Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 2(V ) =⇒ ... =⇒ (B)Das indirekte Beweisverfahren stellt sich dann so dar:¬(B) =⇒ ... =⇒ ¬(V )Es basiert auf der Beobachtung(P =⇒ Q) ⇐⇒ (¬Q =⇒ ¬P ),wenn P,Q Aussagen sind.1.2 MengenDen Begriff der Menge wollen und können und sollten wir hier ebenso wie die obigenJunktoren nicht im Sinne der mathematischen Grundlagen einführen. Er dient uns nurals Hilfsmittel für eine möglichst kurze Notation von konkreten Mengen. Von G. Cantor(1845 – 1912), dem Begründer der Mengenlehre, haben wir folgende Definition:Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekteunserer Anschauung oder unseres Denkens – welche Elemente der Mengegenannt werden – zu einem Ganzen.Eine Menge besteht also aus Elementen, kennt man alle Elemente der Menge, so kenntman die Menge. Beispiele:IN := Menge der natürlichen ZahlenZZ := Menge der ganzen Zahlen′Q := Menge der rationalen ZahlenIR := Menge der reellen ZahlenDie oben eingeführten Zahlen IN , ZZ , ′Q, IR tragen zusätzliche Strukturen: In IN könnenwir ohne Einschränkung addieren und multiplizieren, in ZZ können wir ohne Einschränkungenaddieren, subtrahieren und multiplizieren, in ′Q, IR können wir addieren, subtrahieren,multiplizieren und mit Zahlen ≠ 0 dividieren. Wir werden insbesondere diese zusätzlicheStruktur von ′Q, IR noch zum Anlaß für umfangreiche Betrachtungen nehmen.Man kann eine Menge dadurch bezeichnen, daß man ihre Elemente zwischen zwei geschweifteKlammern (Mengenklammern) schreibt. Die Zuordnung eines Elements zu einerMenge erfolgt mit dem Zeichen “ ∈“.Es hat sich als zweckmäßig erwiesen, den Mengenbegriff so aufzufassen, daß eine Mengeaus gar keinem Element bestehen kann. Dies ist dann die leere Menge, das Zeichen dafürist∅ = leere Menge .