Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 503.2 PermutationsgruppenSei M eine nichtleere Menge. Wir setzenAbb (M) :={f : M −→ M} .In dieser Menge der Selbstabbildungen von M ist eine “Multiplikation“ erklärt durch dieKomposition von Abbildungen:f • g := f ◦ g,f,g∈ Abb (M) .Nun ist klar, daß(G := {f ∈ Abb (M)|f bijektiv } , • := ◦)eine (im allgemeinen nicht kommutative) Gruppe darstellt: das Assoziativgesetz ist klar,das neutrale Element ist die Identität id M , das inverse Element eines Elements f ∈ Gist f −1 . Man hat noch nachzuprüfen, daß mit f,g ∈ G auch f ◦ g ∈ G, f −1 ∈ G gilt.Dazu hat man nur einzusehen, daß f ◦ g, f −1 bijektiv sind, falls f,g bijektiv sind. Wirüberlassen dies dem Leser.Für diese Gruppe G schreiben wir nun S(M) .Definition 3.9Ist M eine nichtleere Menge, so nennen wir die Gruppe S(M) die symmetrischeGruppe von M.Ist M = {1,...,m}, dann nennen wir S(M) Permutationsgruppe und jedes Elementin S(M) eine Permutation. In diesem Spezialfall schreiben wir kurz S m .2Die Wortwahl Permutationsgruppe wird verständlich, wenn wir beobachten, daß beider Menge M = {1,...,m} einer Abbildung f in S m die Umstellung der Elemente in Mgemäß ( )1 2 ... mf(1) f(2) ... f(m)entspricht. Die Wortwahl symmetrische Gruppe rührt daher, daß die Funktionen derVariablen x 1 ,...,x m , die bei allen Permutationen der Variablen invariant bleiben, diesymmetrischen Funktionen sind.Beispiel 3.10Wir betrachten S 3 . Dazu bezeichnen wir jedes Element von S 3 durch seine Wirkung aufdas Tripel (123) (geschrieben ohne Kommata). Die sechs Elemente der Gruppe sind dannτ 0 = (123) τ 1 = (132) τ 2 = (213) τ 3 = (231) τ 4 = (312) τ 5 = (321) .Beispielsweise besagt τ := τ 1 = (132) : τ(1) = 1 ,τ(2) = 3 ,τ(3) = 2 .Klar, τ 0 = (123) ist die Identität. Die Gruppentafel stellt sich folgendermaßen dar: