Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 85Für einen Endomorphismus L : X −→ X definieren wir induktiv:L 0 := id X ,L n+1 := L ◦ L n ,n∈ IN 0 .Satz 4.16Seien X, Y IK –Vektorräume und sei L ∈ Hom IK (X, Y ). Dann gilt:(a) π L : X ∋ x ↦−→ [x] ∈ X /Kern(L) ist ein Epimorphismus.(b) f L : X /Kern(L) ∋ [x] ↦−→ L(x) ∈ Y ein Monomorphismus.(c) f L ◦ π L = L.Beweis:Zu (a). Linearität und Surjektivität sind offensichtlich.Zu (b). Die Wohldefiniertheit folgt aus[x]=[x ′ ] ⇐⇒ L(x − x ′ )=θ.Die Linearität ist klar, die Injektivität folgt ausZu (c).Ergibt sich aus der Definition von f L ,π L .[x] =θ ⇐⇒ L(x) =θ.Der obige Satz, genauer (b) in obigem Satz, heißt Homomorphiesatz. Er ist verbundenmit dem folgenden Diagramm:XL−→Yπ L⏐ ⏐⏐↓/f LX /Kern(L)Ein wichtiges Ergebnis ist nun die folgende Dimensionsformel für lineare Abbildungen.Satz 4.17Seien X, Y IK –Vektorräume und sei L ∈ Hom IK (X, Y ). Dann giltdim IK X = def (L)+rg(L) . (4.2)Beweis:Sei U := Kern(L) ,V := Bild(L) . Nach Satz 4.16 istg L : X /U ∋ [x] ↦−→ L(x) ∈ V