Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 76Definition 3.64Sei V ein IK –Vektorraum und seien V ′ ,U,W lineare Teilräume von V .V ′ heißt direkte Summe der linearen Teilräume U, W , fallsV ′ = U + W,U∩ W = {θ}gilt. Wir schreiben dann V ′ = U ⊕ W und nennen U ein Komplement von W undW ein Komplement von U (bezüglich V ′ ).2Hilfreich ist folgende Charakterisierung.Lemma 3.65Sei V ein endlichdimensionaler IK –Vektorraum und seien V ′ ,U,W lineareTeilräume von V . Es sind äquivalent:(a) V ′ = U ⊕ W.(b) Zu jedem v ∈ V ′ gibt es eindeutig bestimmte Elemente u ∈ U, w ∈ W , sodaßv = u + w.Beweis:Zu (a) =⇒ (b) :Es ist nur die Eindeutigkeit zu zeigen. Sei alsov = u + w = u ′ + w ′ mit u, u ′ ∈ U, w, w ′ ∈ W.Dann ist u − u ′ = w ′ − w ∈ U ∩ W = {θ} und daher u = u ′ ,w = w ′ .Zu (b) =⇒ (a) :Es ist nur U ∩ W = {θ} zu zeigen.Sei v ∈ U ∩ W.Dann ist θ = θ + θ = v +(−v) . Daraus folgt mit der dank (b) gegebenenEindeutigkeit der Darstellung von θ ∈ V ′ schließlich v = θ.Lemma 3.66Sei V ein endlichdimensionaler IK –Vektorraum und seien U, W lineare Teilräumevon V . Es sind äquivalent:(a) V = U ⊕ W.(b) V = U + W und dim IK V =dim IK U +dim IK W.(c) U ∩ W = {θ} und dim IK V =dim IK U +dim IK W.Beweis:Zu (a) =⇒ (b) :Dimensionsformel aus Satz 3.63.Zu (b) =⇒ (c) :Aus der Dimensionsformel folgt dim IK U ∩ V =0, also U ∩ W = {θ} .Zu (c) =⇒ (a) :