Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 51◦ id τ 1 τ 2 τ 3 τ 4 τ 5id id τ 1 τ 2 τ 3 τ 4 τ 5τ 1 τ 1 id τ 3 τ 2 τ 5 τ 4τ 2 τ 2 τ 4 id τ 5 τ 1 τ 3τ 3 τ 3 τ 5 τ 1 τ 4 id τ 2τ 4 τ 4 τ 2 τ 5 id τ 3 τ 1τ 5 τ 5 τ 3 τ 4 τ 1 τ 2 idBeispielsweise bedeutet τ 4Spalte 3, Zeile 4τ 1 ◦ τ 2 = τ 4und τ 2 in Spalte 7, Zeile 5τ 5 ◦ τ 3 = τ 2 .in2Bemerkung 3.11Einer endlichen Gruppe, d.h. einer Gruppe mit endlich vielen Elementen, kann man durchBlick auf ihre Gruppentafel sofort ansehen, ob sie kommutativ ist. Sie ist nämlich kommutativgenau dann, wenn ihre Gruppentafel symmetrisch zur Hauptdiagonalen ist. S 3ist also nicht kommutativ. Daraus folgt, daß S m ,m≥ 3, nicht kommutativ ist (Beweis!).2Eine nahezu triviale Beschreibung der Menge S(M) für eine endliche Menge M, d.h.einerMenge, die bijektiv auf {1,...,m} abbildbar ist, ist enthalten inLemma 3.12Sei M eine endliche Menge. Dann sind äquivalent:(a) f ist bijektiv, d.h. f ∈S(M).(b) f ist surjektiv.(c) f ist injektiv.Beweis:Zu (a) =⇒ (b). Klar.Zu (b) =⇒ (c). Ist f surjektiv, dann ist #f(M) =#M, alsof injektiv.Zu (c) =⇒ (a). Ist f injektiv, dann ist #f(M) =#M, alsof auch surjektiv.Eine einfache Überlegung zeigt, daß S m m! Elemente besitzt (Es sind zur Realisierungeiner Permutation m verschiedene Objekte auf m Plätze zu verteilen).Dabei ist n! (n-Fakultät) in IN 0 induktiv so definiert:0! := 1 , (n +1)!:=(n +1)n!Sei nun stets S m für m ≥ 2 betrachtet, S 1 ist ja trivial!