Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 72folgt, daß p jedes x ∈a 0 = ...= a n =0.′C als Nullstelle hat, es muß also das Nullpolynom sein, d.h.Klären wir hier noch die 4 -ten Wurzeln aus 7, die wir am Ende von Kapitel 1 angeführthaben. Man rechnet nach, daßx = ± 4√ 7 ,x= ±i 4√ 7 ,in der Tat Nullstellen des Polynoms p(x) :=x 4 − 7 sind. Nach dem Fundamentalsatz sinddies nun alle Nullstellen dieses Polynoms. 2Der Fundamentalsatz der Algebra wurde erstmals streng 1799 von C.F. Gauß in seiner Dissertationbewiesen. Er geht auf A. Girard (1595 – 1632) zurück, J.B. d’Alembert (1717 – 1783) hat 1746 einenBeweisversuch vorgelegt. Nun gibt es eine Reihe von Beweisen, die sich unterschiedlicher Theorienbedienen (C.F. Gauß hatte auch schon drei unterschiedliche Beweise gefunden). Der wohl einfachsteBeweis läßt sich mit der Funktionentheorie, also der Theorie der Funktionen f : ′C −→ ′C ,führen.Satz 3.57Sei V ≠ {θ} ein IK –Vektorraum, der endlich erzeugt ist. Dann gilt:(a) V besitzt eine Basis aus endlich vielen Elementen.(b) Je zwei Basen haben gleich viele Elemente.(c) Ist M := {u 1 ,...,u r } linear unabhängig, dann ist M entweder eine Basis oderes gibt Elemente u r+1 ,...,u n ∈ V derart, daß B := {u 1 ,...,u n } eine Basisvon V ist.Beweis:Wir beweisen zunächst (c).Ist U := L(M) =V ,dannsindwirschonfertig.IstU ≠ V ,danngibtesu r+1 ∈ V \U.Nachdem Abhängigkeitslemma 3.50 ist M ′ := {u 1 ,...,u r ,u r+1 } linear unabhängig. Nun kanndas Verfahren fortgesetzt werden. Nach dem Schrankenlemma 3.51 bricht das Verfahrennach endlich vielen Schritten ab. Also erhalten wir die gewünschte Basis.Nun beweisen wir (a).Nach Voraussetzung gibt es v ≠ θ in V .Dannist{v} linear unabhängig und kann nach(c) zueinerBasisergänzt werden.Nunzu(b).Seien B,B ′ Basen von V mit n bzw. n ′ Elementen.Da B ein Erzeugendensystem mit n Elementen ist, folgt mit dem Lemma 3.51, daß n +1Elemente in V linear abhängig sind, also ist n ′ ≤ n. Vertauscht man die Rollen von B,B ′ ,folgt n ≤ n ′ .Bemerkung 3.58Auch nicht endlich erzeugte Vektorräume besitzen eine Basis. Zum Beweis braucht manweitergehende Hilfsmittel aus der Mengenlehre, nämlich das Zornsche Lemma, dasinder Nähe des Auswahlaxioms angesiedelt ist; der Beweis zur Existenz einer Basis wirddamit nichtkonstruktiv geführt. Die Bedeutung der (algebraischen) Basen in nicht endlich