Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 553.3 KörperWir wollen nun Körper einführen. Die Bezeichnung dafür haben wir in den konkretenFällen IK = IR und IK = ′Q bereits vorweggenommen.Definition 3.21Eine Menge IK mit zwei Verknüpfungen+ : IK × IK ∋ (a, b) ↦−→ a + b ∈ IK , (Addition)· : IK × IK ∋ (a, b) ↦−→ a · b ∈ IK (Multiplikation)heißt ein Körper, wenn gilt:(A) (IK , +) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0.(M) (IK ∗ := IK \{0}, ·) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 1 .(D) Für alle a, b, c ∈ IK gilt: a · (b + c) =a · b + a · c.2Die Bedingungen (A), (M) sind uns wohlvertraut. Mit der Tatsache 1 ≠ 0 ist schonklar, daß ein Körper mindestens zwei Elemente besitzt, nämlich das Nullelement 0(neutrales Element bzgl. der Addition) und das Einselement 1 (neutrales Element bzgl.der Multiplikation). Die Bedingung (D) heißtDistributivgesetz.Eserklärt, wie sich diebeiden Verknüpfungen miteinander “vertragen“.Wir wissen schon, daß 0, 1 durch ihre Eigenschaft, neutrales Element zu sein, eindeutigbestimmt sind. Das Inverse von a bzgl. der Addition schreiben wir mit −a, dasInversevon a ∈ IK ∗ bzgl. der Multiplikation schreiben wir mit a −1 . Dies geschieht in Anlehnungan das Rechnen in ′Q bzw. IR .Folgerung 3.22Sei IK ein Körper und seien a, b ∈ IK . Es gilt:(1) Die Gleichung a + x = b hat die eindeutige Lösung x = b +(−a) .(2) −(−a) =a, −(a + b) =(−a)+(−b) .(3) Die Gleichung a · x = b hat die eindeutige Lösung x = a −1 b falls a ≠0.(4) (a −1 ) −1 = a, falls a ≠0.(5) (a · b) −1 = b −1 · a −1 , falls a ≠0,b≠0.(6) a · 0=0.(7) a · b =0 ⇐⇒ a =0oder b =0.(8) (−a) · b = −(a · b) , (−a) · (−b) =a · b.Beweis: