Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 82untersucht werden. Man könnte nun sich fragen, warum wir nicht von Anfang an nur denkonkreten Raum IK n betrachtet haben, in dem eine Basis direkt hinschreibbar ist. Dazuist einzuwenden, daß in Anwendungen Vektoräume in allgemeinen nicht als IK n direkt erkennbarsind. Der Vorteil unseres Vorgehens besteht also gerade darin, daß wir für unsereUntersuchungen nicht immer gleich eine Basis zur Hand haben müssen. 2Sei X ein IK –Vektorraum und sei U ein linearer Teilraum. Wir definieren eine Äquivalenzrelationdurchx ∼ y : ⇐⇒ x − y ∈ U.(Daß in der Tat eine Äquivalenzrelation vorliegt, ist einfach zu verifizieren.) Damit definierenwir wie üblichX /U := X /∼ := {[x]|x ∈ X} .Wir haben in X /U wieder eine skalare Multiplikation und eine Addition, nämlichIK ×X /U ∋ (a, [x]) ↦−→ [ax] ∈ X /U ,X /U × X /U ∋ ([x], [y]) ↦−→ [x + y] ∈ X /U .Diese Definition haben wir noch daraufhin zu überprüfen, ob Wohldefiniertheit vorliegt,d.h. etwa im Fall der skalaren Multiplikation:Ist [ax]=[ay], falls [x] =[y]?Sei also [x] =[y] . Dann ist x − y ∈ U und daher auch ax − ay = a(x − y) ∈ U. Also gilt[ax]=[ay].Damit ist nun klar, daß X /U ein IK –Vektorraum ist.Definition 4.8Sei X ein IK –Vektorraum und sei U ein linearer Teilraum. Der IK –VektorraumX /U heißt der Faktorraum von X (faktorisiert) nach U.2Folgerung 4.9Sei X ein IK –Vektorraum, sei U ein linearer Teilraum und sei W ein Komplementvon U. Dann gibt es einen Isomorphismus L : X /U −→ W.Beweis:Da W ein Komplement von U ist, gilt X = U ⊕W .Also besitzt jedes x ∈ X eine eindeutigbestimmte Darstellung x = x U + x W . Wir wollen L so erklären:Die Wohldefiniertheit folgt ausL : X /U ∋ [x = x U + x W ] ↦−→ x W ∈ W.[x U + x W ]=[y U + y W ] ⇐⇒ x W = y W