Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 70Annahme: u ∈L(E).Dann gibt es u 1 ,...,u n ∑∈ B und a 1 ,...,a n ∈ IK mit u = n a i u i . Dann ist aberi=1{u 1 ,...,u n ,u} eine linear abhängige Teilmenge von B, was ein Widerspruch zur Voraussetzungist. Also ist u/∈L(E) und damit ist L(E) ≠ V.(b) =⇒ (c) :Aus Lemma 3.46 (c) folgt, daß B linear unabhängig ist.Sei B ⊂ E ⊂ V und sei E linear unabhängig. Sei e ∈ E.Annahme: e/∈ B.∑Da B ein Erzeugendensystem ist, haben wir e = n a i u i (a i ∈ IK ,u i ∈ B,i=1,...,n) .i=1Also ist {e, u 1 ,...,u n }⊂E linear abhängig. Dies ist ein Widerspruch zur Tatsache, daßE linear unabhängig ist.Also ist e ∈ B. Damit ist E = B gezeigt.(c) =⇒ (a) :Es ist noch zu zeigen, daß V ⊂L(B) gilt.Sei v ∈ V. Ist v ∈ B, sind wir fertig, da B ⊂L(B) gilt.Ist v/∈ B, setzen wir B ′ := B ∪{v} und nach Voraussetzung ist B ′ eine linear abhängigeMenge. Also gibt es (a, a 1 ,...,a n ) ∈ IK n+1 \{θ} und u 1 ,...,u n ∈ B mitn∑av + a i u i = θ.i=1Da u 1 ,...,u n linear unabhängig sind, ist a ≠0. O.E. a = −1. Also ist auch nun v ∈L(B).Definition 3.53Sei V ein IK –Vektorraum. Eine Menge B ⊂ V heißt Basis von V genau dann,wenn B linear unabhängig ist und ein Erzeugendensystem von V ist.2Beispiel 3.54Die Einheitsvektoren e 1 ,...,e n bilden eine Basis von IK n . Speziell für n =3istaberauch(1, 0, 0) , (1, 1, 0) , (1, 1, 1)eine Basis (Beweis!). Dies zeigt, daß es mehrere minimale Erzeugendensysteme gebenkann, es zeigt auch, daß es im allgemeinen kein kleinstes gibt: minimal heißt “nicht verkleinerbar“,ein kleinstes Erzeugendensystem müßte sogar in jedem Erzeugendensystementhalten sein.Allgemeiner, die MatrizenE kl := (δ ik δ jl ) i=1(1)m , j =1(1)n,k=1,...,m,l=1,...,n,bilden eine Basis von IK m,n . 2