Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 66Lemma 3.41Sei V IK –Vektorraum und sei W ⊂ V.Dann gilt:{ n}∑L(W )= a i u i |u 1 ,...,u n ∈ W, a 1 ,...,a n ∈ IK ,n∈ IN .i=1Beweis:∑Sei U := { n a i u i |u 1 ,...,u n ∈ W, a 1 ,...,a n ∈ IK ,n ∈ IN } . Wir haben die Inklusioneni=1L(W ) ⊂ U, U ⊂L(W ) zu zeigen.Zunächst: U ist ein linearer Teilraum von V ; man sieht dies mit Lemma 3.35 ein.Da offenbar W ⊂ U gilt und da L(W ) der kleinste lineare Teilraum ist, der W enthält,folgt L(W ) ⊂ U.∑Sei u := n a i u i ∈ U.Sei Z ein linearer Teilraum von V ,derW enhält. Da Z lineareri=1Teilraum ist und die Elemente u 1 ,...,u n in W liegen, ist auch u in Z.Damit ist gezeigt,daß u ∈ Z gilt für jeden linearen Teilraum von V, der Z enthält. Also ist u in L(W ) .Damit ist nun auch U ⊂L(W ) gezeigt.Folgerung 3.42Sei V ein IK –Vektorraum und sei W ⊂ V.Dann sind äquivalent:(a) W ist linearer Teilraum.(b) W = L(W ).Beweis:Unmittelbar klar.Definition 3.43Sei V ein IK –Vektorraum und sei E ⊂ V.(a) E heißt Erzeugendensystem (von V ) genau dann, wenn L(E) =V.(b) E heißt minimales Erzeugendensystem (von V ) genau dann, wenn E Erzeugendensystemist und zusätzlich (E ′ ⊂ E,E ′ ≠ E =⇒ L(E ′ ) ≠ V )gilt.(c) V heißt endlich erzeugt, falls es eine endliche Menge E ′ gibt, die ein Erzeugendensystem(von V ) ist.2Folgende Sprechweisen für “E ist ein Erzeugendensystem von V “ wollen wir gebrauchen:E erzeugt V , E spannt V auf .