Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 73erzeugten Vektorräumen ist gering, im Kapitel über Euklidische Vektorräume wird unsein “wertvolleres“ Konzept begegnen. 2Wegen Satz 3.57, insbesondere Bedingung (b) davon, ist die folgende Definition sinnvoll:Definition 3.59Sei V ein IK –Vektorraum.Ist V endlich erzeugt und ist n die Anzahl der Elemente einer Basis von V ,soheißtn die Dimension von V (über IK ) und wir schreiben n =dim IK V.Ist V nicht endlich erzeugt, dann schreiben wir dim IK V = ∞ und nennen V unendlichdimensional.2Beispiel 3.60dim IK IK n = n, dim IR ′C =2, dim IK IK m,n = mn , dim ′Q IR = ∞ .Die letzte Behauptung wollen wir nicht vollständig beweisen. Daß dim ′Q IR nicht endlichist, sieht man damit, daß IR nicht abzählbar ist. Wäre nämlich IR über ′Q endlich erzeugt,würde aus der Abzählbarkeit von ′Q die Abzählbarkeit von IR folgen.Für eine unendliche linear unabhängige Teilmenge steht als Kandidat die MengeW := { √ p|p Primzahl}bereit. Wir haben bereits in Beispiel 3.49 die Teilmenge { √ 2, √ 3} davon verwendet. Esläßt sich in der Tat beweisen, daß W eine über ′Q linear unabhängige Teilmenge von IRist. Der Nachweis ist nicht einfach, einfacher ist er zuL := {log p|p Primzahl} .Hier gelingt dies mit der Primfaktorzerlegung und etwas Analysis (Logarithmus, Exponentialfunktion).Weder W noch L ist zusammen mit 1 eine Basis von IR über ′Q ! 2Die Existenz einer Basis für den Vektorraum IR über ′Q wurde erstmals 1905 von G. Hamel mitHilfe des Wohlordnungssatzes, der zu den Fundamenten einer axiomatischen Mengenlehre gehört,bewiesen. Aber es hat noch niemand eine Basis explizit angegeben.Wir haben oben festgestellt, daß ′C ein zweidimensionaler Vektorraum über IR ist. Zudiesem Vektorraum sind wir gekommen, weil wir die algebraische Gleichung x 2 +1=0lösen wollten. Den Versuch, nun ′C in ähnlicher Weise in einen Körper IK einzubetten,der dann ein endlichdimensionaler Vektorraum über ′C ist, kann man in zwei verschiedeneRichtungen starten: Erstens, man gibt die Idee, daß die Elemente des Körpers IK Lösungenvon polynomialen Gleichungen mit Koeffizienten in ′C sind, auf, und man muß sieaufgrund des Fundamentalsatzes aufgeben, dann kommt man zu transzedenten Körpererweiterungen.Zweitens, man bettet ′C in eine Menge mit den Verknüpfungen Additionund skalarer Multiplikation ein, in der nicht mehr alle Körperaxiome erfüllt sind. DiesenWeg hat erfolgreich R. Hamilton (1805 – 1865) beschritten: Wenn man in IK auf das