r<br />
Würde man in der letzten Gleichung <strong>für</strong> M(r) einen konstanten Wert einsetzen (so als ob sich<br />
alle Masse punktförmig im Zentrum befände) erhält man <strong>für</strong> B(r) genau den gleichen Ausdruck<br />
wie im Fall der äußeren Schwarzschildmetrik, was auch so sein muss.<br />
Beweisskizze: Laut Ansatz ist der metrische Tensor gegeben durch<br />
gµν = diag � −A(r), B(r), r 2 , r 2 sin 2 θ � .<br />
Damit ergibt sich <strong>für</strong> die Darstellung des Energie-Impuls-Tensors<br />
Tµν = diag � ρc 2 A(r), pB(r), pr 2 , p(r 2 sin 2 θ) � .<br />
Da alle Tensoren nach wie vor diagonal sind, gibt es im Prinzip vier Feldgleichungen. Da die R33-<br />
Gleichung von der R22-Gleichung linear abhängig ist, verbleiben nur die Gleichungen mit den Indices<br />
00,11 <strong>und</strong> 22. Durch geschickte Addition kann man zeigen, dass<br />
R00 R11<br />
+<br />
2A 2B<br />
+ R22<br />
r<br />
B′ 1 1<br />
= − − +<br />
2 rB2 r2 r2B ist, woraus sich ein Differentialgleichung <strong>für</strong> B(r) ergibt:<br />
d<br />
�<br />
r<br />
�<br />
= 1 −<br />
dr B(r)<br />
8πG<br />
c2 ρr2 .<br />
8πG<br />
= − ρ<br />
c2 Mit der Bedingung, dass B(0) endlich ist, gelangt man zu der Lösung (7.47). Aus der Divergenzfreiheit<br />
des Energie-Impuls-Tebsors leitet man eine weitere Differentialgleichung<br />
− A′ (r)<br />
A(r)<br />
2p<br />
= −<br />
′ (r)<br />
ρ(r)c2 + p(r)<br />
her. Kombiniert man diese mit der dritten Feldgleichung <strong>für</strong> R22, gelangt man zur Oppenheimer-<br />
Volkoff-Gleichung (7.44) ab sowie durch Integration auf Gl. (7.46).<br />
7.3.2 Absolute Stabilitätsgrenze<br />
Im folgenden wird gezeigt, dass es eine kritische Schwelle gibt, jenseites derer kein physikalischer<br />
Mechanismus existieren kann, der den Stern stabilisieren <strong>und</strong> einen Gravitationskollaps<br />
verhindern kann. In diesem Fall müssen die Objekte also kollabieren.<br />
Ausgangspunkt ist die Oppenheimer-Volkoff-Gleichung (7.44), die den Innendruck p(r) <strong>für</strong><br />
ein radialsymmetrisches relativistisches Objekt in Abhängigkeit vom Radius r beschreibt. Um<br />
diese Gleichung zu lösen, benötigt man die Zustandsgleichung des Objekts. Als einfachste Näherung<br />
wollen wir annehmen, dass die Materie inkompressibel ist, dass der Himmelskörper also<br />
eine konstante Dichte ρ = ρ0 besitzt. Mit den Abkürzungen<br />
X =<br />
�<br />
1 − rs<br />
, Y =<br />
R<br />
�<br />
1 −<br />
rsr 2<br />
R 3<br />
sind dann die beiden Funktionen der inneren Schwarzschildmetrik durch<br />
gegeben, womit man auf die Lösung<br />
A(r) = 1<br />
4 (3X −Y )2 , B(r) = Y −2<br />
2 Y − X<br />
P(r) = ρ0c<br />
3X −Y<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
(7.48)<br />
(7.49)<br />
(7.50)
156 Sternmodelle<br />
geführt wird. Erwartungsgemäß ist dabei der Druck<br />
2 1 − X<br />
P(0) = ρ0c<br />
3X − 1<br />
(7.51)<br />
im Zentrum des Himmelskörpers am größten. Erstaunlicherweise wird der Ausdruck jedoch<br />
divergent <strong>für</strong> X = 1/3, also <strong>für</strong> rs/R = 1 − 1/9 = 8/9. Da es jedoch keinen physikalischen Mechanismus<br />
gibt, der einem unendlichen Druck standhalten könnte, kommt man zu dem Ergebnis,<br />
dass <strong>für</strong><br />
R < 9<br />
8 rs<br />
(7.52)<br />
jeder Stern kollabieren muss! Der Vorfaktor 9<br />
8 kommt hier durch die Annahme der Inkompressibilität<br />
zustande, doch bleibt die obige Ungleichung auch <strong>für</strong> realistische Sterne qualitativ richtig.<br />
Für die Astrophysik ergibt sich außerdem die Schlussfolgerung, dass die beobachtbare Gravitationsrotverschiebung<br />
z auf Werte von<br />
z = λr<br />
− 1 =<br />
λe<br />
1<br />
� − 1 < 2 (7.53)<br />
rs 1 − R<br />
begrenzt ist. Objekte mit einer größeren Rotverschiebung wären nicht stabil.<br />
7.3.3 Flug durch den Schwarzschildradius<br />
Bevor wir uns mit dem Gravitationskollaps befassen, wollen wir noch einmal die äußeren Schwarzschildmetrik<br />
ds 2 �<br />
= − 1 − rs<br />
�<br />
dt<br />
r<br />
2 �<br />
+ 1 − rs<br />
�−1 dr<br />
r<br />
2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) (7.54)<br />
befassen. Man kann zeigen (Übung), dass die Bewegungsgleichungen <strong>für</strong> ein frei fallendes Teilchen<br />
¨x α + Γ α µν ˙x µ ˙x ν = 0 (7.55)<br />
durch<br />
�<br />
dr<br />
�2 rsc2 −<br />
dτ r<br />
dt<br />
�<br />
dτ<br />
1 − rs<br />
�<br />
r<br />
r<br />
= 1 (7.56)<br />
2� dφ<br />
�2 dτ<br />
= L (7.57)<br />
rsL2 − 2 r3 = Q (7.58)<br />
+ L2<br />
r<br />
gegeben ist, wobei Q,L Konstanten der Bewegung sind <strong>und</strong> oBdA vorausgesetzt wird, dass die<br />
Bewegung in der Äquatorialebene θ = π/2 der Schwarzschildmetrik stattfindet. Wir identifizieren<br />
L als den Drehimpuls, der in dem hier untersuchten Fall verschwindet. Ferner ist rs = 2GM<br />
c2 ,<br />
so dass die Bewegungsgleichungen die einfache Form<br />
dt<br />
dτ =<br />
1<br />
1 − rs<br />
1<br />
=<br />
r 1 − 2GM<br />
rc2 (7.59)<br />
�<br />
dr<br />
�2 =<br />
dτ<br />
2GM<br />
+ Q (7.60)<br />
r<br />
annehmen. Wie lange dauert es, bis ein Teilchen von r0 bis rs fliegt <strong>und</strong> welchen Weg legt es<br />
dabei zurück?<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
7.3 Dynamische Lösungen der Feldgleichungen 157<br />
• Flugdauer vom unendliche entfernten Beobachter aus gesehen:<br />
� � ts r0<br />
∆t = dt =<br />
t0 rs<br />
dt<br />
dτ<br />
� r0 dτ<br />
dr =<br />
dr rs<br />
� 2GM<br />
r<br />
1 1<br />
�<br />
+ Q 1 − rs<br />
� dr = ∞ (7.61)<br />
r<br />
da das Integral eine Polstelle an der oberen Grenze besitzt. Faktisch wird das Teilchen<br />
aber wegen der ebenfalls divergierenden Rotverschiebung schon nach kurzer Zeit unbeobachtbar.<br />
• Flugdauer aus der Sicht des Teichens:<br />
Dazu ist die Eigenzeit τ des Teilchens zu integrieren:<br />
� � τs r0<br />
∆τ1 = dt =<br />
τ0 rs<br />
� r0 dτ<br />
dr =<br />
dr rs<br />
1<br />
� 2GM<br />
r<br />
• Bis zum Schwarzschildradius zurückgelegte Wegstrecke:<br />
Hier erhält man ebenfalls ein endliches Integral<br />
� r0<br />
∆s =<br />
rs<br />
dr<br />
1 − rs<br />
r<br />
= 1<br />
�<br />
rs log<br />
2<br />
� rs<br />
r0<br />
dr < ∞ (7.62)<br />
+ Q<br />
� � ��<br />
�r0(r0 − 2 − rs) + rs log 1 − rs<br />
���<br />
+ 1<br />
r0<br />
(7.63)<br />
• Dauer des Weiterflugs bis zum Zentrum aus der Sicht des Teichens:<br />
� rs<br />
∆τ2 =<br />
0<br />
� 2GM<br />
r<br />
1<br />
< ∞ (7.64)<br />
+ Q<br />
Diese Beispiele zeigen, dass der Schwarzschildradius zwar insofern physikalisch ausgezeichnet<br />
ist, als dass ein unendlich entfernter Beobachter keine Information aus Bereichen innerhalb des<br />
Schwarzschildradius erhalten kann. Wenn jedoch ein Teilchen den Schwarzschildradius durchquert,<br />
wird es keine singuläre Raumstruktur feststellen. Damit ist die Singularität der Schwarzschildmetrik<br />
eine Koordinatensingularität, die durch die Wahl des Bezugssystem im Unendlichen<br />
entsteht.<br />
7.3.4 Gravitationskollaps<br />
Gaußsche Normalkoordinaten<br />
Um den Kollaps eines Sterns, also den freien Fall einer radialsymmetrischen Masseverteilung,<br />
zu untersuchen, benötigen wir eine andere Karte, die nicht am Schwarzschildradius divergiert.<br />
Wir wollen ein Koordinatensystem wählen, dass sich mit der kollabierenden Materie mitbewegt.<br />
Solche Koordinaten heißen Gaußsche Normalkoordinaten <strong>und</strong> sind definiert durch<br />
x 0 = cτ , x 1 ,x 2 ,x 3 = const (7.65)<br />
In einem solchen Koordinatensystem hätten die kollabierenden Teichen die Vierergeschwindigkeit<br />
u µ = (c,0,0,0), d.h. obwohl sie kollabieren, scheinen sie auf der Karte zu ruhen.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
158 Sternmodelle<br />
Man kann zeigen, dass im isotropen Fall eine solche Metrik in der Form<br />
ds 2 = −c 2 dt 2 +U(r,t)dr 2 +V (r,t)(dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) (7.66)<br />
geschrieben werden kann. Mit diesem Ansatz berechnet man die Christoffelsymbole<br />
Γ 1 01 = Γ 1 10 = ˙U<br />
2U<br />
Γ 0 11 = ˙U<br />
2<br />
Γ 2 02 = Γ 2 20 = Γ 3 03 = Γ 3 30 = ˙V<br />
2V<br />
Γ 0 22 = ˙V<br />
2<br />
Γ 0 33 = ˙V<br />
2 sin2 θ<br />
U ′<br />
Γ 1 11 =<br />
2U<br />
V ′<br />
Γ 1 22 = −<br />
2U<br />
V ′<br />
Γ 1 33 = −<br />
2U sin2 θ<br />
Γ 2 12 = Γ 2 21 = Γ 3 13 = Γ 3 V ′<br />
31 =<br />
2V<br />
Γ 2 33 = −sinθ cosθ<br />
Γ 3 23 = Γ 3 32 = cotθ<br />
(7.67)<br />
wobei Punkt <strong>und</strong> Strich <strong>für</strong> die jeweiligen partiellen Ableitungen bezeichnen <strong>und</strong> alle nicht aufgeführten<br />
Christoffelsymbole verschwinden. Wir überprüfen zunächst anhand der Feldgleichung<br />
ob eine konstante Vierergeschwindigkeit u µ = (c,0,0,0) mit diesem Ansatz konsistent ist. Man<br />
stellt fest, dass Γ µ<br />
duµ<br />
00 = 0 <strong>für</strong> alle µ verschwindet, so dass die Bahngleichung dτ = −Γµ νρuν uρ in der Tat erfüllt ist.<br />
Mit den obigen Christoffelsymbolen kann man die nichtverschwindenden Komponenten des<br />
Ricci-Tensors ausrechnen:<br />
R00 = Ü ¨V<br />
+<br />
2U V<br />
˙U 2 ˙V 2<br />
− −<br />
4U 2 2V 2<br />
R11 = − Ü ˙U 2<br />
+<br />
2 4U − ˙U ˙V V ′′ V ′2<br />
+ −<br />
2V V 2V 2 − U ′ V ′<br />
2UV<br />
R22 = −1 − ¨V<br />
2 − ˙U ˙V<br />
4U<br />
R01 = R10 =<br />
Radialsymmetrischer Kollaps<br />
˙V ′<br />
V<br />
˙VV ′ ˙UV ′<br />
− −<br />
2V 2 2UV<br />
V ′′<br />
+<br />
2U − V ′ U ′<br />
4U 2<br />
(7.68)<br />
(7.69)<br />
(7.70)<br />
(7.71)<br />
R33 = R22 sin 2 θ (7.72)<br />
Wir wollen nun voraussetzen, dass die kollabierende Materie aus Staub besteht, also keinen<br />
Innendruck besitzt, <strong>und</strong> dass ihre Dichte räumlich konstant ist, d.h. ρ(r,t) = ρ(t). Mögliche<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
7.3 Dynamische Lösungen der Feldgleichungen 159<br />
Anwendungfälle sind:<br />
- Sternkollaps bei r > 9<br />
8 rs<br />
- Bildung eines neuen Sterns aus einer Staubwole<br />
- Kollaps einer Galaxie (mit Sternen als Staubteilchen)<br />
- Kollaps des Universums (mit Galaxien als Staubteilchen)<br />
Mit p = 0 <strong>und</strong> u µ = (c,0,0,0) hat der Energie-Impulstensor die Gestalt<br />
T µν = (ρ + p)u µ u ν + pg µν =<br />
Damit erhält man die Feldgleichungen<br />
Rµν = Tµν + 1<br />
2 gµνT = ρ(t)c2<br />
⎛<br />
1<br />
⎜<br />
2 ⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
ρ(t)c 2<br />
U(r,t)<br />
0<br />
V (r,t)<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
V (r,t)sin 2 θ<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(7.73)<br />
(7.74)<br />
Die dabei auftretenden Gleichungen enthalten Summen von Orts- <strong>und</strong> Zeitableitungen. Dies legt<br />
einen Separationsansatz nahe:<br />
Aus der Feldgleichung <strong>für</strong> R01 = R10 folgt<br />
U(r,t) = R(t) 2 f (r), V (r,t) = S(t) 2 g(r) (7.75)<br />
˙S<br />
S<br />
˙R<br />
= , (7.76)<br />
R<br />
so dass sich S <strong>und</strong> R nur durch eine Konstante unterscheiden können, die wir in f ,g absorbieren<br />
können, so dass S = R ist. Die verbleibenden Feldgleichungen <strong>für</strong> R11 <strong>und</strong> R22 bzw. R33 lauten<br />
− 1 1<br />
+<br />
r2 r2 f<br />
f ′<br />
−<br />
r f 2 =<br />
¨RR<br />
+ 2 ˙R 2 − 4πG<br />
c<br />
f ′<br />
−<br />
2r f 2 =<br />
¨RR<br />
+ 2 ˙R 2 − 4πG<br />
c<br />
2 ρ(t)R2<br />
2 ρ(t)R2<br />
(7.77)<br />
(7.78)<br />
Da die linken Seinten nur von r <strong>und</strong> die rechten nur von t abhängen, müssen die Seiten konstant<br />
sein, d.h.<br />
so dass<br />
− 1 1<br />
+<br />
r2 r2 f<br />
f ′<br />
−<br />
r f 2 = −2k (7.79)<br />
f ′<br />
−<br />
2r f 2 = −2k , (7.80)<br />
f (r) =<br />
1<br />
1 − kr 2<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
(7.81)
160 Sternmodelle<br />
ist. Die Metrik im Innern der kollabierenden Staubwolke lautet also<br />
ds 2 = −c 2 dt 2 + R(t) 2� dr2 1 − kr2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 �<br />
) . (7.82)<br />
Mit der Divergenzfreiheit des Energie-Impuls-Tensors kann man zeigen, dass 1 √ g ∂0( √ gT 00 ) = 0<br />
ist, woraus die Massenerhaltung<br />
ρ(t)R(t) 3 = ρ(0) (7.83)<br />
folgt Dieses Ergebnis setzt man in die Feldgleichung <strong>für</strong> R00 ein <strong>und</strong> erhält<br />
Daraus folgt<br />
¨RR = − 4πG<br />
3c 2<br />
d ˙R<br />
d(ct) = 2 ¨R ˙R = − 8πGρ(0)<br />
3c2 ˙R<br />
R2 ρ(0)<br />
. (7.84)<br />
R<br />
(7.85)<br />
mit der Lösung<br />
˙R 2 = const + 8πG<br />
3c2 ρ(0)<br />
(7.86)<br />
R<br />
wobei man durch Einsetzen in die Feldgleichung <strong>für</strong> R11 zeigen kann, dass const = −k ist. Mit<br />
den Anfangsbedingungen R(0) = 1 <strong>und</strong> ˙R(0) = 0 ergibt sich k = 8πGρ(0)/3c2 , womit sich die<br />
DGL zu<br />
˙R 2 1 − R<br />
= k<br />
R<br />
wird. Diese DGL beschreibt eine parametrisierte Zykloide<br />
(7.87)<br />
ct = 1<br />
2 √ 1<br />
(λ + sinλ), R = (1 + cosλ) (7.88)<br />
k 2<br />
Wenn der Kurvenparameter den Wert λ = π annimmt, kollabiert die Staubwolke in einen einzigen<br />
Punkt. Die Zeit, die dazu benötigt wird, ist<br />
�<br />
�<br />
T = t�<br />
=<br />
λ=π π<br />
2c √ �<br />
π 3<br />
= . (7.89)<br />
k 2 8πGρ(0)<br />
Erstaunlicherweise hängt diese Zeit nicht von der absoluten Größe des Objekts, sondern nur<br />
von seiner Dichte ab. Auf den zweiten Blick ist das aber plausibel, da die auf ein Staubteilchen<br />
wirkende Gravitationskraft nur von den Bestandteilen der Wolke innerhalb der Kugel mit dem<br />
Radius, das seiner Entfernung entspricht, hervorgerufen wird. Bei einer irdischen Dichte von<br />
1g/cm 3 ist die Zeit übrigens sehr kurz: Nur etwa 35 Minuten würde dann ein Gravitationskollaps<br />
dauern.<br />
7.3.5 Supernovae<br />
Im ersten Jahr der Regentschaft von Chih-ho [1054], zum fünften Mond, am Tag<br />
chi-ch’ou [4. Juli], erschien ein Gaststern südöstlich in der Nähe von T’ien-kuan<br />
[ζ Tauri]. Nach etwa einem Jahr wurde er allmählich unsichtbar. 4<br />
4 Geschichte der Sung-Dynastie, China, zitiert nach J. J. L. Duyvendak<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
7.3 Dynamische Lösungen der Feldgleichungen 161<br />
Abbildung 7.5: Der Krebsnebel: Überbleibsel einer Supernova<br />
Einen ‘Gaststern’ stellen die chinesischen Astronomen im Jahr 1054 fest, der anfangs heller als<br />
die Venus strahlt <strong>und</strong> sogar tagsüber sichtbar ist, dann aber langsam an Intensität verliert. Heute<br />
befindet sich an der in der Quelle genau benannten Stelle der Krebsnebel (engl. crab nebula),<br />
die Überbleibsel einer Supernova. In der Mitte befindet sich ein Pulsar, ein schnell rotierender<br />
Neutronenstern, der die Röntgenastronomen gerne als Kalibrationsquelle benutzen. Weniger<br />
lange her ist die Supernova SN1987A, die in der Magellanischen Wolke, unserer Nachbargalaxie,<br />
stattfand. Damals gab es schon leistungsfähige Neutrinodetektoren. Zum Zeitpunkt des<br />
Ausbruchs wurden plötzlich weltweit 19 Neutrinos gleichzeitig registriert. Ein klarer Hinweis<br />
auf einer Typ-II-Supernova, bei der ein weißer Zwerg kollabiert. Versagt nämlich die Stabilisierung<br />
durch die Elektronen, findet schlagartig der inverse β-Zerfall statt <strong>und</strong> der weiße Zwerg<br />
kollabiert zu einem Neutronenstern. Die emittierten Neutrinos waren auf der Erde nachweisbar.<br />
In unserer Galaxie erwartet man eine Supernova statistisch etwa alle 40 Jahre. Was bei einer<br />
Supernova genau abläuft, ist Gegenstand aktueller Forschung. Sicher ist, dass der Prozess einer<br />
solchen Sternexplosion durch einen Gravitationskollaps eingeleitet wird. Nur in den seltensten<br />
Fällen wird dieser Kollaps radialsymmetrisch sein, sondern wird in der Regel einen Restdrehimpuls<br />
mit sich tragen, der beim Kollaps durch den Pirouetteneffekt immer spürbarer wird.<br />
Einen Sternkollaps kann man sich ungefähr so vorstellen: Nach den immer kürzer werdenden<br />
thermonuklearen Brennphasen bildet sich in der Mitte des Sterns ein Eisenkern. Sobald dieser<br />
die Chandrasekhar-Grenzmasse (bei Eisen etwa 0.9 Sonnenmassen) überschreitet, beginnt der<br />
Kern zu kollabieren. Dieser Vorgang geschieht sehr schnell - innerhalb von Millisek<strong>und</strong>en, während<br />
die äußeren Schichten als gravitative Stoßwelle ins Zentrum fallen. Sobald der innere Teil<br />
des Kerns Dichten auf nuklearem Niveau erreicht, besteht er bereits fast vollständig aus Neutronen.<br />
Wenn nun die etwas höher liegende kritische Oppenheimer-Volkoff-Grenzmasse eines<br />
Neutronensterns (etwa 3 Sonnenmassen) nicht überschritten wird, wird der Kern aufgr<strong>und</strong> des<br />
Fermidrucks der Neutronen schlagartig inkompressibel, womit der Kollaps schlagartig gestoppt<br />
wird <strong>und</strong> eine enorme Druckerhöhung im Zentrum stattfindet. Damit entsteht eine gigantische<br />
Druckwelle, die nach Verlassen des Eisenkerns durch komplizierte physikalische Prozesse <strong>und</strong><br />
durch erneut einsetzende Fusionsreaktionen während ihrer Ausbreitung weiter an Energie gewinnt.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
162 Sternmodelle<br />
Abbildung 7.6: Simulation der optischen Wirkung eines schwarzen Lochs, das vor der Magellanschen Wolke<br />
vorbeiziehen würde [Wikimedia].<br />
Zurück bleibt – je nach Masse – ein Neutronenstern oder ein schwarzes Loch 5 . Die oft hohe<br />
Drehgeschwindigkeit erzeugt ein Magnetfeld, das mit den Teilchen des abgestoßenen Gasnebels<br />
in Wechselwirkung tritt <strong>und</strong> so von der Erde aus registrierbare Signale erzeugt.<br />
7.3.6 Schwarze Löcher<br />
Ein schwarzes Loch ist eine Masseansammlung, die so groß ist, dass sie komplett innerhalb ihres<br />
eigenen Schwarzschildradius liegt. Der Schwarzschildhorizont hat dabei die Qualität einer lichtartigen<br />
Trennfläche: Würde man dort mit einer Taschenlampe horizontal leuchten, würde man<br />
das Licht gewissermaßen auf eine kreisförmige Umlaufbahn schicken. Der Schwarzschildhorizont<br />
ist also eine zweidimensionale Fläche geodätischer Linien, die das Innere <strong>und</strong> das Äußere<br />
des schwarzen Lochs voneinander trennt:<br />
Im Rahmen der klassischen ART wird ein schwarzes Loch durch die äußere Schwarzschildmetrik<br />
mit einer Singularität im Zentrum beschrieben oder – was der Regelfall sein dürfte – von<br />
einer Variante dieser Metrik mit Drehimpuls, der sogenannten Kerr-Metrik<br />
ds 2 �<br />
= − 1 − rsr<br />
ρ2 �<br />
c 2 dt 2 − 2rsrasin 2 θ<br />
ρ2 cdt dφ + ρ2<br />
dr2<br />
Λ2 + ρ 2 dθ 2 �<br />
+ r 2 + a 2 rsra2 +<br />
ρ2 sin2 �<br />
θ sin 2 θ dφ 2 (7.90)<br />
,<br />
die wir hier aber nicht eingehender diskutieren wollen. Darüber hinaus gibt es noch weitere<br />
Metriken, welche die elektrische Ladung eines schwarzen Lochs berücksichtigen.<br />
Gibt es schwarze Löcher? Als ich studierte, wurde diese Frage noch kontrovers diskutiert.<br />
Heute sind in unserer Galaxie schon mehr als 10 schwarze Löchen identifiziert worden. Dabei<br />
klassifiziert man die schwarzen Löcher nach ihrer Masse:<br />
• Stellare schwarze Löcher mit etwa bis zu 10 Sonnenmassen können beim Kollaps eines<br />
Sterns entstehen <strong>und</strong> haben einen (Schwarzschild-)Radius von bis zu 30 km.<br />
5 Inzwischen spekuliert man über eine weitere Zwischenform, sogenannte Quarksterne, die aus reinen Quarks be-<br />
stehen.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
7.3 Dynamische Lösungen der Feldgleichungen 163<br />
• Mittelschwere schwarze Löcher entstehen durch Sternkollisionen. Sie besitzen etwa 1000<br />
Sonnenmassen <strong>und</strong> haben einen Radius bis zu 1000 km. Die Existenz mittelschwerer<br />
schwarzer Löcher ist noch nicht zweifelsfrei nachgewiesen, doch gibt es konkrete Kandidaten<br />
dieses Typs.<br />
• Supermassive schwarze Löcher mit 10 5 bis 10 9 Sonnenmassen <strong>und</strong> befinden sich im Zentrum<br />
von Galaxien. Es wird vermutet, dass sich im Zentrum von Galaxien in der Regel ein<br />
supermassives schwarzes Loch befindet.<br />
• Primordiale schwarze Löcher sind Raumzeit-Singularitäten, die sich unmittelbar nach<br />
dem Urknall gebildet haben könnten <strong>und</strong> einen Radius von einem Zehntel Millimeter<br />
besitzen. Die Existenz solcher Mikrolöcher ist allerdings bis heute nicht nachgewiesen.<br />
Wie sieht man schwarze Löcher? Die in Abb. 7.6 gezeigte Simulation ist in der praktischen<br />
Astrophysik unrealistisch. Selbst Sterne in der Milchstraße sind zu weit weg, um ihre Größe<br />
optisch zu messen, wie soll man da erst ein schwarzes Loch sehen? Ein direkter Nachweis ist<br />
also mit heutigen Mitteln praktisch unmöglich. Allerdings gibt es eine Vielzahl indirekter Nachweismethoden,<br />
die sich wie ein Puzzle ergänzen <strong>und</strong> es uns ermöglichen, schwarze Löcher zu<br />
lokalisieren <strong>und</strong> ihre Eigenschaften zu bestimmen. Schwarze Löcher sind in der Regel nicht<br />
völlig schwarz, sondern es kommt in den Randbereichen nahe am Schwarzschildradius wegen<br />
Drehimpulsen <strong>und</strong> elektrischen Ladungen zu komplexen physikalischen Phänomenen. Schwarze<br />
Löcher können beispielsweise Jets emittieren oder Radiowellen aussenden.<br />
Ein wichtiges Beispiel ist das supermassive schwarze Loch unserer eigenen Galaxie, mit ca. 4<br />
Millionen Sonnenmassen. Es befindet sich im Sternbild des Schützen <strong>und</strong> wird mit dem Namen<br />
Sagittarius A* bezeichnet. Das schwarze Loch wird von einem weiteren Stern mit dem Namen<br />
S2 umkreist <strong>und</strong> erlaubt so eine präzise Bestimmung der Masse, Da der extrem schwere Zentralkörper<br />
nicht sichtbar ist, geht man davon aus, dass es sich um ein schwarzes Loch handelt.<br />
Inzwischen sind die Messungen so genau, dass man in unmittelbarer Nähe sogar ein zweites<br />
mittelschweres schwarzes Loch vermutet.<br />
Théorème de calvitie<br />
J. A. Wheeler verdanken wir das “no hair theorem”. Ein schwarzes<br />
Loch wird demnach vollständig durch drei Zahlen beschreiben,<br />
nämlich seine Masse M, seinen Drehimpuls L <strong>und</strong> seine elektrische<br />
Ladung Q (die Ladung dürfte sich allerdings durch bevorzugte Anziehung<br />
entgegengesetzter Ladungsträger schnell neutralisieren). Der<br />
Gr<strong>und</strong> ist, dass der Schwarzschildradius eine unüberwindbare Informationsbarriere<br />
darstellt, es ist also prinzipiell unmöglich, etwas über<br />
das “Innenleben” eines schwarzen Lochs zu erfahren.<br />
Dieses Theorem ist bemerkenswert, weil sich hier ein makroskopisches Objekt genau so verhält<br />
wie ein Elementarteilchen, das ja ebenfalls durch wenige Zahlen vollständig charakterisiert<br />
werden kann. Besteht hier eine tieferer Zusammenhang zwischen schwarzen Löchern <strong>und</strong> Elementarteilchen?<br />
Das no-hair-Theorem wirft aber auch ein f<strong>und</strong>amentales Problem auf. Da ein<br />
schwarzes Loch keine Information ausser M,L,Q besitzt, ist seine Entropie praktisch gleich<br />
Null. Damit wird allerdings der 2. Hauptsatz der Thermodynamik verletzt: Ein Objekt mit einer<br />
positiven Entropie S > 0, das sich durch den Schwarzschildradius bewegt, wird vom schwarzen<br />
Loch irreversibel verschluckt. Da das schwarze Loch selbst keine Entropie besitzt, würde sich<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
164 Sternmodelle<br />
durch diesen Prozess die Gesamtentropie erniedrigen.<br />
Zur Erinnerung: Die Entropie ist definiert als die Informationsmenge gemessen in bit, die notwendig<br />
ist, um ein gegebenes Objekt vollständig zu beschreiben. Wenn das Objekt in N verschiedenen Zuständen<br />
s sein kann, <strong>und</strong> man über kein Vorwissen verfügt, ist die Entropie S = log 2 N. Bei <strong>Physik</strong>ern<br />
ist historisch bedingt die Definition S = kB lnN üblich, die sich nur im Vorfaktor unterscheidet.<br />
Manchmal hat man ein partielles Vorwissen über den Zustand des Systems in Form einer Wahrscheinlichkeitsverteilung<br />
p(s). In diesem Fall ist die Information, die man zur vollständigen Beschreibung<br />
eines Systems ergänzen muss, reduziert <strong>und</strong> durch die Formel<br />
S = −∑ s<br />
p(s) log 2 p(s) bzw. S = −kB∑ s<br />
p(s) ln p(s)<br />
gegeben. Der zweite Hauptsatz drückt den trivialen Sachverhalt aus, dass sich ein (partielles) Vorwissen<br />
über ein Objekt im Verlauf der Zeit (ohne aktive Messungen durchzuführen) nicht zunehmen,<br />
sondern höchstens gleich bleiben oder abnehmen kann. Die Entropie kann dementsprechend gleich<br />
bleiben oder zunehmen. Wenn Sie einen schönen Blumenstrauß in den Main werfen, wird er in Einzelteile<br />
zerlegt <strong>und</strong> zersetzt, <strong>und</strong> wird deshalb nach diesem Vorgang noch schwieriger zu beschreiben<br />
sein als vorher. Anders ist es, wenn Sie den Blumenstrauß in ein schwarzes Loch werfen, dann ist er<br />
nämlich weg – es gibt nichts mehr zu beschreiben <strong>und</strong> seine Entropie ist deshalb gleich Null.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
8 Kosmologie<br />
Dieses Kapitel ist von Paul Stapor verfasst worden, der im WS 11/12 einen Seminarvortrag über<br />
Kosmologie gehalten hat. Vorausgesetzt wird die auf S. 138 zusammengefasste traditionelle<br />
Formulierung der Allgemeinen Relativitästheorie.<br />
8.1 Die Friedmann-Robertson-Walker-Metrik<br />
8.1.1 Das Kosmologische Prinzip<br />
Die Einsteinschen Feldgleichungen <strong>für</strong> den<br />
gesamten uns bekannten Kosmos zu lösen,<br />
stellt ein hoffnungsloses Unterfangen dar: Die<br />
Massenverteilung allein der sichtbaren Materie<br />
in der Metrik zu berücksichtigen ist<br />
beim Aufstellen einer Metrik de facto unmöglich,<br />
von den Relativbewegungen der Galaxien<br />
ganz zu schweigen. Die einzige Möglichkeit<br />
besteht also darin, stark vereinfachende<br />
Annahmen über die Beschaffenheit des<br />
Weltalls zu machen. Wir nähern es also durch<br />
ein perfektes Fluid mit der Annahme:<br />
Verteilung der Galaxien im sichtbaren Universum.<br />
In den fehlenden Sektoren blendet die Milchstraße.<br />
Quelle: 2dF Galaxy Redshift Survey<br />
Die Masseverteilung im Universum ist auf großen Skalen homogen <strong>und</strong> isotrop.<br />
Dieses sogenannte Kosmologische Prinzip scheint sich auf den ersten Blick nicht mit unseren<br />
Beobachtungen zu decken <strong>und</strong> sehr willkürlich zu sein. Tatsächlich stellen Galaxien große Massenansammlungen<br />
dar, zwischen denen sich riesige Leerräume befinden. Auf größeren Skalen<br />
finden wir Galaxienhaufen <strong>und</strong> Superhaufen vor, zwischen denen sich noch größere Leerräume<br />
(sogenannte Voids) befinden. Doch wenn wir von hier aus zu noch größeren Skalen gehen, die<br />
<strong>für</strong> das gesamte sichtbare Universum relevant sind, so zeigt sich, dass diese Voids nicht größer<br />
als etwa 100 Mpc sind. Darüber lässt sich tatsächlich ein starker Trend zur Homogenität <strong>und</strong><br />
Isotropie feststellen.<br />
Ein weiterer Hinweis <strong>für</strong> die Richtigkeit des Kosmologischen Prinzips ist die Gleichförmigkeit<br />
der kosmischen Hintergr<strong>und</strong>strahlung: Sie unterliegt, abweichend vom Mittelwert von etwa<br />
2.7K, nur sehr kleinen richtungsabhängigen Schwankungen im Bereich von etwa 10 −5 K. Die<br />
Isotropie ist hier fast perfekt ausgeprägt. Dies macht zumindest plausibel, warum wir das Universum<br />
mit so starken Annahmen vereinfachen dürfen.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
166 Kosmologie<br />
Bemerkung: Die in der obigen Abbildung gezeigten filigranen Strukturen der Verteilung der Gala-<br />
xien werden gegenwärtig mit Hilfe der sogenannten Inflationstheorie erklärt. Dieser Theorie zufolge<br />
hat sich das Universum kurz nach dem Urknall wegen eines Phasenübergangs schlagartig über viele<br />
Größenordnungen ausgedehnt. Die kurz nach dem Urknall präsenten Quantenfluktuationen wurden<br />
auf diese Weise kausal getrennt <strong>und</strong> auf einer Skala eingefroren, die heute etwa 100 Mpc entspricht.<br />
Damit ergaben sich Regionen mit minimal unterschiedlicher Dichte, die als Anisotropie im Mikro-<br />
wellenhintergr<strong>und</strong> nachweisbar sind. Diese eingefrorenen Dichtefluktuationen sind mit der heutigen<br />
Dichteverteilung der Galaxien korreliert.<br />
Die Metrik, die ein homogenes, rotationssymmetrisches Weltall beschreibt, wurde bereits im<br />
Zusammenhang mit dem Gravitationskollaps diskutiert (siehe Abschnitt 7.3.4 auf S. 157). Hier<br />
gingen wir ebenfalls von Rotationsinvarianz des Problems <strong>und</strong> einer homogenen Massenverteilung<br />
(d.h. konstanten Krümmung der Raumzeit) aus. Wenden wir diese Metrik nun nicht auf das<br />
Innere eines Sterns, sondern auf das gesamte Universum an, so nennen wir sie die Friedmann-<br />
Robertson-Walker (FRW)-Metrik1 :<br />
ds 2 = c 2 dt 2 �<br />
dr2 − R(t)<br />
1 − kr2 + r2 � dθ 2 + sin 2 θdφ 2��<br />
. (8.1)<br />
In dieser Darstellung hat der so genannte Skalenparameter R(t) die Dimension einer Länge <strong>und</strong><br />
beschreibt die momentane Ausdehnung des Universums, während k = 0,±1 <strong>und</strong> r ∈ [0,1] ist.<br />
8.1.2 Herleitung der FRW-Metrik<br />
Obwohl die FRW-Metrik bereits in Abschnitt 7.3.4 hergeleitet wurde, wollen wir hier eine alternative<br />
Herleitung vorstellen, die das Modell eines isotropen, gleichmäßig gekrümmten Raumes<br />
auf andere Weise veranschaulicht. Dazu betten wir <strong>für</strong> gegebenes t den durch die Koordinaten<br />
x1,x2,x3 beschriebenen räumlichen Anteil der Raumzeit in einen höherdimensionalen ebenen<br />
Raum ein. Bei positiver konstanter Krümmung hat dieser Anteil die Form der Oberfläche einer<br />
vierdimensionalen Kugel <strong>und</strong> kann deshalb problemlos in einen R 4 eingebettet werden. Bei<br />
negativer Krümmung ist dies nach einem Resultat von David Hilbert nicht möglich, doch kann<br />
man einen Raum mit konstanter negativer Krümmung in einen pseudoeuklidischen Raum ebenen<br />
Raum, den R 3 1 , einbetten, wobei wir die zusätzliche Koordinate als x4 bezeichnen wollen 2 .<br />
Zur Erinnerung: Der pseudoeuklidische Raum Rn k ist ein (n+k)-dimensionaler Raum mit dem Skalarprodukt:<br />
n n+k<br />
〈x,y〉 = ∑ xiyi − ∑ xiyi ,<br />
i=1 i=n+1<br />
d.h. er besitzt eine diagonale Metrik, wobei die Signatur der ersten n Dimensionen positiv <strong>und</strong> die der<br />
folgenden k Dimensionen negativ ist.<br />
In diesem Einbettungsraum definieren wir nun eine Hyperfläche durch<br />
x 2 4 = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − κR(t) 2 . (8.2)<br />
Dabei ist R(t) die aktuelle Ausdehnung (Skalenparameter) des Universums <strong>und</strong> κ = ±1 ist ein<br />
Parameter, der das Vorzeichen der Krümmung der Hyperfläche angibt. Bei einer infinitesimalen<br />
1 benannt nach Howard Percy Robertson, US-amerikanischer Mathematiker <strong>und</strong> <strong>Physik</strong>er, <strong>und</strong> Arthur Geoffrey<br />
Walker, britischer Mathematiker<br />
2 nach [19], Kap. 7a, Bsp. Nr 7.3.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
8.1 Die Friedmann-Robertson-Walker-Metrik 167<br />
Abbildung 8.1: Verschwindende, positive <strong>und</strong> negative Krümmung am Beispiel zweidimensionaler Oberflächen<br />
Verschiebung xi → xi + dxi erhält man in niedrigster Ordnung x4 dx4 = x1 dx1 + x2 dx2 + x3 dx3.<br />
Durch Auflösen nach dx4, Quadrieren <strong>und</strong> Einsetzen von (8.2) erhalten wir<br />
(dx4) 2 = (x1 dx1 + x2 dx2 + x3 dx3) 2<br />
x 2 1 + x2 2 + x2 3 − κR(t)2 . (8.3)<br />
Damit ist das Linienelement dl 2 im Einbettungsraum gegeben durch<br />
Mit Kugelkoordinaten<br />
dl 2 = (dx1) 2 + (dx2) 2 + (dx3) 2 − (x1 dx1 + x2 dx2 + x3 dx3) 2<br />
x2 1 + x2 2 + x2 (8.4)<br />
3 − κR(t)2<br />
= (dx1) 2 + (dx2) 2 + (dx3) 2 + (x1 dx1 + x2 dx2 + x3 dx3) 2<br />
κR(t) 2 − x 2 1 − x2 2 − x2 3<br />
(8.5)<br />
x1 = rR(t)sinθ cosφ, x2 = rR(t)sinθ cosφ, x3 = rR(t)cosθ (8.6)<br />
geht dieser Ausdruck über in<br />
dl 2 = R(t) 2�<br />
dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 dφ 2 sin 2 �<br />
θ + R(t)2r 2 dr2 κ − r2 . (8.7)<br />
Für das relativistische Linienelement ergibt sich damit<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − dl 2 = c 2 dt 2 − R(t) 2<br />
�<br />
dr2 1 − kr2 + r2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ dφ 2<br />
�<br />
, (8.8)<br />
wobei k = 1/κ ist. Der radiale Parameter r läuft wieder von 0 bis 1 <strong>und</strong> der Parameter k = ±1 bestimmt<br />
die Form der Raumzeit. Für k > 0 ergibt sich eine geschlossene Raumzeit (ähnlich einer<br />
Kugeloberfläche), <strong>für</strong> k < 0 eine offene Raumzeit (ähnlich einer Sattelfläche) <strong>und</strong> <strong>für</strong> k → 0 ist<br />
die Raumzeit flach. Die Folge dessen lässt sich an der Oberfläche einer Kugel veranschaulichen:<br />
Für k > 0 gilt A(r) < 4πr 2 , bzw. A(r) > 4πr 2 <strong>für</strong> k < 0.<br />
8.1.3 Entfernungen in der FRW-Metrik<br />
Um mit der FRW-Metrik besser rechnen zu können, substituieren wir<br />
r ↦→ χ(r) =<br />
Damit erhalten wir, abhängig von k, folgende Darstellung <strong>für</strong> r:<br />
⎧<br />
⎪⎨ sinχ falls k = 1<br />
r = f (χ) = χ<br />
⎪⎩<br />
sinhχ<br />
falls k = 0<br />
falls k = −1<br />
� r<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
0<br />
dr ′<br />
√ . (8.9)<br />
1 − kr ′2<br />
(8.10)
168 Kosmologie<br />
Damit schreibt sich die FRW-Metrik wie folgt:<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − R(t) 2�<br />
dχ 2 + f (χ) 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ) 2�<br />
(8.11)<br />
Auf Gr<strong>und</strong> der angenommenen Isotropie der Raumzeit lassen sich Abstände in der FRW-Metrik<br />
leicht bestimmen. Wir können den Beobachter ins ”Zentrum” des Universums stellen <strong>und</strong> eine<br />
rein radiale Streckenlänge berechnen. Für eine lichtartige Kurve in der Raumzeit gilt ds 2 = 0.<br />
Hier erhalten wir ferner noch die besondere Beziehung (8.13), die später noch wichtig werden<br />
wird. Für eine Entfernung D in der FRW-Metrik gilt:<br />
8.2 Die Friedmann-Gleichung<br />
8.2.1 Herleitung<br />
� χ<br />
D = dχ<br />
0<br />
′√<br />
gχ ′ χ ′ = R(t)χ (8.12)<br />
0 = ds 2 = c 2 dt 2 − R(t) 2 dχ 2 ⇔ dχ = cdt<br />
R(t)<br />
(8.13)<br />
Nun wollen wir eine Gleichung herleiten, mit deren Hilfe wir, unter den gemachten Annahmen,<br />
den Zustand des Universums beschreiben können 3 . Dazu verwenden wir die FRW-Metrik (8.1),<br />
berechnen aus ihr die Christoffel-Symbole sowie den Ricci-Tensor, <strong>und</strong> setzen dies in (??) ein.<br />
Wir erhalten zunächst folgende Christoffel-Symbole:<br />
Γ 0 11<br />
Γ 1 11<br />
Γ 1 01 = Γ1 10 = Γ2 02 = Γ2 20 = Γ3 03 = Γ3 30<br />
= ˙R<br />
R<br />
= ˙RR<br />
1−kr 2 Γ 0 22 = r2 ˙RR Γ 0 33 = r2 ˙RRsin 2 θ<br />
= kr<br />
1−kr 2 Γ 1 22 = −r(1 − kr2 ) Γ 1 33 = −r(1 − kr2 )sin 2 θ<br />
Γ 2 12 = Γ2 21 = Γ3 13 = Γ3 31<br />
1 = r Γ3 23 = Γ3 32 = cotθ Γ233 = −sinθ cosθ<br />
(8.14)<br />
(8.15)<br />
Alle weitere Christoffel-Symbole sind gleich Null. Außerdem ist zu beachten, dass hier sowie im<br />
Folgenden ˙R = dR/d(cdt) = dR/dx 0 gilt. Damit erhalten wir <strong>für</strong> den kontrahierten Ricci-Tensor<br />
nur auf der Diagonalen Einträge:<br />
R00 = 3 ¨R<br />
R<br />
R11 = 1<br />
1−kr 2 (R ¨R + 2 ˙R 2 + 2k)<br />
R22 = −r 2 (R ¨R + 2 ˙R 2 + 2k)<br />
R33 = R22sin 2 θ<br />
(8.16)<br />
3 Diese Gleichung ist nach dem russischen Mathematiker <strong>und</strong> <strong>Physik</strong>er Alexander Friedmann benannt, der sie 1922<br />
entdeckte<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
8.2 Die Friedmann-Gleichung 169<br />
Um die Feldgleichungen lösen zu können, brauchen wir noch den Energie-Impuls-Tensor. Nach<br />
dem kosmologischen Prinzip sind die Dichteverteilung sowie der Druck nicht ortsabhängig (Homogenität<br />
des Raumes): ρ(r,t) = ρ(t),P(r,t) = P(t). Außerdem vernachlässigen wir die Relativbewegungen<br />
der Galaxien zueinander, da sie sich im Mittel aufheben. Insgesamt verhält sich<br />
das Universum demnach wie ein perfektes Fluid, in dem keine Strömungen auftreten. Diese<br />
Aussage ist auch als Weylsches Postulat 4 bekannt <strong>und</strong> sichert uns, dass der metrische Tensor<br />
tatsächlich diagonal ist.<br />
Der Energie-Impuls-Tensor hat also die Form<br />
�<br />
Tµν = ρ + P<br />
c2 �<br />
uµuν − gµνP (8.17)<br />
wobei wir mit g00 = 1 erhalten: uµ = u µ = (c,0,0,0) Damit folgt:<br />
�<br />
Tµν = diag ρc 2 , PR2<br />
1 − kr2 ,PR2r 2 ,PR 2 r 2 sin 2 �<br />
θ<br />
(8.18)<br />
Für die Spur des Energie-Impuls-Tensors erhalten wir: T = ρc 2 − 3P<br />
Somit ergeben sich aus Tµν <strong>und</strong> Rµν 4 Differentialgleichungen. Zunächst <strong>für</strong> die 00-Komponente:<br />
3 ¨R<br />
R<br />
− Λ = −8πG<br />
c4 �<br />
ρc 2 − ρc2 �<br />
− 3P<br />
2<br />
(8.19)<br />
⇒ 3 ¨R − ΛR = − 4πG<br />
c4 � � 2<br />
ρc + 3P R (8.20)<br />
Für die drei räumlichen Komponenten ergibt sich jedes Mal die selbe Gleichung. Hier die Rechnung<br />
<strong>für</strong> die erste Komponente:<br />
− 1<br />
1 − kr2 �<br />
R ¨R + 2 ˙R 2 + 2k � �<br />
− Λ − R2<br />
1 − kr2 �<br />
= − 8πG<br />
c4 �<br />
PR2 1 − kr2 − ρc2 − 3P<br />
2<br />
⇒ R ¨R + 2 ˙R 2 + 2k − ΛR 2 = 4πG<br />
c4 � � 2 2<br />
ρc + 3P R<br />
R 2<br />
1 − kr 2<br />
�<br />
(8.21)<br />
(8.22)<br />
Nun haben wir zwei Differentialgleichungen erhalten, die in sehr allgemeiner Form die Entwicklung<br />
des Universums beschreiben. Um dies in eine intuitivere Form zu bringen, brauchen<br />
wir Informationen, wie sich der Druck P in Abhängigkeit von der Dichte ρ verhält. Für unser<br />
Universum kommen zwei Formen in Betracht:<br />
nicht interagierende Materie z.B. Staub P = 0<br />
Hochrelativistische Teilchen z.B. EM-Strahlung P = ρ<br />
3<br />
Für unser heutiges Universum ist die Dominanz von Materie im Vergleich zur Strahlung sicherlich<br />
eine gute Näherung. Setzen wir dies in (8.20) ein <strong>und</strong> lösen nach ¨R auf, so erhalten wir:<br />
�<br />
¨R<br />
Λ 4πGρ<br />
= −<br />
3 3c2 �<br />
R (8.23)<br />
4 benannt nach H.Weyl, vgl. +[13] (Kapitel 22.5): ¨Die Partikel des Substrats liegen in der Raumzeit auf einer Kongruenz<br />
zeitartiger Geodäten, die von einem Punkt in der endlichen oder unendlichen Vergangenheit ausgehen.¨<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
170 Kosmologie<br />
Dies setzen wir in (8.22) ein <strong>und</strong> erhalten nach Umformungen:<br />
˙R 2 + k − ΛR2<br />
3<br />
8πG<br />
= ρR2<br />
3c2 (8.24)<br />
Dies ist fast schon die Gleichung <strong>für</strong> das Friedmannmodell. Wir wollen sie noch dadurch vereinfachen,<br />
dass wir mit den bisherigen Gleichungen zwei Erhaltungsgrößen finden können. Dazu<br />
differenzieren wir (8.24) nach der Zeit <strong>und</strong> lösen nach ˙ρ auf:<br />
2 ˙R ¨R − 2<br />
3 ΛR ˙R = 8πG<br />
3c 2 (2R ˙Rρ + R 2 ˙ρ) / +<br />
0 = 3R ˙Rρ + R2 ˙ρ + 3<br />
c2 PR ˙R<br />
˙ρ = − 3 ˙R P<br />
R (ρ + c2 )<br />
�<br />
− 2 ˙R<br />
3<br />
�<br />
(8.20)<br />
Für den Fall P = 0, ρ = ρM erhalten wir hieraus das Gesetz der Massenerhaltung <strong>und</strong> können<br />
eine Konstante Km definieren:<br />
ρMR(t) 3 = const. ⇒ KM = 8πG<br />
3c 2 ρMR(t) 3 = const. (8.25)<br />
Für den Fall P = ρc2<br />
3 ,ρ = ρS hingegen erhalten wir eine Art ”Strahlungserhaltung”. Auch hier<br />
können wir eine Konstante definieren:<br />
ρSR(t) 4 = const. ⇒ KS = 8πG<br />
3c 2 ρSR(t) 4 = const. (8.26)<br />
Wir nehmen an, dass diese beiden Fälle separat gelten (oder ein Effekt deutlich dominiert) <strong>und</strong><br />
können sie somit gemeinesam diskutieren. Wir setzen im Folgenden daher ρ = ρM +ρS. Daraus<br />
resultiert die Gleichung <strong>für</strong> das sogenannte Friedmannmodell 5 , wenn wir die beiden neuen<br />
Konstanten in (8.24) einsetzen:<br />
˙R 2 − KS KM Λ<br />
− −<br />
R2 R 3 R2 = −k (8.27)<br />
Diese Differentialgleichung beschreibt im Wesentlichen die Entwicklung unseres Universums.<br />
Man kann sich dies auch folgendermaßen veranschaulichen: Die hinteren drei Summanden auf<br />
der linken Seite können wir zu einer Art ”Potenzial” V (R) = − KS<br />
R2 − KM Λ<br />
R − 3 R2 zusammenfassen,<br />
das wir gegen R auftragen können. Dadurch erhalten wir einen ersten Eindruck, unter welchen<br />
Bedingungen die Expansion unseres Universums beschränkt ist. Außerdem können wir aus<br />
(8.27) ”Euler-Lagrange-Gleichungen” ableiten, die den Expansionsprozess beschreiben (vgl. 2-<br />
Körper-Problem).<br />
8.2.2 Friedmannsche Weltmodelle<br />
Mit Hilfe dieser Gleichung <strong>und</strong> der vorangegangenen Abbildung des Potentials können wir nun<br />
anfangen, die möglichen Entwicklungen des Kosmos zu klassifizieren. Doch zunächst betrachten<br />
wir noch folgenden Grenzfall: Zur Frühzeit des Universum war R sehr klein <strong>und</strong> es herrschte<br />
5 Manchmal ließt man hier<strong>für</strong> auch die Bezeichnung Friedmann-Lemaître-Gleichung, benannt nach dem französischen<br />
Priester Georges Lemaître, der die Gleichung unanhängig von Friedmann 1927 entdeckte.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
8.2 Die Friedmann-Gleichung 171<br />
Abbildung 8.2: asdf<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
172 Kosmologie<br />
vor allem Strahlung vor. Zu dieser Zeit war in (8.27) mit Sicherheit der KS<br />
R 2 -Term dominierend,<br />
also folgt <strong>für</strong> R → 0: R(t) ∝ t 1 2 . Wir erhalten also eine inflationäre Expansion.<br />
”Etwas” später hingegen wird die Entwicklung des Universums vom Materie-Term bestimmt.<br />
Dies geschieht jedoch erst nach der Entkopplung von Strahlung <strong>und</strong> Materie. Für spätere Zeiten<br />
ist die Entwicklung vor allem von Λ <strong>und</strong> k abhängig. Dazu machen wir eine Fallunterscheidung.<br />
(a) Λ < 0: Das Potential wächst unbeschränkt, wir erhalten <strong>für</strong> alle Raumzeit-Geometrien geb<strong>und</strong>ene<br />
Lösungen. Je nach Wert von k dauert die Expansion des Universums länger oder<br />
kürzer an, allerdings wird es stets wieder kollabieren (Big Crunch).<br />
(b) Λ = 0: Hier lässt sich die Entwicklung nicht so einfach bestimmen, wir müssen<br />
verschiedene Fälle <strong>für</strong> k untersuchen:<br />
(i) k = 1: Es gibt wieder geb<strong>und</strong>ene Lösungen. Auch hier wird die Expansion des Universums<br />
schließlich abgebremst <strong>und</strong> es fällt wieder in sich zusammen.<br />
(ii) k = 0: Dies war lange Zeit 6 das von den Astronomen favorisierte Modell unseres Universums,<br />
es trägt den Namen Einstein-de Sitter-Universum. Es ist der Granzfall der<br />
Expansion: Sie verlangsamt sich immer mehr, kommt aber erst im Unendlichen zum<br />
Sillstand. (vgl. Parabel im Zweikörperproblem)<br />
(iii) k = −1: Hier ergibt sich eine ungeb<strong>und</strong>ene Lösung, das Universum expandiert immer<br />
weiter. R(t) verläuft schließlich annähernd linear.<br />
6 Mit ”lange Zeit” ist in diesem Fall bis etwa 1997 gemeint. Erst in diesem Jahr häuften sich die Messungen, die dem<br />
”Einstein-de Sitter”-Modell eindeutig widersprachen. Das Modell wurde von Einstein <strong>und</strong> dem niederländischen<br />
Astronom Willem de Sitter gef<strong>und</strong>en, nachdem durch Hubbles Entdeckung der Rotverschiebung ein stationäres<br />
Universum verworfen werden konnte.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
8.2 Die Friedmann-Gleichung 173<br />
(c) Λ > 0: Auch in diesem Fall hängt die Entwicklung stark von weiteren Faktoren ab. Erneut<br />
machen wir eine Fallunterscheidung nach k:<br />
(i) k = 1 Hier kommt es noch einmal darauf an, welchen Wert Λ <strong>und</strong> ρ genau haben: Es<br />
ergeben sich dann entweder zwei, ein oder kein Schnittpunkt mit der Geraden −k. Wir<br />
nennen den Fall, dass −k eine Tangente an das Potential ist, den kritischen Fall <strong>und</strong><br />
unterscheiden demnach nach dem Scheitelpunkt von V:<br />
• V > Vkrit: Es ergibt sich eine geschlossene Lösung, also ein Universum mit Expansion<br />
<strong>und</strong> Kontraktion, aber auch ein eine offene Lösung ohne Urknall.<br />
• V = Vkrit: Dies war der Fall, den Einstein mit seiner kosmologischen Konstante<br />
modellieren wollte: Ein stationäres Universum ohne Veränderung in seiner<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
174 Kosmologie<br />
Größe. Es fand lange Zeit viele Anhänger 7 . Unglücklicherweise ist dieses<br />
Modell instabil, es kollabiert oder expandiert bei einer kleinen Auslenkung.<br />
• V = Vkrit − ε: Das sogenannte Lemaître-Universum: Es gibt einen Urknall, doch<br />
die Expansion kommt zu einer bestimmen Zeit nahezu zum Stillstand. Von da an<br />
beschleunigt sich die Expansion wieder <strong>und</strong> verläuft exponentiell.<br />
• V < Vkrit: Das Universum expandiert nach dem Urknall <strong>und</strong> bremst diese<br />
Expansion zum Teil ab. Danach erfolgt jedoch eine exponentielle Ausdehnung.<br />
7 Es gab auch Versuche in den 40er-Jahren einige Eigenschaften dieses Universums, wie z.B. eine konstante Materiedichte,<br />
zu retten. Das vor allem von Fred Hoyle vorangetrieben Modell nennt man Steady-State-Universum,<br />
allerdings wurde es mit Entdeckung der kosmischen Hintergr<strong>und</strong>strahlung endgültig verworfen.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
8.3 Unser Universum 175<br />
(ii) k = 0 oder k = −1: Dieser Fall verläuft ganz ähnlich dem letzten Fall <strong>für</strong> k = 1. Es<br />
gibt eine offene Lösung, d.h. das Universum dehnt sich immer schneller aus, nachdem<br />
zeitweilig die Expansion leicht abgebremst wurde.<br />
8.3 Unser Universum<br />
Wir haben nun verschiedene mögliche Modelle <strong>für</strong> das Weltall vorliegen. Es gilt nun noch zu<br />
entscheiden, welches davon am besten auf das Universum, in dem wir leben, zutrifft. Eine absolute<br />
Sicherheit <strong>und</strong> Übereinstimmung gibt es natürlich nicht, da<strong>für</strong> wissen wir noch zu wenig<br />
über den Effekt der kosmologischen Kosntante <strong>und</strong> ihre eventuelle Zeitabhängigkeit. Wir wollen<br />
jedoch einige vereinfachte Beschreibungen unseres heutigen Kosmos betrachten.<br />
8.3.1 Das Hubble-Gesetz<br />
Zunächst möchten wir aus dem Friedmann-Modell eine Näherung <strong>für</strong> unseren Kosmos ableiten,<br />
die in einfacherer Form schon 1929 von Edwin Hubble gef<strong>und</strong>en wurde.<br />
Insbesondere bei den Messungen der Lichtemissionskurven von Typ Ia-Supernovae, aber auch<br />
schon bei der Abstandsbestimmung von anderen Galaxien wurde festgestellt, dass die gemessenen<br />
Spektren fast alle größere Wellenlängen hatten als erwartet. Das Licht war rotverschoben.<br />
Hubble deutete dies als Dopplereffekt <strong>und</strong> berechnete daraus die Fluchtgeschwindigkeit der Galaxien.<br />
Außerdem konnte er einen (linearen) Zusammenhang zwischen dem Abstand eines Objekts<br />
<strong>und</strong> der Rotverschiebung seines Lichts finden. Dieser Zusammenhang lässt auch aus der<br />
ART ableiten. Allerdings muss man dabei aufpassen: die Rotverschiebung resultiert nicht aus<br />
einem Dopplereffekt: Diesen gibt es nur in Inertialsystemen, d.h. in einer flachen Raumzeit. Der<br />
Gr<strong>und</strong> <strong>für</strong> die Rotverschiebung ist die Veränderung des kosmischen Skalenfaktors R(t) während<br />
das Licht unterwegs ist.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
176 Kosmologie<br />
Um die Rotverschiebung beschreiben zu können, betrachten wir ein Photon, das zur Zeit tE<br />
emittiert wurde <strong>und</strong> nun zur Zeit t0 registriert wird. Anschließend vergleichen wir es mit einem<br />
Photon, das einen kurzen Augenblick später tE + δtE ausgesendet wird. Wir können annehmen,<br />
dass in der kurzen Zeitspanne δt der Skalenfaktor unverändert bleibt, der Weg beider Photonen<br />
also gleich ist. Zur Berechnung verwenden wir die zuvor erhaltenen Ergebnisse (8.12) <strong>und</strong><br />
(8.13).<br />
� t0+δt0<br />
0 =<br />
tE+δtE<br />
cdt<br />
R(t) −<br />
� t0<br />
tE<br />
� t0<br />
χ =<br />
tE<br />
cdt<br />
R(t) =<br />
� t0+δt0<br />
t0<br />
cdt<br />
R(t) =<br />
� t0+δt0<br />
tE+δtE<br />
cdt<br />
R(t) −<br />
cdt<br />
R(t)<br />
� tE+δtE<br />
tE<br />
cdt δt0 δtE<br />
= −<br />
R(t) R(t0) R(tE)<br />
(8.28)<br />
(8.29)<br />
Betrachtet man nun einen Lichtimpuls, dessen Periodendauer δt ist, so erhält man die Relationen<br />
ν0R(t0) = νER(tE) = const.<br />
λ0<br />
λE<br />
= R(t0)<br />
= const. (8.30)<br />
R(tE)<br />
Mit dem Verhältnis z = δλ λ0<br />
λ = − 1 lässt sich die Rotverschiebung des Lichts einfach beschrei-<br />
λE<br />
ben. Setzt man hier das Verhältnis der Skalenfaktoren ein, so erhält man die von Hubble gef<strong>und</strong>ene<br />
Beziehung, wenn man die kosmische Expansion linear nähert:<br />
z = R(t0)<br />
R(tE) − 1 = R(t0) − R(tE)<br />
R(tE)<br />
Wobei H0 = c ˙R<br />
R<br />
= R(t0) − R(tE) (t0 −tE)c ˙Rc<br />
≈<br />
(t0 −tE)c R(tE) R (t0 −tE) = H0(t0 −tE) (8.31)<br />
die sogenannte ”Hubble-Konstante”, oder besser der Hubble-Parameter zum<br />
heutigen Zeitpunkt ist. Wir erhalten ihn auch, wenn wir <strong>für</strong> den Skalenfaktor eine Taylor-Entwicklung<br />
anlegen:<br />
R(t) = R(t0)+c ˙R(t0)(t −t0)+ 1<br />
2 c2 ¨R(t0)(t −t0) 2 +... = R(t0) � 1+H0(t −t0)− 1<br />
2 q0H 2 0 (t −t0) 2 +... �<br />
(8.32)<br />
Man nennt dann q0 den Dämpfungsparameter. Es gilt q0 = − ¨R(t0)R(t0)<br />
˙R(t0) 2 . Setzen wir dies nun mit<br />
t = tE in (8.31) ein <strong>und</strong> entwickeln diesen Bruch dis zur zweiten Ordnung in t, so erhalten wir<br />
mit Hilfe der Gleichung <strong>für</strong> die Entfernung eines kosmischen Objekts in der FRW-Metrik, bei<br />
der wir R(t) im Nenner des Integranden bis zur ersten Ordnung entwickeln die verallgemeinerte<br />
Hubble-Relation:<br />
z ≈ H0<br />
c D + (1 + q0)H 2 0<br />
2c2 D 2<br />
(8.33)<br />
Mit Hilfe dieser Berechnungen erhalten wir eine erste Näherungen <strong>für</strong> das Alter des sichtbaren<br />
Universums sowie dessen Ausdehnung (auch Weltalter <strong>und</strong> Welthorizont genannt).<br />
Für das Alter des Universums T0 erhält man also mit einer linearen Näherung:<br />
T0 = H −1<br />
0<br />
Für die Entfernung des Horizonts ergibt sich:<br />
� � T0<br />
T0 cdt<br />
D0 = R(t0) dχ = R(t0)<br />
0<br />
0 R(t)<br />
(8.34)<br />
(8.35)<br />
Dies ist die maximale Entferung, in der Dinge mit uns kausal verb<strong>und</strong>en sein können. Über<br />
den Bereich hinter dem Horizont können wir nur spekulieren, da mit ihm die Rotverschiebung<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
8.3 Unser Universum 177<br />
unendlich wird <strong>und</strong> uns keine Information aus diesem Bereich erreichen kann. Es sei hierbei<br />
festgehalten, dass die Fluchtgeschwindigkeiten von Galaxien zueinander durchaus die Lichtgeschwindigkeit<br />
überschreibten können: Die Fluchtgeschwindigkeit ist prinzipiell unbegrenzt:<br />
v(t0) = d<br />
dt (Rχ) = H0R(t0)χ → ∞ <strong>für</strong> R(t0)χ → ∞ (8.36)<br />
Dies steht nicht im Widerspruch zur SRT, denn diese gilt nur in lokalen Inertialsystemen. Zwei<br />
Inertialsysteme, die nicht miteinander verb<strong>und</strong>en sind, können sich durchaus mit Überlichtgeschwindigkeit<br />
zueinander bewegen.<br />
8.3.2 Abstandsmsessungen im Weltraum<br />
Um zu erklären, wie die experimentellen Daten zu Stande kommen <strong>und</strong> wie genau sie sind, werden<br />
nachfolgend einige Methoden zur Abstandsbestimmung im Weltraum vorgestellt.<br />
Die Gr<strong>und</strong>lage der Entfernungsmessung im Weltraum ist die Beziehung der scheinbaren Helligkeit<br />
m <strong>und</strong> der absoluten Helligkeit M eines Objekts. Die absolute Helligkeit eines Objekts ist<br />
in der <strong>Astronomie</strong> als die scheinbare Helligkeit definiert, die dieses Objekt in einem Abstand<br />
von 10 Parsec zu uns hätte. Vergleicht man diese Größen miteinander, so erhält man die Entfernung<br />
des betrachteten Objekts. Dabei ist zu bemerken, dass die Helligkeitsskala logarithmisch<br />
aufgebaut ist 8 . Die besser physikalisch zu greifende Größe ist die Strahlungsintensität (Leistung<br />
pro Fläche) l bzw die abstrahlte Leistung L. Dabei muss man beachten, dass die Entfernung im<br />
euklidischen Raum nicht die selbe wie die in der FRW-Metrik ist. Man definiert daher einen<br />
Luminositätsabstand DL neben dem tatsächlichen Abstand D. Für diesen gilt:<br />
DL =<br />
� L<br />
4πl<br />
(8.37)<br />
Für den Zusammenhang zwischen L <strong>und</strong> l gilt die Relation l = L/A, wobei A die Fläche einer<br />
Kugel in der Entfernung D = Rχ (nach (8.12)) des betrachteten Objekts ist. Diese Fläche wäre,<br />
zu einem bestimmen Zeitpunkt t0:<br />
A = 4π f (χ) 2 R(t0) 2<br />
(8.38)<br />
Wir müssen allerdings beachten, dass die vom beobachteten Objekt ausgesendeten Photonen<br />
während ihrer Reise zur Erde ausgedünnt werden, da R(t) zunimmt. Die scheinbare Helligkeit<br />
enthält also einen Faktor R(tE)<br />
R(t0) gegenüber der absoulten Helligkeit. Eine weitere, ebensolche Skalierung<br />
ist der Rotverschiebung geschuldet, die wir in (8.30) erhalten haben, denn die gemessene<br />
Helligkeiten sind Energiestromdichten <strong>und</strong> die Energie eines Photons skaliert mit seiner<br />
Frequenz ν. Wir erhalten also letzten Endes:<br />
l =<br />
L<br />
4π f (χ) 2R(t0) 2<br />
R(tE) 2<br />
R(t0) 2<br />
(8.39)<br />
Setzen wir dies in (8.37) ein, bzw. in einem weiteren Schritt mit (8.30) <strong>und</strong> (8.12), so ergibt<br />
sich eine Abhängigkeit zwischen dem Luminositätsabstand, dem tatsächlichen Abstand <strong>und</strong> der<br />
Rotverschiebung:<br />
DL =<br />
f (χ)R(t0) 2<br />
R(tE)<br />
f (χ)<br />
= D (1 + z) (8.40)<br />
χ<br />
8 Die wissenschaftliche Formulierung der Helligkeit geht im Wesentlichen auf den britischen Astronomen Norman<br />
Robert Pogson zurück.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
178 Kosmologie<br />
Den Luminositätsabstand erhalten wir wiederum aus dem Entfernungsmodul, welches eine teilweise<br />
epmirisch gef<strong>und</strong>ene <strong>und</strong> teilweise auf der Helligkeitsskala aufbauende Formel ist (wobei<br />
<strong>für</strong> die Helligkeiten die Formeln nach Pogson9 verwendet werden.):<br />
� �<br />
DL<br />
m − M = 5log10 (8.41)<br />
10pc<br />
Die Methoden zur Abstandsbestimmungen bauen aufeinander auf: Man fängt mit möglichst<br />
genauen Methoden an die nahe Umgebung des Sonnensystems zu vermessen <strong>und</strong> schafft sich so<br />
Vergleichswerte <strong>für</strong> Methoden, mit denen man die weitere Umgebung abmessen kann. Wegen<br />
dieser stufenartigen Vorgehensweise nennt man dieses Prinzip auch manchmal die kosmische<br />
Entfernungsleiter. Sie verläuft etwa wie folgt:<br />
1. Fixstern- oder trigonometrische Parallaxe: Bei nahe gelegenen Sternen lässt sich ihre Entfernung<br />
zur Erde mit Hilfe der Fixsternparallaxe berechnen: Man betrachtet den Stern zu<br />
zwei unterschiedlichen Zeiten im Jahr (z.B. mit einem halben Jahr Abstand). Gegenüber<br />
weiter entfernten Sternen (Fixsternen) erscheint er um einen kleinen Winkel ϕ verschoben.<br />
Daraus lässt sich mit dem Erdbahnradius der Abstand des Sterns zur Erde bestimmen.<br />
Diese Methode ist sehr genau <strong>und</strong> bildet die Basis <strong>für</strong> die weiteren Stufen der kosmischen<br />
Entfernungsleiter. Sie ist jedoch nur <strong>für</strong> Sterne einsetzbar, die nicht weiter als 50 pc von<br />
uns entfernt sind.<br />
2. Hauptreihe des Hertzsprung-Russell-Diagramms: Sterne lassen sich nach ihrer Leuchtkraft<br />
im sogenannten Hertzsprung-Russell-Diagramm klassifizieren. Während ihrer Wasserstoff-<br />
Brennphase befinden sie sich in der Hauptreihe dieses Diagramms. Ihre Leuchtkraft (also<br />
ihre absolute Helligkeit) ist in dieser Zeit ebenso wie ihre Temperatur <strong>und</strong> damit die Wellenlänge<br />
ihres abgestrahlten Lichts nur von ihrer Masse abhängig. Kennt man die Wellenlänge<br />
des Intensitätsmaximums eines Sterns, lässt sich daraus also seine Masse <strong>und</strong><br />
seine absolute helligkeit bestimmen. Mit der scheinbaren Helligkeit erhält man nun den<br />
Abstand des Sterns.<br />
Dieses Verfahren lässt aich auf Sterne in einer Entfernung von bis zu 100 kpc anwenden,<br />
d.h. es reicht etwa aus, um unsere eigene Galaxie zu vermessen.<br />
3. RR-Lyrae-Sterne <strong>und</strong> Cepheiden: Diese Sterne gehören zur Klasse der sogenannten pulsationsveränderlichen<br />
Sternen. Sie wechseln ihre Helligkeit in streng regelmäßigen Perioden<br />
von bis zu 50 Tagen. Cepheiden sind sehr helle Überriesen, man kann sie also auch in sehr<br />
weiter Entfernung entdecken (über 300 wurden allein in der Andromedagalaxie, also 2,5<br />
Mio. Lichtjahre entfernt von uns, gef<strong>und</strong>en). Die Helligkeitsschwankung beruht auf Radiusänderungen.<br />
Man unterscheidet hierbei zwischen δ-Cepheiden (kommen hauptsächlich<br />
in der galaktischen Ebene vor) <strong>und</strong> W-Virginis-Cepheiden (kommen hauptsächlich im Halo<br />
oder im Zentrum der Galaxie vor). RR-Lyrae-Sterne wiederum findet man in Kugelsternhaufen.<br />
Aus der Periodendauer der Helligkeitsschwankungen lässt sich in allen Fällen<br />
über empirische Beziehungen die absolute Helligkeit <strong>und</strong> somit der Abstand zu Erde bestimmen.<br />
Wegen ihrer starken Leuchtkraft kann man auf diese Weise Entfernungen von<br />
bis zu 20 Mpc vermessen.<br />
4. Planetarische Nebel: Sie emittieren 15% ihrer Leuchtkraft in der 500,7 nm Linie. Aus<br />
9 m = −2,5log10 ( l<br />
l0 ) mit l0 = 2,52 · 10 −8 W <strong>und</strong> M = −2,5log 10 ( l<br />
l0 ) mit L0 = 78,7LSonne<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
8.3 Unser Universum 179<br />
der Helligkeit der Linie folgt dann mit Hilfe einer empirischen Beziehung die absolute<br />
Helligkeit <strong>und</strong> somit der Abstand des Planetarischen Nebels. Auf diese Weise erreicht<br />
man Entfernungen von bis zu 30 Mpc.<br />
5. Tully-Fisher-Relation: Die Tully-Fisher-Relation stellt einen Zusammenhang zwischen<br />
der Rotationsgeschwindigkeit von Spiralgalaxien <strong>und</strong> ihrer Leuchtkraft, d.h. ihrer absoluten<br />
Helligkeit her. Die Rotationsgeschwindigkeit lässt sich aus der Verschiebung der<br />
Spaktrallinien der Galaxie in ihren Spiralarmen bestimmen. Die empirisch gef<strong>und</strong>ene Beziehung<br />
besagt, dass die Leuchtkraft mit einer bestimmten Potenz β der maximlaen Rotationsgeschwindigkeit<br />
ansteigt. Mit dieser Methode lassen sich insbesondere sehr große<br />
Entfernungen bestimmen: ihre Reichweite beträgt etwa 150 Mpc.<br />
6. Supernovae Typ Ia: Supernovae vom Typ Ia entstehen, wenn ein Weißer Zwerg in einem<br />
Doppelsternsystem von seinem Partner Materie aufnimmt. Diese sammelt sich in<br />
einer Akkretionsscheibe. Nähert sich die Masse des Weißen Zwergs <strong>und</strong> der ihn umgebenden<br />
Materiewolke die Chandrasekharschen Grenze, so kommt es zum Kollaps des Sterns<br />
<strong>und</strong> einer sehr hellen Explosion, die zeitweise die ganze umgebende Galaxie überstrahlen<br />
kann. Wegen des immer etwa gleich ablaufenden Vorgangs haben diese Ereignisse immer<br />
die selbe absolute Helligkeit. Außerdem lassen sie sich von ”gewöhnlichen” Supernovae<br />
dadurch unterscheiden, dass sie eine besondere Helligkeitskurve im Verlauf der Zeit zeigen:<br />
Das Leuchtmaximum ist viel schärfer als bei Supernovae vom Typ II <strong>und</strong> liegt immer<br />
im selben Fraquenzbereich. Somit lässt sich auch die Rotverschiebung gut messen. Mit<br />
Supernovae dieses Typs lässt sich prinzipiell das gesamte sichtbare Universum vermessen,<br />
also Entfernungen von über 200 Mpc.<br />
Wir haben nun einen recht guten Rahmen, in dem wir Entfernungen im Weltraum vermessen<br />
können. Haben wir hiermit erst einmal die Rotverschiebung z mehrerer Objekte in Abhängigkeit<br />
ihrer Entfernung D bestimmt, so können wir aus den erhaltenen Daten auch über die Rotverschiebung<br />
Entfernungen bestimmen. Allerdings gilt es hier zu beachten, dass sich unsere Erde<br />
selbst bewegt, <strong>und</strong> es somit zu einem Dopplereffekt kommt: Zu einem bewegt sich unsere Erde<br />
um die Sonne, diese bewegt sich um des galaktische Zentrum, unsere Lokale Gruppe bewegt<br />
sich auf das Zentrum des Virgo-Galaxien-Haufens zu <strong>und</strong> dieser wieder scheint auf vom sogenannten<br />
Großen Attraktor, einem Superhaufen, angezogen zu werden. Diese Eigenbewegungen<br />
lassen sich jedoch recht gut an Hand des Dopplereffekts in der kosmischen Hintergr<strong>und</strong>strahlung<br />
bestimmen <strong>und</strong> somit bei Berechnungen berücksichtigen.<br />
8.3.3 Modellierung unseres Universums<br />
Wir wollen nun die Friedmann-Gleichung (8.27) noch ein wenig umschreiben <strong>und</strong> dabei den<br />
Hubble-Parameter einbauen, so wie sie meistens in der Literatur formuliert ist. Dazu setzen wir<br />
wieder die Materie- bzw. Strahlungsdichte <strong>für</strong> die Konstanten KS <strong>und</strong> KM ein, außerdem ersetzen<br />
wir die Kosmologische Konstante folgendermaßen:<br />
Λ<br />
3<br />
8πG<br />
= ρV<br />
(8.42)<br />
3c2 Dabei können wir ρV als eine Art Energiedichte des Vakuums interpretieren. Wie diese zu verstehen<br />
ist, ist allerdings noch sehr strittig. Lösen wir nun nach ˙R 2 auf, so lautet die Friedmann-<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
180 Kosmologie<br />
gleichung:<br />
˙R 2 2 8πG<br />
= R<br />
3c2 (ρS + ρM + ρV ) − k (8.43)<br />
Multiplizieren wir diese Gleichung nun mit c2<br />
R 2 , so erhalten wir den Ausdruck<br />
H 2 = 8πG<br />
3 (ρS + ρM + ρV ) − kc2<br />
R2 (8.44)<br />
In dieser Formulierung sind die Dichteparameter allerdings zeitabhängig, mit Ausnahme von<br />
ρV , den wir als konstant 10 annehmen. Um hier wieder zeitunabhägige Konstanten (<strong>und</strong> opti-<br />
malerweise dimensionslose) zu erhalten, teilen wir die Gleichung nochmal durch H2 0 . Mit Null<br />
indizierte Größen sind im Folgenden immer die Größen zum heutigen Zeitpunkt. Außerdem<br />
führen wir noch die Substitution x(t) := R(t)<br />
ein. Damit erhalten wir:<br />
R0<br />
� H<br />
H0<br />
� 2<br />
= 8πG<br />
3H2 �<br />
4 1<br />
3 1<br />
�<br />
ρSx(t) + ρMx(t) + ρV −<br />
0 x(t) 4 x(t) 3 kc2<br />
R2 0H2 1<br />
0 x(t) 2<br />
(8.45)<br />
Nun können wir die dimensionslosen Parameter ΩS, ΩM, ΩV <strong>und</strong> ΩK einführen welche jeweils<br />
den Faktor 8πG<br />
3H2 , die Dichten sowie die zugehörigen Terme <strong>für</strong> die zeitliche Konstanz enthalten.<br />
0<br />
Damit erhalten wir die Darstellung der Friedmanngleichung, die man zumeist in der Literatur<br />
findet: �<br />
H<br />
�2 (8.46)<br />
H0<br />
= ΩS ΩM<br />
+<br />
x(t) 4 x(t) 3 + ΩV + ΩK<br />
x(t) 2<br />
Sie vereinfacht sich noch einmal dadurch, dass ρS <strong>und</strong> damit auch ΩS vernachlässigbar klein<br />
gegenüber ρM <strong>und</strong> ρV bzw. ΩM <strong>und</strong> ΩV ist. Außerdem erhalten wir, wenn wir die Gleichung <strong>für</strong><br />
den heutigen Zeitpunkt t0 betrachten, die einschränkende Bedingung:<br />
1 = ΩM + ΩV + ΩK<br />
Man erhält somit, bei bestmöglicher Vereinfachung der Gleichung, folgendes Ergebnis:<br />
H 2 = H 2 �<br />
0<br />
�<br />
ΩM<br />
x(t) 3 + ΩV + 1 − ΩM − ΩV<br />
x(t) 2<br />
(8.47)<br />
(8.48)<br />
Nun können wir anfangen, in diese Gleichung experimentell bestimmte Daten einzusetzen.<br />
So erhalten wir z.B. <strong>für</strong> H0 aus verschiedenen Messungen Werte, die alle annähernd den Wert<br />
(72 ± 3) km/s<br />
Mpc haben. Einzelne Ergebnisse <strong>für</strong> unterschiedliche Messungen von H0 wären:<br />
• Messungen mit dem Hubble-Weltraum-Teleskop ergaben das neueste Ergebnis:<br />
H0 = 74,2 ± 3,6 km<br />
sMpc<br />
• Messungen der Sonde WMAP ergaben:<br />
H0 = 70,5 ± 1,3 km<br />
sMpc<br />
• Auswertungen von Bildern des Hubble-Teleskop nach der Gravitationslinsenmethode lieferten<br />
den Wert:<br />
H0 = 69,7 ± 4,9 km<br />
sMpc<br />
10 ...allerdings auch nur mangels besseren Wissens <strong>und</strong> in Folge des heuristischen Prinzips der Einfachheit<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
8.3 Unser Universum 181<br />
• Entfernungsmessungen von 600 Cepheiden <strong>und</strong> 261 Supernovae Typ Ia ergaben:<br />
H0 = 73,8 ± 2,4 km<br />
sMpc<br />
Für q0 erhalten wir aus (relativ jungen) Messungen der weiter oben angesprochenen Supernovae<br />
Typ Ia den Wert: q0 = −0.50 ± 0.03. Das heißt, dass sich die Expansion des Universums<br />
aktuell beschleunigt. Diese Erkenntnis ist relativ neu 11 . Mit ihr musste auch das bis dahin favorisierte<br />
Einstein-de Sitter-Universum verworfen werden.<br />
Außerdem lässt sich die Materiedichte des Universums über ihre Gravitationswirkung recht<br />
gut bestimmen. Aus den entsprechenden Messungen ergibt sich hier ein Wert von etwa ΩM =<br />
0.27±0.03. Für die Dichte der sichtbaren Materie, die wir aus Betrachtungen mit Teleskopen etwa<br />
bestimmen können, ergibt sich übrigens ein ungleich kleinerer Wert: ΩMS ≈ 0.005. Es bleibt<br />
daher die Frage, wie der Rest der nicht sichtbaren, also dunklen Materie, aufgebaut sein soll.<br />
Eine Möglichekeit wären massive Objekte, wie z.B. Planeten oder braune Zwerge (sog. MA-<br />
CHOs, Massive astrophysical compact halo objects). Damit wäre sie wie normale Materie aus<br />
Atomen oder zumindest Protonen <strong>und</strong> Neutronen aufgebaut. Man spricht deshalb von baryonischer<br />
Materie. Allerdings lässt sich wiederum nur ein kleiner Teil der dunklen Materie mit Hilfe<br />
von baryonischer Materie erklären: Man kann aus der Häufigkeit der beim Urknall gebildeten<br />
leichten Elemente (insbesondere mit Hilfe von Deuterium) auf die Menge an baryonischer Materie<br />
schließen <strong>und</strong> erhält somit: ΩB ≈ 0.05. Der Rest der dunklen Materie muss also exotische<br />
Materie sein. Dazu zählen z.B. Neutrinos. Wegen ihrer hochrelativistischen Geschwindigkeiten<br />
bezeichnet man sie auch als heiße dunkle Materie. Simulationen eines haupsächlich aus solch<br />
hochrelativistischen Teilchen bestehenden Universums ergeben jedoch ein völlig anderes Bild<br />
als jenes, welches wir im Weltall vorfinden. Es muss also auch kalte dunkle Materie geben:<br />
schwach wechselwirkende Teilchen (sog. WIMPs, Weakly Interacting Massive Particles) deren<br />
Natur noch unbekannt ist. Sie sind ein großes Rätsel der aktuellen Kosmologie.<br />
Letztlich lässt sich, auf indirektem Weg über Messungen der Isotropie der kosmischen Hintergr<strong>und</strong>strahlung,<br />
die Krümmung des Raumes bestimmen. Man erhält so den Wert Ωk = −0.023±<br />
0.050. Die Raumzeit ist also weitest gehend flach. Es wäre im Rahmen des Fehlers auch eine<br />
völlig flache Raumzeit denkbar. Man kann auch durch direkte Messungen die Krümmung der<br />
Raumzeit bestimmen, indem man den Umfang eines Kreises oder die Fläche einer Kugel im<br />
Raum bestimmt <strong>und</strong> diesen mit dem euklidischen Wert vergleicht. Diese Messungen sind jedoch<br />
mit sehr großen Fehlern behaftet <strong>und</strong> darum noch nicht von praktischem Nutzen.<br />
Mit den vorangegangenen Daten erhalten wir schließlich ΩV = 0.73 ± 0.03. Das heißt, dass das<br />
Universum zum größten Teil vom Vakuum <strong>und</strong> seiner Auswirkung dominiert wird. Wie genau<br />
das Verhältnis zwischen ΩM <strong>und</strong> ΩV aussieht, lässt sich mit Hilfe von Ergebnissen verschiedener<br />
Messungen von H0 <strong>und</strong> q0 eingrenzen. Dies lässt sich mit folgender Grafik 12 veranschaulichen:<br />
11 Genauer genommen aus dem Jahr 1998, in dem zwei Forschungsgruppen Ergebnisse der Messungen von Supernovae<br />
Typ Ia veröffentlicht haben. Für diese Ergebnisse wurde den US-amerikanischen Astornomen Adam Riess,<br />
Brian Schmidt <strong>und</strong> Saul Perlmutter 2010 der Nobelpreis <strong>für</strong> <strong>Physik</strong> verliehen.<br />
12 Quelle: http://www.eso.org<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
182 Kosmologie<br />
Bemerkenswert ist dabei, dass wir uns nach heutigen Erkenntnissen etwa im gelben Bereich<br />
befinden. Noch vor etwa zwanzig Jahren war man der Ansicht, dass ΩM = 1 <strong>und</strong> ΩV = 0 gelten<br />
würden, d.h. wir würden uns auf der x-Achse befinden.<br />
Zunächst jedoch eine Zusammenfassung unserer Ergebnisse: Wir befinden uns höchstwahrscheinlich<br />
im letzten der vorhin aufgezeigten kosmologischen Modelle. Unser Weltall befindet<br />
sich nun in der Phase der sich beschleunigenden Ausdehnung, ist im Übergang vom Materiezum<br />
Vakuumdominierten Universum <strong>und</strong> auf dem Weg zur ewigen Expansion. Davon abgesehen<br />
müssen wir uns mit der Erkenntnis zufrieden geben, dass wir offenbar weniger als ein Prozent<br />
der Materie um Universum tatsächlich verstehen <strong>und</strong> erklären können.<br />
Mit Hilfe der Daten können wir nun aus den Gleichungen (8.34) <strong>und</strong> (8.35) Zahlenwerte <strong>für</strong><br />
das Alter <strong>und</strong> die Ausdehnung des sichtbaren Universums angeben. Für die Näherung aus (8.34)<br />
erhalten wir die Hubble-Zeit H −1<br />
0 ≈ 14 · 109 a. Über einen genäherten Verlauf von R(t) lässt<br />
sich das Alter des Universums noch etwas genauer bestimmen: Es sind etwa 13,7 Milliarden<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
8.3 Unser Universum 183<br />
Jahre. Diese Daten decken sich auch sehr gut mit Berechnungen aus Isotopenhäufigkeiten sehr<br />
langlebiger Uranisotope. Die Ausdehnung des sichtbaren Universum wiederum beläuft sich auf<br />
etwa 45 Milliarden Lichtjahre. Dies ist daher möglich, da sich das Universum beschleunigt ausdehnt<br />
<strong>und</strong> steht, wie weiter oben bereits bemerkt, nicht im Widerspruch zur Maximalität der<br />
Lichtgeschwindigkeit.<br />
8.3.4 Die Dunkle Energie <strong>und</strong> die Kosmologische Konstante<br />
Betrachten wir den Term der kosmologischen Konstante in der Friedmanngleichung (8.27) so<br />
sieht man, dass die Ableitung des Potentialterms nach R <strong>für</strong> den Λ-Term ein anderes Vorzeichen<br />
erzeugt als <strong>für</strong> die anderen Terme, d.h. die Vakuumenergie wirkt abstoßend! Man erhält also <strong>für</strong><br />
dunkle Energie die Druck-Dichte-Abhängigkeit P ∝ −ρ. Wegen dieser ungewöhnlichen Eigenschaft<br />
spricht man auch von dunkler Energie. Sie zu ergründen <strong>und</strong> zu verstehen ist die wohl<br />
größte Aufgabe der heutigen Kosmologie.<br />
Als letztes bleibt es, auf einige Erklärungsversuche <strong>für</strong> diese Energieform zu betrachten. Ihre<br />
Natur ist noch gänzlch unverstanden. Eine Möglichkeit wäre z.B. die Erklärung über die Quantenfeldtheorien.<br />
Hierdurch erhalten wir jedoch eine Vorhersage <strong>für</strong> ρV , die wesentlich höher<br />
ist als das, was zur Erklärung der kosmischen Expansion notwendig wäre - <strong>und</strong> zwar um über<br />
120 Größenordnungen(!), wahrscheinlich die schlechteste Vorhersage, die die <strong>Physik</strong> jemals gemacht<br />
hat.<br />
Ebensowenig ist klar, ob die Kosmologische Konstante eventuell von der Zeit abhängt. Diese<br />
Idee wird von Anhängern so genannter Quintessenz-Theorien vertreten. Diese Theorien besagen,<br />
dass es neben den vier uns bekannten eine fünfte f<strong>und</strong>amentale Wechselwirkung gibt (die<br />
so genannte Quintessenz), die <strong>für</strong> die kosmische Expansion verantwortlich ist. Allerdings ergibt<br />
sich aus den Daten <strong>für</strong> q0 in Abängigkeit von der gemessenen Entfernung (<strong>und</strong> somit auch der<br />
seither verstrichenen Zeit), dass die kosmolgische Konstante in jüngerer Zeit zumindest annähernd<br />
unverändert geblieben sein muss. Wenn Λ also zeitabhängig ist, so scheint sie sich einem<br />
konstanten Wert anzunähern.<br />
Schließlich könnte es sich noch bei der beschleunigten Expansion des Weltalls um einen Gravitationseffekt<br />
handeln, den wir einfach noch nicht kennen <strong>und</strong> der eine anderweitige Korrektur<br />
der Einstein’schen Feldgleichungen nach sich ziehen würde, ein anderes Gravitationsgesetz also.<br />
In jedem Fall müssen wir einsehen, dass wir mit unseren heutigen Erkenntnissen nur einen<br />
sehr kleinen Teil des Kosmos beschreiben können. Die Forschung steht hier noch am Anfang<br />
eienr langen Entwicklung.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
9 Hamiltonsche Formulierung<br />
Sie werden sicher bemerkt haben, dass wir in den letzten beiden letzten Kapiteln kein Gebrauch<br />
von Differentialformen gemacht haben, sondern die in Kap. 6.2 hergeleiteten Feldgleichungen<br />
in konventioneller Indexnotation benutzen. Nach dem astrophysikalischen <strong>und</strong> kosmologischen<br />
Exkurs wollen wir nun zur Theorie zurückkehren <strong>und</strong> uns mit alternativen modernen Formulierungen<br />
der allgemeinen <strong>Relativitätstheorie</strong> befassen.<br />
9.1 Alternative Formulierungen der ART<br />
9.1.1 Vierbeinfelder<br />
Man stelle sich vor, dass die Raumzeit von <strong>und</strong>endlich vielen fiktiven (also masselosen nichtwechselwirkenden)<br />
Beobachtern durchsetzt sei, die sich alle im freien Fall befinden. Jeder dieser<br />
Beobachter befindet sich also lokal in einem Intertialsystem, in dem er ein lokales Koordinatensystem<br />
mit Minkowskimetrik definieren kann, das er während des freien Falls mit sich führt. Mit<br />
anderen Worten: ein Astronaut in einem antriebslosen Raumschiff kann sich in seinem Raumschiff<br />
ein lokales ct,x,y,z-Koordinatensystem mit flacher Metrik definieren <strong>und</strong> während des<br />
schwerelosen Fluges mit sich führen (siehe Abb. 9.1). Ein solches lokal flaches Koordinatensystem<br />
wird in der Mathematik als Rahmen (engl. frame) bezeichnet. Die entsprechenden Basisvektorfelder<br />
{eI} = {e0,e1,e2,e3} eI ∈ T M , I = 0,...,3 (9.1)<br />
<strong>für</strong> die Gesamtheit aller Beobachter heißen Rahmenfelder oder auch Vierbeinfelder (engl. frame<br />
fields, tetrad field, vierbein) <strong>und</strong> werden üblicherweise mit lateinischen Buchstaben indiziert,<br />
während griechische Indices des gewöhnlichen Koordinatenbasis vorbehalten bleiben.<br />
Konvention:<br />
Lateinische Indices a,b,c,d,... <strong>für</strong> die Tetradbasis.<br />
Griechische Indices µ,ν,ρ... <strong>für</strong> die Koordinatenbasis.<br />
Ein Vierbein ist also so definiert, dass es <strong>für</strong> jede Trajektorie ein lokales Koordinatensystem<br />
vorgibt, in dem der metrische Tensor wie eine Minkowskimetrik aussieht:<br />
g(ea,eb) = ηab . (9.2)<br />
Der Vektor e0 wird dabei immer so orientiert, dass er die Eigenzeit des Beobachters beschreibt.<br />
Die übrigen Vektoren bilden ein orthogonales Dreibein, das bis auf eine räumliche Rotation<br />
festgelegt ist. Das Dreibein kann auf also jeder Trajektorie unterschiedlich ausgerichtet werden,<br />
allerdings nur so, dass das gesamte Vektorfeld stetig differenzierbar bleibt.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
186 Hamiltonsche Formulierung<br />
Vierbeine in beschleunigten Bezugssystemen<br />
Das Vierbeinkonzept ist nicht auf den freien Fall beschränkt, sondern kann auch <strong>für</strong> beschleunigte<br />
Beobachter sinnvoll definiert werden. Auch wenn der Astronaut seinen Raketenantrieb<br />
einschaltet, kann er immer noch ein lokal flaches Koordinatensystem definieren, so dass der metrische<br />
Tensor in seinem Aufenthaltsort die Form einer Minkowskimetrik annimmt. Gleiches gilt<br />
<strong>für</strong> einen Erdbewohner, der rotiert <strong>und</strong> der Erdbeschleunigung unterliegt. Die Beschleunigung<br />
ist nämlich an einem gegebenen Punkt nicht durch den metrischen Tensor, sondern durch dessen<br />
Ableitungen festgelegt.<br />
Wir können uns also im folgenden vorstellen, dass die Raumzeit mit Trajektorien durchsetzt<br />
ist, die beliebig geformt sein können, sich nur nicht schneiden dürfen. Auf jeder dieser Trajektorien<br />
wird ein Vierbein transportiert, das in jedem Punkt eine lokale Minkowski-Metrik (sozusagen<br />
die Laborkoordinaten des Astronauten) definiert. Der Vektor e0 weist dabei in zeitliche<br />
Richtung, das verbleibende räumliche Dreibein ist bis auf Rotation im R 3 festgelegt. Das<br />
Dreibein kann also durchaus im Vergleich zu einem parallel transportierten Vektor entlang der<br />
Trajektorie rotieren. In diesem Fall spricht man von einem rotierenden Vierbein (engl. spinning<br />
tetrad).<br />
Mit dieser allgemeineren Interpretation ist es z.B. möglich, mit dem Vierbeinformalismus<br />
einen fiktiven Beobachter zu beschreiben, der über dem Rand eines schwarzen Lochs mit seinem<br />
Raumschiff schwebt, sofern sein Raketenantrieb stark genug ist.<br />
Darstellung von Richtungsvektoren in Vierbeinkoordinaten<br />
Das Vierbeinfeld e0,e1,e2,e3 stellt in jedem Punkt der Raumzeit eine lokale Basis zur Verfügung.<br />
Ein Richtungsvektorfeld X ∈ T M kann also über dieser Basis in Koordinaten dargestellt<br />
werden durch<br />
X = X a ea , (9.3)<br />
wobei über die Großbuchstabenindices wie üblich summiert wird. Um die Komponenten X a<br />
zu berechnen, betrachten wir die zum Vierbein dualen 1-Formen e b (engl. coframes) mit der<br />
üblichen Definitionseigenschaft<br />
e b (ea) = δ b a . (9.4)<br />
Dann ist e b (X) = X a e b (xa) = X a δ b a , also<br />
X a = e a (X). (9.5)<br />
Abbildung 9.1: Transport eines lokalen orthogonalen Koordinatensystems im freien Fall (siehe Text).<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
9.1 Alternative Formulierungen der ART 187<br />
Wie wir sehen werden, repräsentieren die 1-Formen e a das Gravitationsfeld.<br />
Wechsel zwischen Vierbein- <strong>und</strong> gewöhnlichen Koordinaten<br />
Oft werden die Vierbeinbasis (e a ,ea) <strong>und</strong> die gewöhnliche Koordinatenbasis (dx µ ,∂µ) nebeneinander<br />
benutzt. Um sie zun unterscheiden, werden die Komponenten mit großen lateinischen<br />
bzw. griechischen Buchstaben kenntlich gemacht.<br />
Zunächst lassen sich die Vierbeinvektorfelder in einer gegebenen Koordinatenbasis in Komponenten<br />
darstellen:<br />
ea = e µ a ∂µ , e b = e b µ dx µ . (9.6)<br />
Ebenso lässt sich die Koordinatenbasis über dem Vierbein darstellen. Wegen (9.4) treten hier die<br />
gleichen Koeffizienten auf<br />
∂µ = e a µea , dx µ = e µ a e a<br />
(9.7)<br />
wobei die beiden auftretenden Transformationsmatrizen zueinander invers sind:<br />
e a µe µ<br />
b = δ a b , ea µe ν a = δ ν µ . (9.8)<br />
Damit ist es leicht möglich, zwischen Koordinaten- <strong>und</strong> Vierbeindarstellung zu wechseln:<br />
Objekt Koordiantendarst. Vierbeindarst. Koordianten↔Vierbein<br />
Vektorfeld X X = X µ ∂µ X = X a ea X a = e a µX µ X µ = e µ a X a<br />
1-Form-Feld α α = αµ dx µ<br />
Vom metrischen Tensor zum Vierbein<br />
α = αae a αa = e µ a αµ αµ = e a µαi<br />
In der traditionellen Formulierung der ART wird die Wirkung nach den Komponenten des metrischen<br />
Tensors variiert, d.h. die Komponenten gµν werden als die elementaren Freiheitsgrade<br />
des Gravitationsfeldes interpretiert. Im Vierbeinformalusmus dagegen werden die 1-Formen e a<br />
als elementare Freiheitsgrade interpretiert, <strong>und</strong> in Büchern ist zu lesen, dass diese 1-Formen<br />
gewissermaßen die Wurzel des metrischen Tensors seien. Was hat es damit auf sich?<br />
Ausgangspunkt ist die Feststellung, dass G = {gµν} eine reelle symmetrische Matrix ist.<br />
Sie besitzt daher reelle Eigenwerte λ0,λ1,λ2,λ3 <strong>und</strong> paarweise orthogonale Eigenvektoren, die<br />
wir hier in Dirac-Notation |0〉,|1〉,|2〉,|3〉 schreiben wollen. Wenn man das Eigenwertproblem<br />
G|K〉 = λ|K〉 gelöst hat, kann man den metrischen Tensor in der Spektraldarstellung<br />
G =<br />
3<br />
∑<br />
K=0<br />
λK |K〉〈K| (9.9)<br />
schreiben, wobei die Eigenvektoren normiert sind. Wegen der Signatur der Metrik ist ein Eigenwert<br />
(sagen wir λ0) negativ, während die anderen drei positiv sind. Man kann nun die Eigenwerte<br />
absorbieren, indem man nicht-normierte Eigenvektoren<br />
|eK〉 = � |λK||K〉 (9.10)<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
188 Hamiltonsche Formulierung<br />
definiert, so dass<br />
G =<br />
3<br />
∑<br />
K=0<br />
sign(λK) |eK〉〈eK|. (9.11)<br />
ist. Auf diese Weise hat man die Matrix des metrischen Tensors (bis auf Vorzeichen) als Summe<br />
von Projektoren bzw. dyadischen Produkten dargestellt. Das Skalarprodukt zweier Richtungsvektoren<br />
X <strong>und</strong> Y ist dann<br />
g(X,Y) = 〈X|G|Y 〉 =<br />
3<br />
∑<br />
K=0<br />
sign(λK) 〈X|eK〉〈eK|Y 〉. (9.12)<br />
Die hier auftretenden Skalarprodukte kann man als das Ergebnis einer 1-Form e K auffassen:<br />
g(X,Y) =<br />
3<br />
∑<br />
K=0<br />
sign(λK) e K (X)e K (Y ). (9.13)<br />
Wegen sign(λ0) = −1 <strong>und</strong> sign(λ1,2,3) = +1 kann man da<strong>für</strong> auch schreiben:<br />
g(X,Y) = ηab e a (X)e b (Y ). (9.14)<br />
An dieser Rechnung erkennen wir, dass die Vierbeinvektoren bzw. die dazu dualen 1-Formen im<br />
wesentlichen die Eigenvektoren des metrischen Tensors sind.<br />
9.1.2 ART im Vierbeinformalismus<br />
Gravitationsfeld<br />
Das Gravitationsfeld ist eine vierervektorwertige 1-Form<br />
e a = e a µ dx µ<br />
(9.15)<br />
die Tangentialvektoren X ∈ T M in einem lokalen Minkowskiraum mit Komponenten X a =<br />
e a (X) darstellt. Die lateinischen Indices a,b,c,... = 0,1,2,3 bezeichnen die Komponenten des<br />
Minkowski-Vektors. Sie werden mit der Minkowski-Metrik ηab gehoben <strong>und</strong> gesenkt.<br />
Zusammenhang<br />
Der Zusammenhang ∇X angewandt auf Y ist definiert als die Änderungsrate des Vektorfeldes Y<br />
bezüglich eines parallel mitgeführten Vektors, wenn man sich in Richtung X bewegt (siehe Abschnitt<br />
4.2.4 auf S. 95). Dieser Zusammenhang wird in der lokalen Vierbeinbasis dargestellt als<br />
eine so(3,1)-Lie-Algebra-wertige 1-Form<br />
ω a b<br />
= ω a<br />
µ b dxµ<br />
(9.16)<br />
so dass gilt:<br />
e a ∇XY = [∇XY] a = ω a bXY b = ω a<br />
µ bX µ Y b . (9.17)<br />
Dieser sogenannte Spinor-Zusammenhang (engl. spin connection) übernimmt in der Vierbeindarstellung<br />
die gleiche Aufgabe wie die Christoffelsymbole in der Koordinatendarstellung. Der<br />
Spinor-Zusammenhang ist antisymmetrisch in den Lorentz-Indices, sofern sie sich beide oben<br />
oder unten befinden:<br />
ω ab = −ω ba . (9.18)<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
9.1 Alternative Formulierungen der ART 189<br />
Kovariante Ableitung<br />
Mit dem Spinor-Zusammenhang definiert man eine kovariante Ableitung D bzw. eine kovariante<br />
partielle Ableitung Dµ, die auf Tensoren mit Lorentz-Indices wirkt. Ist X z.B. ein Vektorfeld mit<br />
Lorentz-Darstellung X a , dann ist<br />
DµX a = ∂µX a + ω a<br />
µ b X b . (9.19)<br />
Analog ist die kovariante partielle Ableitung eines Tensors 2. Stufe gegeben durch<br />
DµT ab = ∂µX a + ω a<br />
µ cω b<br />
µ d T cd . (9.20)<br />
Ebenso definiert man eine kovariante Ableitung auf Formen mit Lorentz-Indices. Ist z.B. α a eine<br />
vierervektorwertige 1-Form, dann ist<br />
bzw.<br />
Torsionsfreiheit<br />
Dα a := dα a + ω a b ∧ αb . (9.21)<br />
Dµα a := dα a (∂µ) + ω a<br />
µ b ∧ αb . (9.22)<br />
Der Torsionstensor ist eine vektorwertige 2-Form T mit T(X,Y) = ∇XY − ∇Y − [X,Y]. Stellt<br />
man den Ergebnisvektor in der Vierbeinbasis dar, kann man ihn als 4-komponentige 2-Form T a<br />
auffassen. Man kann zeigen, dass<br />
T a = De a<br />
(9.23)<br />
ist. Der Torsionstensor gibt Auskunft darüber, ob ein Tangentialvektor bei Paralleltransport im<br />
Tangentialraum rotiert oder nicht. Die Raumzeit der ART ist ein torsionsfreier Raum, d.h.<br />
T = 0.<br />
Man kann zeigen, dass <strong>für</strong> ein vorgegebenes Vierbeinfeld genau ein torsionsfreier Spinor-Zusammenhang<br />
existiert, der in diesem Formalismus das Gegenstück zum Levi-Civitá- Zusammenhang bildet<br />
(siehe Abschnitt 4.2.6 auf S. 97). Er ist explizit gegeben durch die recht komplizierte Formel<br />
ω ab<br />
µ = 2e ν[a ∂ [µe b]<br />
ν] + eµce νa e σb ∂ [σe c ν] , (9.24)<br />
wobei die eckigen Klammern <strong>für</strong> zyklisches Permutieren stehen. Der Zusammenhang ist also im<br />
allgemeinen die vierte Potenz des Gravitationsfeldes.<br />
Bemerkung:<br />
Der torsionsfreie Spinor-Zusammenhang lässt sich aus den Christoffelsymbolen berechnen durch<br />
ω a<br />
µ b = eν �<br />
j ∂µe a ν − Γ ρ µνe a �<br />
ρ .<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
190 Hamiltonsche Formulierung<br />
Krümmung<br />
Die Krümmung ist eine Lorentz-Algebra-wertige 2-Form<br />
definiert durch<br />
R a b = Ra bµν dxµ ∧ dx ν<br />
(9.25)<br />
R a b = dωab + ωac ∧ ω c b . (9.26)<br />
Diese Abbildung bildet zwei Richtungsvektoren (via µ,ν) auf eine 4 × 4-Matrix ab. Diese Matrix<br />
beschreibt, mit welcher Rate sich ein Tangentialvektor dargestellt in der Vierbeinbasis ändert,<br />
wenn er auf einem geschlossenen Weg aufgespannt durch die beiden Richtungsvektoren<br />
transportiert wird.<br />
Bemerkung:<br />
Als Übung zeige man, dass D 2 u a = R a b ∧ ub ist <strong>und</strong> dass aus der Torsionsfreiheit R a b ∧ eb = 0 folgt.<br />
Wirkung <strong>und</strong> Feldgleichungen im Vakuum<br />
Für verschwindende kosmologische Konstante lautet die Wirkung im Vierbeinformalismus<br />
S[e,ω] = 1<br />
�<br />
16πG<br />
εabcde a ∧ e b ∧ R cd<br />
wobei R implizit vom Spinor-Zusammenhang ω abhängt. Die 4 Feldgleichungen lauten dann<br />
(9.27)<br />
εabcd e a ∧ R bc = 0 (9.28)<br />
Die Feldgleichungen lassen sich in eine traditionellere Form bringen durch Definition des Ricci-<br />
Tensors<br />
R a µ = R ab µνe ν b<br />
(9.29)<br />
<strong>und</strong> des Ricci-Skalars<br />
Damit erhält man<br />
R = R a µe µ a . (9.30)<br />
R a µ − 1<br />
2 Rea µ = 0. (9.31)<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
Anhang: Symbole<br />
◦ Hintereinanderausführung<br />
∼= isomorph zu<br />
ιXω Kontraktion von X mit ω in der äußeren Algebra<br />
⊳ Normalteiler von<br />
⊕ direkte Summe<br />
⊗ Tensorprodukt (äußeres Produkt)<br />
⋆ Hodge-Stern-Operator<br />
∗ zum Dualraum gehörig<br />
♭ Isomorphismus V → V ∗ , Index senken<br />
♯ Isomorphismus V ∗ → V , Index heben<br />
× kartesisches Produkt<br />
∧ Keilprodukt (antisymmetrisches Tensorprodukt)<br />
A Vektorpotential des elektromagnetischen Feldes<br />
ART Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
C Kontraktion eines Tensors<br />
d Äußere Ableitung einer Differentialform<br />
D Kovariante äußere Ableitung einer Differentialform<br />
F Feldstärketensor des elektromagnetischen Feldes<br />
g metrischer Tensor<br />
g∗ metrischer Tensor im Dualraum<br />
g Determinante des metrischen Tensors<br />
G Newtonsche Gravitationskonstante<br />
J Stromdichte des elektromagnetischen Feldes<br />
O(n) Orthogonale Gruppe in n Dimensionen<br />
Pn<br />
Gruppe der Permutationen von n Objekten<br />
SO(n) Spezielle orthogonale Gruppe in n Dimensionen<br />
SRT Spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
s Vorzeichen der Determinante des metrischen Tensors<br />
ω Volumenform ⋆(1)<br />
Z2 Gruppe der Spiegelungen<br />
Zyklische Gruppe von n Objekten<br />
Zn<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
Literaturverzeichnis<br />
[1] P. M. Schwarz and J. H. Schwarz, Special Relativity, Cambridge University Press, Cambridge,<br />
UK (2005) [TB <strong>Physik</strong> 750/UH 8200 S411]<br />
[2] H. Goenner, Spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong>, Spektrum, Elsevier, München (2004) [TB <strong>Physik</strong><br />
750/UH 8200 G595]<br />
[3] S. M. Carroll, Spacetime and geometry. An introduction to general relativity, Sean Carroll.<br />
San Francisco, CA, USA: Addison Wesley (2004)<br />
[4] T. Frankel, The geometry of physics : an introduction, Cambridge University Press, Cambridge,<br />
UK (2004).<br />
[5] Ø. Grøn and S. Hervik, Einstein’s General Theory of Relativity, Springer, New York<br />
(2007).<br />
[6] J. B. Hartle, Gravity : an introduction to Einstein’s general relativity, Addison Wesley, San<br />
Francisco, CA, USA (2003).<br />
[7] C. W. Misner, K. S. Thorne, and J. A. Wheeler, Gravitation, Freemann, San Francisco<br />
(1973-2005) [UB UH 8500 M678]<br />
[8] M. Nakahara, Geometry, topology and physics, Taylor & Francis, Boca Raton, USA (2003)<br />
[9] T. Padmanabhan, Gravitation: Fo<strong>und</strong>ations and Frontiers, Cambridge University Press,<br />
Cambridge, UK (2010) [UB UH 8500 P123]<br />
[10] B. Schutz, Geometrical Methods of Mathematical Physics, Cambridge University Press,<br />
Cambridge, UK (1980)<br />
[11] R. U. Sexl and H. K. Urbantke, Gravitation <strong>und</strong> Kosmologie, Spektrum Akad. Verlag,<br />
Heidelberg (2002) [20/UH 8500 S518(5)]<br />
[12] N. Straumann, General Relativity: With Applications to Astrophysics, Springer, New York<br />
(2004).<br />
[13] R. d’Iverno, Einführung in die <strong>Relativitätstheorie</strong>, WILEY-VCH Verlag, Weinheim, 2.Auflage<br />
(2009).<br />
[14] C. Rovelli, Quantum Gravity, Cambridge University Press, Cambridge, UK (2004).<br />
[15] V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer, New York (1989).<br />
[16] H. Flanders, Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, Academic<br />
Press, New York (1963).<br />
[17] G. Lugo, Differential Geometry and Physics, Lecture Notes 2004,<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
194 Index<br />
[http://people.uncw.edu/lugo/COURSES/DiffGeom/dg1.htm].<br />
[18] B.-Y. Hou, Differential geometry for physicists, World Scientific, Singapore 1997.<br />
[19] W. Kühnel, Differentialgeometrie, 5.Auflage, Vieweg <strong>und</strong> Teubner Verlag, Wiesbaden<br />
2008.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
Index<br />
β-Zerfall<br />
inverser, 153<br />
p-Formen, 33<br />
Ätherhypothese, 73<br />
Überdeckung<br />
offene, 86<br />
äußere Ableitung, 55, 57<br />
äußere Algebra, 33<br />
äußere Potenz, 33<br />
1-Form, 16<br />
Abbildung<br />
antilineare, 9<br />
konjugiert-lineare, 9<br />
lineare, 9<br />
lineare faktorisierbare, 14<br />
mulilineare, 19<br />
semilineare, 9<br />
Ableitung<br />
äußere, 57, 103<br />
kovariante, 95, 114, 189<br />
kovariante partielle, 189<br />
koviariante, 97<br />
Assoziativgesetz, 3<br />
Atlas, 86<br />
Aufspann, 13<br />
Automorphismus, 5<br />
Bündelprojektion, 90<br />
Bais<br />
orthonormale, 25<br />
Basis<br />
duale, 18<br />
eines Vektorraums, 8<br />
orthogonale, 25<br />
Basisraum, 90<br />
Basistransformationen, 11<br />
Bewegungsgleichungen<br />
Hamiltonsche, 66<br />
Birkhoff-Theorem, 145<br />
Brennzyklen, 149<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
Chandrasekhar-Masse, 152<br />
Christoffelsymbole, 97<br />
Dachprodukt, 31<br />
Darstellung, 8<br />
Diffeomorphismus<br />
passiver, 128<br />
Differential, 56<br />
verallgemeinertes, 56<br />
Differentiale, 49, 89<br />
infinitesimale, 48<br />
Differentialformen<br />
entartete, 55<br />
Dimensionssatz, 10<br />
direkte Summe, 12<br />
Druck, 136<br />
Dualraum, 16<br />
d’Alembert-Operator, 139<br />
Eichfeld, 112<br />
Eichfreiheit, 111<br />
Eichinvarianz, 71, 81<br />
Eichtheorie, 109<br />
Eichtransformation, 112<br />
Eigenzeit, 66, 70<br />
Einbettung, 85<br />
Einstein-Tensor, 132<br />
Endomorphismus, 5<br />
Energie-Impuls-Tensor, 132, 134<br />
exakt, 58<br />
Faktorgruppe, 4<br />
Faser, 90<br />
Faserbündel, 90<br />
Schnitt, 90<br />
Feldgleichungen im Vakuum, 132<br />
Fermidruck, 151<br />
Flächenstromdichte, 134
196 Index<br />
Fluid<br />
perfektes, 136, 165<br />
Fluide, 136<br />
Form<br />
symplektische, 67<br />
vektorielle, 62<br />
Freiheitsgrade<br />
intrinsische, 109<br />
Funktion<br />
differenzierbare, 88<br />
erzeugende, 69<br />
Funktionen<br />
auf Mannigfaltigkeiten, 88<br />
Gaußsche Normalkoordinaten, 157<br />
Geodäte, 92, 98<br />
geodätische Linie, 92<br />
Gleichung<br />
geodätische, 98<br />
Graßmann-Algebra, 33<br />
Gravitationsfeld<br />
schwaches, 138<br />
Gravitationsrotverschiebung, 146<br />
Gruppe, 3<br />
Abelsche, 3<br />
diskrete, 3<br />
kommutative, 3<br />
kontinuierliche, 3<br />
Gruppenhomomorphismus, 5<br />
Hamilton-Jacobi-Gleichung, 69<br />
Hamiltonsche Bewegungsgleichungen, 67<br />
Hamiltonsche Zwangsbedingung, 71<br />
Hauptreihe, 147<br />
Heliumstoffbrennen, 149<br />
Hertzsprung-Russell-Diagramm, 147<br />
Hodge-Dualität, 39, 41<br />
Hodge-Stern-Operator, 43<br />
Homöomorphismus, 85<br />
Homomorphismus, 5<br />
Impulsschale, 83<br />
Indices<br />
heben, 28<br />
senken, 27<br />
Inertialsystem, 77, 124<br />
Inflationstheorie, 166<br />
Intertialsystem, 126<br />
inverses Element, 3<br />
Isomorphismus, 5<br />
kanonischer, 27<br />
musikalischer, 27<br />
Jacobi-Indentität, 59<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
Körper, 6<br />
Karte, 86<br />
Keilprodukt, 31<br />
Kerr-Metrik, 162<br />
Kodifferentialoperator, 60<br />
Kohlenstoffbrennen, 149<br />
Konjugation, 4<br />
Konstante<br />
kosmologische, 131<br />
Kontraktion, 18, 22<br />
Koordiantensystem, 50<br />
Koordinaten, 50, 91<br />
kanonische, 68<br />
Koordinatenbasis, 51, 91<br />
Koordinatensystem<br />
lokales, 86<br />
Koordinatentransformation, 87<br />
Kosmologische Prinzip, 165<br />
Koszul-Zusammenhang, 96<br />
Kotangentialbündel, 89, 90<br />
Kotangentialraum, 49, 89<br />
Kovektorraum, 16<br />
Krümmung<br />
intrinsische, 85<br />
Krümmungsskalar, 106<br />
Krümmungstensor, 105<br />
Kreisgruppe, 109<br />
Kreuzproukt, 39<br />
Kurven<br />
parametrisierte, 47<br />
Längenkontraktion, 76<br />
Ladungsstromdichte, 118<br />
Lagrangeformalismus, 66<br />
Leibniz-Regel, 48<br />
Lemma von Poincaré, 58<br />
Levi-Civitá-Symbole, 36<br />
Levi-Civitá-Zusammenhang, 97<br />
Lie-Algebra<br />
reduzible, 79<br />
Lie-Gruppe, 3<br />
Lie-Klammer, 59, 91, 105<br />
Linearform, 16
Index 197<br />
Linie<br />
Geodätische, 98<br />
geodätische, 96<br />
Lorentz-Algebra, 79<br />
Lorentz-Boosts, 77<br />
Lorentz-Gruppe, 77<br />
orthochrone, 78<br />
Lorentz-Transformation<br />
spezielle, 78<br />
Lorentztransformationen<br />
spezielle, 76<br />
Lorenz-Eichung, 140<br />
Luminosität, 147<br />
Mannigfaltigkeit<br />
abstrakte, 85<br />
analytische, 87<br />
differenzierbare, 87<br />
glatte, 87<br />
Mannigfaltikeit, 46, 85<br />
Masse, 83<br />
Maxwellgleichungen<br />
homogene, 116<br />
Menge<br />
offene, 86<br />
Metrik<br />
euklidische, 24<br />
Friedmann-Robertson-Walker,FRW-Metrik,<br />
166<br />
Lorentzsche, 26<br />
Riemannsche, 26<br />
Minkowskiraum, 77<br />
Multiplikatoren<br />
Lagrangesche, 81<br />
Multivektor, 32<br />
Nebenklasse, 4<br />
neutrales Element, 3<br />
no hair theorem, 163<br />
Normalteiler, 4<br />
Nullvektor, 55<br />
Nullvektorfeld, 55, 70<br />
Oppenheimer-Volkoff-Gleichung, 154, 155<br />
Oppenheimer-Volkoff-Grenzmasse, 153<br />
Orbit, 71<br />
Phasenraum, 67<br />
Planck-Masse, 152<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
Poincaré-Gruppe, 78<br />
Poissonklammer, 68<br />
Polarkoordinaten, 50<br />
Potentialform , 58<br />
Prinzip<br />
heuristisches, 117<br />
Prinzip der kleinsten Wirkung, 66<br />
Produkt<br />
äußeres, 13, 31<br />
inneres, 24<br />
Produktvektoren, 13<br />
Protostern, 149<br />
Pseudometrik, 25<br />
Quabla, 139<br />
Quantenschleifengravitation, 111<br />
Quotientengruppe, 4<br />
Rahmen, 185<br />
Rahmenfelder, 185<br />
Rang<br />
einer linearen Abbildung, 10<br />
Rapidität, 76<br />
Raum<br />
pseudoeuklidischer, 166<br />
Raumzeit<br />
flache, 77<br />
Ricci-Tensor, 106<br />
Richtungsableitung, 46, 59, 89, 94<br />
rote Riesen, 149<br />
Rotverschiebung, 146<br />
Sagittarius A*, 163<br />
schließend, 58<br />
Schnitt, 91<br />
glatter, 90<br />
Schwarzes Loch<br />
primordiales, 163<br />
schwarzes Loch<br />
mittelschweres, 163<br />
stellares, 162<br />
supermassives, 163<br />
Schwarzschildlösungen, 143<br />
Schwarzschildmetrik<br />
äußere, 143<br />
innere, 154<br />
Schwarzschildradius, 145<br />
Selbstdualität, 45<br />
Signatur einer Metrik, 25
198 Index<br />
Skalarprodukt, 24<br />
Skalenparameter, 166<br />
Spaltenvektor, 8<br />
Spektraldarstellung, 187<br />
Spinor-Zusammenhang, 188<br />
Strukturkoeffizienten, 92, 105<br />
Summenkonvention, 18<br />
Symmetriegruppe, 3<br />
Tangentialbündel, 89, 90<br />
Tangentialraum, 48, 88, 89<br />
Tensor, 19<br />
metrischer, 24<br />
Rang, 19<br />
Stufe, 19<br />
Tensoralgebra, 24<br />
Tensoren<br />
faktorisierbare, 32<br />
gemischte, 19<br />
kontravariante, 19<br />
kovariante, 19<br />
separable, 32<br />
Tensorkomponenten, 14<br />
Tensorprodukt, 13<br />
Theorem<br />
Stokesches, 62<br />
Torsionstensor, 189<br />
Totalraum, 90<br />
Transformation, 11<br />
aktive, 11<br />
kanonische, 68<br />
lineare, 11<br />
passive, 11<br />
Untergruppe, 3<br />
Vektorbündel, 90<br />
Vektoren, 7<br />
Vektorfeld, 48, 90<br />
Vektorraum, 7<br />
dualer, 16<br />
Vektorraumbündel, 90<br />
Vektorraumhomomorphismen, 9<br />
Verjüngung, 18, 22<br />
Verlaufsfunktion, 81<br />
Vierbeinfelder, 185<br />
Viererimpuls, 82<br />
Viererimpulsdichte, 134<br />
Viererortsvektor, 82<br />
Vierervektoren, 77<br />
Voids, 165<br />
Volumenform, 37<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
Wasserstoffbrennen, 149<br />
Weißer Zwerg, 150<br />
Weltlinie, 70, 135<br />
Wirkung, 71<br />
Wirkung des elektromagnetischen Feldes, 117<br />
Zeitdilatation, 76<br />
Zusammenhang, 95<br />
metrischer, 103<br />
Zusammenhangskoeffizienten, 96<br />
Zustandsgleichung, 137, 154, 155