Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 80Basis eindeutig bestimmt ist. Diese Abbildung ist linear und bijektiv. Die Umkehrabbildungist offenbar gegeben durchund ist offenbar selbst wieder linear.n∑IK n ∋ (a 1 ,...,a n ) ↦−→ x = a i x i ∈ Xi=1Beispiel 4.3Sei IK ein Körper. Die “Ableitung“D : IK [x] ∋ p ↦−→ Dp ∈ IK [x] ,n∑Dp := ia i x i−1 fallsn∑p = a i x i ,i=1i=0ist offenbar IK –linear. Sie übernimmt im Raum der Polynomfunktionen P IR die Rolle derAbleitung. 2Folgerung 4.4Seien X, Y IK –Vektorräume und sei L : X −→ Y linear. Es gilt dann:(i) L(θ) =θ ; L(−x) =−L(x) für alle x ∈ X.(ii) Das Bild L(X) ist ein linearer Teilraum von Y.(iii) Das Urbild L −1 ({θ}) ist ein linearer Teilraum von X.(iv) L ist injektiv genau dann, wenn L −1 ({θ}) ={θ} gilt.Beweis:(i) folgt aus L(θ) =L(θ +θ) =L(θ)+L(θ) und θ = L(θ) =L(x+(−x)) = L(x)+L(−x) .Die Aussagen (ii), (iii) sind nahezu trivial. Wir beweisen exemplarisch (iii) .Seien u, v ∈ L −1 (θ), d.h. L(u) =L(v) =θ, und seien a, b ∈ IK . Aus L(au + bv) =aL(u)+bL(v) =aθ + bθ = θ folgt au + bv ∈ L −1 (θ) . Damit ist die Aussage auch schonbewiesen.Die Aussage über die Injektivität folgt aus der Tatsache, daß dank der Linearität L(x) =L(x ′ ) genau dann gilt, wenn L(x − x ′ )=θ erfüllt ist.Definition 4.5Seien X, Y IK –Vektorräume und sei L : X −→ Y.Lheißt Isomorphismusgenau dann , wenn L linear und bijektiv ist.2Ist L : X −→ Y ein Isomorphismus, so nennen wir die Räume X, Y isomorph (bzgl.L); wir drücken dies auch durch ∼ = aus.