Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 40Es ist notwendigerweise r ≤ m < n. Nach (b) in Satz 2.12 sind die Komponentenx r+1 ,...,x n frei wählbar.Bemerkung 2.15In obigem Satz spielt die Zahl r eine nicht unwesentliche Rolle. Es wird hier noch nichtgeklärt, ob diese Zahl nur von der gegebenen Systemmatrix A oder auch vom gewähltenLösungsverfahren abhängt. Später wird sich ergeben, daß r wirklich vom Verfahren unabhängigist; sie wird dann der Rang der Matrix A genannt. 2Beispiel 2.16Betrachte das Gleichungssystem aus dem VIII. Buch der “Neun Bücher über die Kunstder Mathematik“: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞3 2 1 x 1 39⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ 2 3 1 ⎠ ⎝ x 2 ⎠ = ⎝ 34 ⎠ .1 2 3 x 3 26Der Algorithmus “Elimination nach Gauß“ wird folgendermaßen durchlaufen:⎛⎞ ⎛ ⎞3 2 1 393 2 1⎜⎟ ⎜ ⎟SCHRITT 1 A 0 = ⎝ 2 3 1 34 ⎠ ,D= ⎝ 2 3 1 ⎠ .1 2 3 261 2 3SCHRITT 4 Pivotelement d 11 =3.⎛⎞1 2/3 1/3 13⎜⎟SCHRITT 6 A 1 = ⎝ 0 5/3 1/3 8 ⎠ .0 4/3 8/3 13SCHRITT 4 Pivotelement d ij =5/3 .⎛⎞1 2/3 1/3 13⎜⎟SCHRITT 6 A 2 = ⎝ 0 1 1/5 24/5 ⎠ .0 0 12/5 33/5AUS⎛⎜⎝3 2 1 390 5 1 240 0 12 33⎞⎟⎠ .Mit Rückwärtsubstitution erhalten wir als Lösung x =(x 1 ,x 2 ,x 3 ):x 3 =11/4 ,x 2 =17/4 ,x 1 =37/4Beachte, daß jeweils viele Pivotelemente zur Verfügung stehen. 2