Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 67Beispiel 3.44In IK n bilden die Einheitsvektorene 1 := (1, 0 ...,0),...,e n := (0,...,0, 1) ,die wir bereits als Spaltenvektoren in IK n,1 kennengelernt haben, ein ErzeugendensystemE. Es ist sogar ein minimales Erzeugendensystem, denn fehlt etwa e 1 in E ′ ⊂ E, so istfür jedes u =(u 1 ,...,u n ) ∈L(E ′ ), u 1 =0. 2Beispiel 3.45Der Raum der Polynome IK [x] über dem Körper IK ist nicht endlich erzeugt, da eine endlicheAnzahl von Polynomen mittels Linearkombination nur Polynome von beschränktemGrad erzeugt. Man sieht, daß {f i |i ∈ IN 0 } ein minimales Erzeugendensystem ist; dabeiist f i ∈ IK [x] ,i∈ IN 0 , folgendermaßen erklärt: f i (j) :=δ ij ,j∈ IN 0 . 2Lemma 3.46Sei V ein IK –Vektorraum und sei E = {u 1 ,...,u n }⊂VEs sind äquivalent:ein Erzeugendensystem.(a) E ist kein minimales Erzeugendensystem.(b) ∃ i ∈{1,...,n} (u i ∈L(E\{u i }) .(c) ∃ a =(a 1 ,...,a n ) ∈ IK n ∑\{θ} ( n a i u i = θ) .i=1Beweis:(a) =⇒ (b) .Sei E ′ ⊂ E,E ′ ≠ E, mit L(E ′ )=V.Sei etwa u i /∈ E ′ . (b) ist mit diesem u i erfüllt.(b) =⇒ (c) .Da u i ∑=n a j u j n∑mit a j ∈ IK ,j≠ i, gilt, folgt a j u j = θ mit a j = −1 für j = i.j=1,j≠i(c) =⇒ (a) .n∑Sei a j u j = θ und sei etwa a j ≠0für j = i. O.E. a i = −1 . Setze E ′ := E\{u i } . Dannj=1ist L(E ′ )=L(E), aber E ′ ≠ E.Die Bedingung (c) in Lemma 3.46 ist Ausgangspunkt fürDefinition 3.47Sei V ein IK –Vektorraum.Eine Menge E = {u 1 ,...,u n }⊂V heißt linear unbhängig genau dann, wenn gilt:j=1(∑ n)a i u i = θ =⇒ a 1 = ...= a n =0 ,i=1anderenfalls linear abhängig.2