Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 47Beispiel 3.4(G := ZZ , • := +) ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 0 und Inversem−z für z ∈ ZZ . 2Wenn die Verknüpfung eine Addition ist, nennt man das Inverse eines Elements meist dasNegative. IstdieVerknüpfung • in einer Gruppe einer Addition “verwandt“, so nenntman sie, wenn sie kommutativ ist, auch abelsch.Der Begriff “abelsch“ ist vom Namen des norwegischen Mathematikers N.H. Abel (1802 –1829)abgeleitet. Neben Arbeiten zur Konvergenz von Reihen und elliptischen Funktionen beschäftigte ersich mit der Lösbarkeit von Gleichungen fünften Grades und bewies die Unmöglichkeit der Lösungeiner allgemeinen Gleichung fünften Grades mit Hilfe von Radikalen (“Wurzelausdrücken“). SeineIdeen hierzu sind eng mit denen des französischen Mathematikers E. Galois (1811 – 1832), dessenTheorie in der Algebra eine überragende Rolle spielt, verwandt. Mit ihm teilt er auch das Schicksal,sehr jung zu sterben, Abel starb an Schwindsucht, Galois in einem Duell. G. Peano (1858 – 1932)nahm den Gruppenbegriff auf; ihm standen dazu nun die mengentheoretischen Sprechweisen zurVerfügung.Beispiel 3.5(G := ′Q, • := +) , (G := IR, • := +) sind abelsche Gruppen. Das neutrale Element istjeweils 0, das Inverse (Negative) eines Elementes r ist −r. 2Beispiel 3.6(G := IK ∗ := IK \{0}, • := ·) istfür IK ∈ {′Q, IR} eine kommutative Gruppe. DieRechenregeln einer Gruppe sind uns hier wohlvertraut, ebenso die Potenzregeln. Manbeachte, daß wir das Nullelement aus IK entfernen mußten, da dieses Element kein Inversesbzgl. der Multiplikation besitzt. 2My oral exam still threatened–one on geometric function theory with that redoubtable professorGustav Herglotz. I consulted my experienced friends: what to do? They reminded me that he lovedto lecture. This I bore in my mind during the exam:Herglotz: What is the Erlanger Program?Saunders Mac Lane: Everything depends on the group.Herglotz: What is the group for complex analysis?Saunders Mac Lane: The conformal group.That sufficed to start Herglotz on a splendid lecture on geometric function theory in terms of theconformal group.My thesis was done, and I was through.Aus: Saunders Mac Lane, Mathematics at Göttingen under the Nazis, Notices of the AMS 42(1995)Nun haben wir die Gruppenstrukturen in den Zahlen erkannt. Wir finden sie auch beimRechnen mit Restklassen, wie folgendes Beispiel zeigt.