Lineare Algebra und Analytische Geometrie

überall in der Umwelt sichtbaren Lagebeziehungen waren Grundlage solcher Künste wieBau– und Vermessungswesen. Im Zentrum stehen die Objekte Gerade, Lot, Ebene, Kegel,Polyeder, ... .Sie wurden ordnend gesichtet in dem mathematischen Zweig “Geometrie“.Eine erste solche Sichtung war die Geometrie in der euklidischen Axiomatik, die späterunter die von R. Descartes (1596 – 1650) ausgearbeitete Koordinatengeometrie (oder analytischeGeometrie) subsummiert wurde. Descartes faßt Geometrie weiter: Er zählt alleObjekte zur Geometrie, die durch algebraische Gleichungen beschrieben werden können,nicht nur die, die durch Konstruktionsverfahren zugänglich sind. Als eine weitere Sichtungkann das sogenannte “Erlanger Programm“, formuliert von F. Klein (1849 – 1925), angesehenwerden. In diesem Programm wird die Geometrie als Theorie von Invarianten unterTransformationen aufgefaßt; die Gruppentheorie wird damit beim Studium geometrischerFragen von überragender Bedeutung. Vorausgegeangen war die voneinander unabhängigeEntdeckung nichteuklidischer Geometrien (Verzicht auf das “umstrittene“ Parallelenaxiom)durch W.F. Bolyai (1775 – 1865), C.F. Gauß (1777 – 1832) und N.I. Lobatschewski(1792 – 1856). Aufbauend auf Arbeiten von G. Desargues (1591 – 1661) über die Perspektiveentwickelte sich (vor allem im 19. Jahrhundert) die projektive Geometrie. Mitdem Aufsatz “Grundlagen der Geometrie“ (1899) vollendet D. Hilbert (1862 – 1943) diePräzisierung der Axiomatik der Geometrie.Die Algebra, diefrüher einmal die Kunst der Gleichungsauflösung war, ist heute in dieallgemeine Theorie der Verknüpfungen eingemündet. Die lineare Algebra ist der Teil derAlgebra, der sich mit linearen Verknüpfungen beschäftigt und in der numerischen linearenAlgebra seine Verbindung zur Angewandten Mathematik hat. Die Algebra wird imallgemeinen sehr abstrakt, axiomatisch betrieben, ihr Fundament hat sie in der Gruppentheorie– die systematische Untersuchung der Symmetrie fällt in diesen Bereich –,ihre Verbindung zur Geometrie im Gebiet algebraische Geometrie (siehe Erlangener Programm),Arithmetik kann als konkreter Hintergrund ausgemacht werden.Hilfsmittel der Analysis in der Geometrie wurden interessant durch die Beschreibungvon Objekten durch Koordinaten. Die Diskussion von Körpern und Kurven in ihrer ursprünglichenAusrichtung (Kegelschnitte, Spiralen, ...) wird damit um analytische Mittelbereichert. Ein Höhepunkt dieser Entwicklung ist mit C.F. Gauß verbunden: Er verknüpftezur Untersuchung der “inneren“ Geometrie von Flächen Algebra und Analysis in tieferund fruchtbarer Weise. Differentialgeometrie und algebraische Topologie können als dieGebiete angesehen werden, in denen schließlich diese Verbindung von Analysis und Algebraintensiv weiterverfolgt wurde und wird.Geometrie hat sich von der Elementargeometrie der Antike über die Einbeziehung vonanalytischen, algebraischen und topologischen Strukturen weiterentwickelt. GeometrischeSichtweisen finden sich in aktuellen Forschungsgebieten, etwa: Geometrische Maßtheorie,geometrische Theorie dynamischer Systeme, Theorie der Fraktale, geometric aided design(Graphikoberfläche). Algebra hat Bedeutung über die oben angesprochenen klassischenGebiete hinaus etwa in der Verknüpfung von Gruppentheorie mit der theoretischen Physik,in der die Rolle der Symmetrie eine überragende ist, in der Gruppentheorie bei endlichenStrukturen, in der Computeralgebra.II