Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 86ein Isomorphismus und aus Folgerung 4.10 und Satz 4.6 folgt die Behauptung.Überraschenderweise hängt also die Summe def (L) +rg(L) von der linearen AbbildungL gar nicht ab. Man gerät in Versuchung, im Fall X = Y zu beweisen, daß Kern(L) ⊕Bild(L) =X gilt. Wie das nachfolgende Beispiel zeigt, ist dies im allgemeinen falsch.Beispiel 4.18Setze IK n [x] :={p ∈ IK [x]| deg p ≤ n} ,n∈ IN 0 .Betrachte nun die “zweite Ableitung“ als Abbildung auf IK 3 [x], d.h.L : IK 3 [x] ∋ p ↦−→ D ◦ D ∈ IK 3 [x];hierbei ist D die Ableitung (siehe Beispiel 4.3).Es ist einfach zu sehen, daß Kern(L) =Bild(L) =IK 1 [x] ist. 2Folgerung 4.19Seien X, Y endlichdimensionale IK –Vektorräume mit dim IK X = dim IK Y