Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 64Beispiel 3.36IR ist ein linearer Teilraum des IR – Vektorraums ′C .Ist X eine Menge, so ist Abb (X, IR) ein linearer Teilraum des IR – Vektorraums Abb (X, ′C ) .Lineare Teilräume von IK n sind z.B. U = {θ} und der Lösungsraum eines homogenen linearenGleichungssystems mit n Unbekannten (siehe Abschnitt 2.3 und Bemerkung 3.29).2Beispiel 3.37Sei IK ein Körper. Eine Polynomfunktion über IK ist eine Abbildung p ∈ Abb (IK , IK )der Formn∑p(x) = a i x i ,x∈ IK ,i=0mit Koeffizienten a i ∈ IK . Ist a n ≠0, so heißt n der Grad des Polynoms und wirschreiben dafür deg(p) , also n =deg(p) . Wir haben Polynome für IK ∈{′Q, IR} schon inAbschnitt 1.5 betrachtet.Wir setzenP IK := {p|p Polynomfunktion mit Koeffizienten aus IK }.Offenbar ist nun P IK ein linerarer Teilraum von Abb(IK , IK ) . 2Beispiel 3.38Sei IK ein Körper. Offenbar istAbb 0 (IN 0 , IK ):={f : IN 0 −→ IK |f(n) ≠0nurfür endlich viele n ∈ IN 0 }ein linearer Teilraum von Abb(IN 0 , IK ) , insbesondere selbst ein IK – Vektorraum. Wirbezeichnen diesen Vektorraum als den Raum der Polynome in einer Unbekannten mitKoeffizienten aus IK . Diese Bezeichnungsweise ergibt sich aus der Tatsache, daß jedemf ∈ Abb 0 (IN 0 , IK )mitf(n) =0für n>N durchp f : IK ∋ u ↦−→N∑f(n)u n ∈ IKn=0eine Polynomfunktion zugeordnet werden kann. Wir setzenIK [x] :=Abb 0 (IN 0 , IK ) .Ein f ∈ IK [x] mitf(n) =0für n>Nschreiben wir mit a n := f(n) ,n∈ IN , meist soauf:N∑a n x n ;i=0dabei ist dann die Größe x ein Symbol für eine “Unbekannte“.Als Grad von f ∈ IK [x] definieren wir die kleinste natürliche Zahl g ∈ IN 0 mit f(n) =0 ,n>g und schreiben deg(f) :=g. Ist f = θ, dann setzen wir deg(f) :=−1 .Der Unterschied zwischen IK [x] und P IK wird etwa deutlich in ZZ 2 an p(x) :=x 2 + x. In