Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 43Geometrie in einem Raum mit n Dimensionen aufgebaut:...Dadurch geschieht es nun, daß die Sätze der Raumlehre eine Tendenz zur Allgemeinheit haben,die in ihr vermöge ihrer Beschränkung auf drei Dimensionen keine Befriedigung findet, sondernerst in der Ausdehnungslehre zur Ruhe kommt.H. G., 1845Definition 2.19Eine Menge G⊂IK n heißt Gerade genau dann, wenn es p, q ∈ IK n ,q ≠ θ, gibt mitG = p + IK q := {p + tq|t ∈ IK } .(G ist Gerade durch p mit Richtung q)2Satz 2.20Sei G⊂IK 2 . Dann sind äquivalent:(a) G ist Gerade.(b) Es gibt a ∈ IK 2 ,a≠ θ, und b ∈ IK mitG = {(x 1 ,x 2 ) ∈ IK 2 |a 1 x 1 + a 2 x 2 = b} .Beweis:Zu (a) =⇒ (b)Sei G = {p + tq|t ∈ IK } mit q ≠ θ. Sei etwa q 1 ≠0.Wir setzen a := (−q 2 ,q 1 ) ,b:= q 1 p 2 − q 2 p 1 und rechnen damit (b) nach.Ist x ∈G, dann giltx 1 = p 1 + tq 1 ,x 2 = p 2 + tq 2 ,für ein t ∈ IK , nämlich für t =(x 1 − p 1 )/q 1 , alsoa 1 x 1 + a 2 x 2 = b.Ist a 1 x 1 + a 2 x 2 = b für ein x =(x 1 ,x 2 ) , dann gilt x = p + tq mit t := x 1 a −12 .Zu (b) =⇒ (a)Sei etwa a 2 ≠0.Wir setzen p := (0,ba −12 ),q := (a 2 , −a 1 ) und haben q ≠ θ. Damit rechnet man wie obennach, daß G Gerade durch p mit Richtung q ist.Definition 2.21Eine Menge E⊂IK n heißt Ebene genau dann, wenn es p, u, v ∈ IK n gibt mitE = p + IK u + IK v := {p + tu + sv|s, t ∈ IK } ,wobei u ≠ θ, v ≠ tu für alle t ∈ IK .(E ist Ebene durch p mit Richtungsraum u, v).2