Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 92Seien X, Y IK –Vektorräume und sei L : X −→ Y eine IK –lineare Abbildung. SeienΦ X , Φ Y Basen in X bzw. Y . Dann haben wir eine Matrixdarstellung von L bzgl. dieserBasen. Wie “transformiert“ sich nun diese Matrix, wenn wir einen Basiswechsel vonΦ X , Φ Y zu Basen Φ ′ X , Φ′ Y vornehmen? Eine Vorüberlegung, die wesentlich zur Definition4.25 geführt hat, ist:Folgerung 4.28Sei X ein endlichdimensionaler IK –Vektorraum und seien Φ X , Φ ′ X Basen in X. IstA die Matrixdarstellung der Identität, wenn wir im Definitionsbereich X die BasisΦ X undimWertebereichX die Basis Φ ′ X wählen, dann ist A invertierbar und A −1ist die Matrixdarstellung der Identität, wenn wir im Definitionsbereich X die BasisΦ ′ X und im Wertebereich X die Basis Φ X wählen.Beweis:Sei B die Matrixdarstellung der Identität, wenn wir im Definitionsbereich X die Basis Φ ′ Xund im Wertebereich X die Basis Φ X wählen. Da A die Matrixdarstellung der Identitätist, wenn wir im Definitionsbereich X die Basis Φ X und im Wertebereich X die Basis Φ ′ Xwählen, folgt aus Satz 4.24 E = AB = BA.Definition 4.29Sei X ein endlichdimensionaler IK –Vektorraum und seien Φ X , Φ ′ X Basen in X. DieMatrixdarstellung der Identität bzgl. der Basis Φ X im Definitionsbereich und Φ ′ X imWertebereich heißt Übergangsmatrix von Φ X nach Φ ′ X.2Beispiel 4.30Sei X := IR 2 ,L:= id X . Wähle als Basis in X {(1, 0), (0, 1)} bzw. {(2, 0), (1, 1)}. WegenL((1, 0)) = 1/2 · (1, 0) ,L((0, 1)) = 1/2 · (2, 0) + 1 · (1, 1) ,folgtA =(1/2 −1/20 1).2Satz 4.31Seien X, Y endlichdimensionale IK –Vektorräume und sei L : X −→ Y eine IK –lineare Abbildung. Seien Φ X , Φ ′ X Basen in X und seien Φ Y , Φ ′ Y Basen in Y . Ist dannA die Matrixdarstellung von L bzgl. der Basen Φ X , Φ Y in X bzw. Y , dann gibt esinvertierbare Matrizen T,S, sodaßA ′ := TAS −1 (4.6)die Matrixdarstellung von L bzgl. der Basen Φ ′ X, Φ ′ YBeweis:in X bzw. Y ist.