Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 75eine Basis von U + W ist.Wir zeigen U + W ⊂L(B), woraus U + W = L(B) folgt.Sei v ∈ U + W. Dann gibt es u ∈ U, w ∈ W mit v = u + w. Nach Konstruktion gibt essodaßa 1 ,...,a r ,b 1 ,...,b m ,c 1 ,...,c r ,d 1 ,...,d n ∈ IK ,r∑ m∑r∑ n∑u = a i v i + b i u i ,w= c i v i + d i w i ,i=1 i=1i=1 i=1alsor∑m∑ n∑v = (a i + c i )v i + b i u i + d i w i .i=1i=1 i=1Also ist v ∈L(B).Wir zeigen, daß B linear unabhängig ist.Seir∑ m∑ n∑a i v i + b i u i + c i w i = θ.i=1 i=1 i=1Dann istr∑ m∑v := a i v i + b i u i ∈ Ui=1 i=1∑und −v ∈ W, dan c i w i in W ist, d.h. v ∈ W. Also ist v ∈ U ∩ W.Daher gibt esi=1e 1 ,...,e r ∈ IK mitr∑v = e i v i .i=1Aus der Eindeutigkeit der Darstellung von v durch die gewählte Basis von U folgta 1 = e 1 ,...,a r = e r ,b 1 = ...= b m =0,alsor∑ n∑a i v i + c i w i = θ.i=1 i=1Da {v 1 ,...,v r ,w 1 ,...,w n } linear unabhängig ist, folgta 1 = ...= a r =0,c 1 = ...= c n =0.Die Begriffe “Linearkombination von Größen, die linear abhängig sind, Basis eines Vektorraumsund Dimension“ werden bei H. Grassmann (1809 – 1877) sehr klar beschrieben. Bei ihm findet sichauch erstmals klar die Dimensionsformel.Wichtig ist der Spezialfall U ∩ W = {θ} . Dazu