Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 59wobeiwirnochmalabgekürzt haben: Statt 1a haben wir einfach a geschrieben.Damitschreibenwirnun′C := {a + bi|a, b ∈ IR }und passen die Verknüpfungen an:+ : ′C ×′C ∋ (a + ib, c + id) ↦−→ (a + c)+i(b + d) ∈ ′C , (Addition)· : ′C ×′C ∋ (a + ib, c + id) ↦−→ (ac − bd)+i(ad + bc) ∈ ′C . (Multiplikation)Der Körper ist nun als Erweiterung des Körpers der reellen Zahlen aufzufassen, da wir inj : IR ∋ a ↦−→ a + i0 =a ∈ ′Ceine injektive “Einbettung“ haben.Die trigonometrische Schreibweise für eine komplexe Zahl z = a + ib istz = r(cos φ + i sin φ)wobei r = |z| := √ a 2 + b 2 der Modul und φ := arg z := arctan(b/a) dasArgument derZahl z ist. Für z = r(cos φ+i sin φ) verwendet man auch die exponentielle Schreibweisez = re iφ , d.h. e iφ =cosφ + i sin φ.2Die Bezeichnung “komplexe Zahl“ hat C.F. Gauß (1777 – 1855) eingeführt. Er hat mit seinenUntersuchungen das Geheimnis, das die komplexen Zahlen immer noch umgeben hatte, beseitigt.Das Symbol “ i“ stammt von L. Euler (1707 – 1783), er hat in der Formel e iπ +1 = 0 diefundamentalen Konstanten der Arithmetik (0,1), der Geometrie (π), der Analysis (e) und derkomplexen Zahlen (i) auf einfache Weise zusammmengefaßt.Merkwürdig ist, daß die erste Einführung der komplexen Zahlen in der Theorie der kubischenGleichungen bei H. Cardano (1501 – 1576) geschah – er nannte sie “fiktiv“ – und nicht bei derBetrachtung einer quadratischen Gleichung, wie wir sie ins Spiel gebracht haben.Die trigonometrische Schreibweise geht auf J. Argand (1768 – 1822) zurück.Der Ausgangspunkt unserer Überlegung war die Lösbarkeit der Gleichung (3.1). Diesehat nun in der Tat in ′C eine Lösung, nämlich das Element i und das Element −i. DieLösbarkeit dieser Gleichung haben wir durch “Körpererweiterung“ erreicht. Damit habenwir das Problem der Körpererweiterung gestreift, das in der Theorie von Galois seine auchästhetisch befriedigende Aufklärung findet.Beispiel 3.28Das Prinzip der Körpererweiterung wird auch deutlich, wenn wir etwa die Gleichungx 2 =2im Körper IK := ′Q lösen wollen. Wir wissen, daß keine rationale Zahl diese Gleichunglöst. Also gehen wir wie oben vor: Wir adjungieren zu ′Q ein Symbol √ 2gemäß′Q[ √ 2] := {a + b √ 2|a, b ∈′Q}