Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 41Bemerkung 2.17Nach Durchlauf der Gaußschen Elimination kann man durch elementare Umformungendie erreichte Form ( )( ) ( )B C x1 c= .Θ Θ x 2 din die Form ( )( ) ( )E C x1 c′=Θ Θ x 2 dbringen; hierbei ist nun E eine (r × r) – Einheitsmatrix. Das resultierende Verfahrenwird das Gauß – Jordan Eliminationsverfahren genannt.Die Rückwärtssubstitutiongestaltet sich hier sehr einfach. 2Bemerkung 2.18Verschiedenen Varianten eines Eliminationsverfahrens kann man nach der Anzahl derbenötigten Rechenoperationen bewerten. Dabei ist es erlaubt, Additionen und Subtraktionenbzw. Multiplikationen und Divisionen gleichsetzen, da sie etwa gleichgroßen Rechenaufwanderfordern.Bei der Gauß – Elimination fallen bei einer quadratischen n × n – Matrix höchstensundn 2 +(n − 1) 2 + ···+1 2 =n(n − 1) + (n − 1)(n − 2) + ···+1=n(n + 1)(2n +1)6n(n + 1)(2n +1)6an. Bei der anschließenden Rückwärtssubstitution fallen dannn − 1+n − 2+···+1=n(n − 1)2−Additionenn(n +1)2AdditionenMultiplikationenundn(n − 1)n + n − 1+···+1= Multiplikationen2an. Der Aufwand wächst asymptotisch also wie n 3 /3 .Beim Gauß – Jordan Eliminationsverfahren ermittelt man denselben Rechenaufwand. 2In der Praxis wird die Lösung eines (großen) linearen Gleichungssystems auf einem Computerdurchgeführt. Dieser hat nur endlich viele (Dezimal-)Stellen für die Rechnung zurVerfügung, auf die jeweils durch eine Variante einer “Rundung“ die Zahlen reduziert werden.Berücksichtigt man dies, so kommt zu den bisher angesprochenen Fragendie Frage derExistenz (einer Lösung), Eindeutigkeit (einer Lösung)Stabilität (der Berechnung gegenüber Rundung)