Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 91Dies sind aber gerade die Spaltenvektoren des Matrixprodukts A S A R .Gehen wir von einem Isomorphismus L : X −→ Y mit der zugehörigen Matrix A L (beigewählter Basis in X und Y )aus,sohabenwirDies bedeutet dann nach Satz 4.24Dies nehmen wir zum Anlaß fürid X = L −1 ◦ L, id Y = L ◦ L −1 .E = A L −1 A L ,E= A L A L −1 .Definition 4.25Sei IK Körper und sei A ∈ IK n,n .Aheißt regulär oder invertierbar, falls esB ∈ IK n,n gibt mitE = AB = BA,anderenfalls heißt A singulär oder nicht invertierbar.Für die Matrix B – sie ist eindeutig bestimmt – schreiben wir A −1 und nennen dieseMatrix die Inverse von A.2Die Eindeutigkeit von A −1 folgt wie die Eindeutigkeit des inversen Elements bei Gruppen.Allerdings sollte man zur Kenntnis nehmen, daß wir dabei die Kommutativität derMultiplikation nicht nützen können (siehe Beispiel 2.5). Wir wiederholen den Schluß:AusE = AB = BA,E= AB ′ = B ′ A,folgtB = BE= BAB ′ = EB ′ = B ′ .Bemerkung 4.26Wir haben in Kapitel 2 die Matrizen von oberer Dreiecksgestalt kennengelernt und dortdafür Regularität einer solchen Matrix definiert. Mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens– die Gleichung AB = E ist zu lösen – sieht man, daß die dortige Definitionmit der nun gegebenen Definition übereinstimmt. 2Folgerung 4.27Seien A, B ∈ IK n,n regulär. Dann gilt:Beweis:Folgt wie bei den Gruppen.(A −1 ) −1 = A, (AB) −1 = B −1 A −1