Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 613.4 VektorräumeDefinition 3.30Sei IK ein Körper mit Einselement 1, seiV eine Menge und seien Verknüpfungen⊕ : V × V ∋ (u, v) ↦−→ u ⊕ v ∈ V,⊙ : IK ×V ∋ (a, v) ↦−→ a ⊙ v ∈ V,(Addition)(Skalare Multiplikation)gegeben. V heißt zusammen mit ⊕, ⊙ ein IK – Vektorraum (oder IK – linearerRaum), falls gilt:(V1) (V,⊕) ist abelsche Gruppe.(V2) Für alle u, v ∈ V,a,b ∈ IK gilt:(1) (a + b) ⊙ v = a ⊙ v ⊕ b ⊙ v,(2) a ⊙ (u ⊕ v) =a ⊙ v ⊕ a ⊙ v,(3) (a · b) ⊙ v = a ⊙ (b ⊙ v) ,(4) 1 ⊙ v = vDie Elemente von V heißen Vektoren, die Elemente von IK Skalare und IK heißtSkalarkörper.2Wir haben in der Definition 3.30 sehr streng die verschiedenen Verknüpfungen unterschieden:“+“ für die Addition in IK ,“ ·“ für die Multiplikation in IK ,“ ⊙“ für die skalare Multiplikation in V,“ ⊕“ für die Addition in V.Wir werden nun diese strenge Unterscheidung der Verknüpfungen sofort wieder aufgeben,zumal wir “ ⊕“später für einen anderen Zweck benötigen, und⊕ durch + , ⊙ durch ·ersetzen, und selbst “ ·“ meist weglassen. Aus dem Zusammenhang wird stets ablesbarsein, welche Verknüpfung in welcher Struktur gerade gemeint ist. Eine Unterscheidungwollen wir aufrechterhalten: Das Nullelement in IK bezeichnen wir mit 0, das Nullelementbzgl. der Vektoraddition bezeichnen wir mit θ.