Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 65P ZZ 2ist es die Nullfunktion, da offenbar p(0) = p(1) = 0 gilt. In ZZ 2 [x] ist es sicher nichtdas Nullpolynom, da die Koeffizienten von x und x 2 nicht verschwinden. 2Definition 3.39Sei V ein IK –Vektorraum und sei W eine Teilmenge von V . Die MengeU := ∩{Z|W ⊂ Z, Z linearer Teilraum von V }heißt lineare Hülle von W . Wir schreiben dafür L(W ).2Klar, die lineare Hülle sollte für einen kleinsten linearen Teilraum von V stehen, der Wenthält. Die Existenz eines solchen Teilraums ist enthalten inFolgerung 3.40Sei V ein IK –Vektorraum und sei W eine Teilmenge von V . Dann ist L(W ) der“kleinste“ lineare Teilraum von V ,derW enthält, d.h.:(a) L(W ) ist ein linearer Teilraum von V, der W enthält;(b) Ist Z ein linearer Teilraum von V, der W enthält, dann ist L(W ) ⊂ Z.Beweis:Offenbar gilt W ⊂L(W ) und θ ∈L(W ) . Mit Hilfe von Lemma 3.35 sieht man die übrigenAussagen ein.3.5 Basis und DimensionNun wollen wir ein Maß für die “Größe“ eines Vektorraumes finden. Zunächst eineSprechweise:Ist V ein IK –Vektorraum und sind u 1 ,...,u n ∈ V,dann heißt jedes Elementn∑a 1 u 1 + ···+ a n u n = a i u ii=1eine Linearkombination der u 1 ,...,u n ; a 1 ,...,a n ∈ IK heißen die Koeffizienten derLinearkombination.Die Linearkombination heißt nichttrivial, falls mindestens ein Koeffizient von 0 verschiedenist.Die Brücke zur Hüllenbildung am Ende des letzten Abschnitts bildet